Die Dirac Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Die Dirac Gleichung

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN

Die Klein-Gordon-GleichungKlein-Gordon-Gleichung

${{\left({\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left({{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}\right)\Psi \quad c=\hbar =1$

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left(\pm {\sqrt {{{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}}}+e\phi \right)\Psi$

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi \quad {\hat {H}}=e\phi +{\underline {\alpha }}\left({\underline {\hat {p}}}-e{\underline {A}}\right)+\beta m$

(1.31)

mit ${\underline {\alpha }}=\left({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}}\right)\,,\,\beta$ zu bestimmen.

Ansatz $\left[{\underline {\alpha }},{\underline {p}}\right]=\left[\beta ,{{p}_{i}}\right]=0$

Für

$\phi ={\underline {A}}=0$

soll

${\hat {H}}={\sqrt {{{\hat {\underline {p}}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$

also ${{\underline {\hat {p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left({\underline {\alpha }}{\underline {\hat {p}}}+\beta m\right)}^{2}}$.

Vielleicht liefert

${{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{1,2,3\right\}$

(1.32)

die Lösung.

${\underline {\alpha }},\beta$erzeugen eine sogenannten Clifford-AlgebraClifford-Algebra von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

• ${{\alpha }_{i}},\beta$ sollen hermitesch sein (${\hat {H}}$soll nur reelle Eigenwerte haben):${{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left({{a}_{i}}^{*}\right)}^{T}}$
• ${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta$unitär, ebenso ${{\alpha }_{i}}$ unitär
• Aus
• ${{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace {Tr} _{\text{Spur}}\left({{\alpha }_{i}}\right)=-Tr\left(\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\right)\underbrace {=} _{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left({{\alpha }_{i}}\right)\Rightarrow Tr\left({{\alpha }_{i}}\right)=0$

analog $\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left(\beta \right)=0$

• ${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta$haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
• Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben ${{\alpha }_{i}},\beta$ grade Dimension
• 2x2 Matrizen tun es nicht:

M P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M komplex 2N² Komplex, hermitesch $M={{M}^{T}}$ N²(Diagonale)+N²-N=N² $M={{M}^{T}},Tr\left(M\right)=0$ ${{N}^{2}}-1$ wegen der Zusatzbedingung $Tr\left(M\right)=0$ Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M={{M}^{T}},Tr\left(M\right)=0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-MatrizenPauli-Matrizen

${{\sigma }_{1}}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\quad {{\sigma }_{2}}=\left({\begin{matrix}0&-{\mathfrak {i}}\\{\mathfrak {i}}&0\\\end{matrix}}\right)\quad {{\sigma }_{3}}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)$

(1.33)

darstellen, d.h,

$M={\underline {p}}.{\underline {\sigma }}={{p}_{1}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}}+{{p}_{2}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}}+{{p}_{2}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},\quad {\underline {\sigma }}=\underbrace {\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{3}}\right)} _{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}\quad ,{\underline {p}}=\underbrace {\left({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}}\right)} _{\in {{\mathbb {R} }^{3}}}$

${{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{2}={\underline {\underline {1}}},\quad {{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}\right)=0,\quad \left\{{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}\right\}:={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}-{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}{\underline {\underline {1}}}$

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

${{\alpha }_{i}}=\left({\begin{matrix}{\underline {\underline {0}}}&{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}\\{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}&{\underline {\underline {0}}}\\\end{matrix}}\right),\quad \beta =\left({\begin{matrix}{\underline {\underline {1}}}&{\underline {\underline {0}}}\\{\underline {\underline {0}}}&-{\underline {\underline {1}}}\\\end{matrix}}\right)$

(1.35)

Es gilt ${{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}}^{2}=\left({\begin{matrix}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{2}&{\underline {\underline {0}}}\\{\underline {\underline {0}}}&{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{2}\\\end{matrix}}\right),\quad {{\underline {\underline {\beta }}}^{2}}={\underline {\underline {1}}}$(4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem ${{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}}={{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}}^{T},\quad {\underline {\underline {\beta }}}={{\underline {\underline {\beta }}}^{T}},\quad {{\underline {\underline {\alpha }}}_{i}},{\underline {\underline {\beta }}}$unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-GleichungDirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung ${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left({\underline {\alpha }}.{\hat {\underline {p}}}-\beta m\right)\Psi$

(1.36)

sind 4-komponentige Spinoren

$\Psi \left(x\right)=\left({\begin{matrix}{{\Psi }_{1}}\left(x\right)\\{{\Psi }_{2}}\left(x\right)\\{{\Psi }_{3}}\left(x\right)\\{{\Psi }_{4}}\left(x\right)\\\end{matrix}}\right),\quad x=\left(ct,{\underline {x}}\right)$