Die Maxwell-Gleichungen

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Maxwell-Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder

Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !

Invarianz- Prinzipien sind / können sein:

3.1 TCP- Invarianz

Zeitumkehr T: t -> t´=-t Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q  Q´= - Q Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)

Die Zeitumkehr- Transformation

${\begin{aligned}&{{T}_{g}}:=\left\{T-in\operatorname {var} iante\ ObservableA:TA=A\right\}\\&=\left\{{\bar {r}},d{\bar {r}},a:={\frac {{{d}^{2}}{\bar {r}}}{d{{t}^{2}}}},m,q,\rho :={\begin{matrix}\lim \\\Delta V\to 0\\\end{matrix}}{\frac {\Delta q}{\Delta V}},{\bar {F}}=m{\bar {a}},{\bar {E}}={\frac {\bar {F}}{q}},\Phi ...\right\}\\\end{aligned}}$ Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

${{T}_{u}}:=\left\{A:TA=-A\right\}=\left\{{\bar {v}}:={\frac {d{\bar {r}}}{dt}},{\bar {j}}=\rho {\bar {v}},{\bar {B}},{\bar {A}}\right\}$

Denn:

${\begin{aligned}&{\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}\\&{\bar {F}}\in {{T}_{g}},{\bar {v}}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow {\bar {B}}\in {{T}_{u}}\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}},\nabla \in {{T}_{g}}\\\end{aligned}}$

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

${\begin{aligned}&T:\left\{{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\to \left\{{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\\&T:\left\{{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=\rho \right\}\to \left\{{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=\rho \right\}\\&T:\left\{{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\to \left\{-{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\Leftrightarrow \left\{{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\\&T:\left\{\nabla \times {\bar {B}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\to \left\{-\nabla \times {\bar {B}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\\&\\\end{aligned}}$

Kontinuitätsgleichung:

$T:\left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}\to \left\{-{\frac {\partial }{\partial t}}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}$

Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !

Ladungsumkehr ( Konjugation)

${\begin{aligned}&{{C}_{g}}:=\left\{C-in\operatorname {var} iante\ ObservableA:CA=A\right\}\\&{{C}_{g}}=\left\{{\bar {F}},m,{\bar {r}},{\bar {v}},{\bar {a}}\right\}\\\end{aligned}}$

sind gerade unter C Ungerade unter c sind:

${\begin{aligned}&{{C}_{u}}:=\left\{A:CA=-A\right\}=\left\{{\bar {E}}={\frac {1}{q}}{\bar {F}},{\bar {B}},{\bar {j}},\rho \right\}\\&{\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}\\\end{aligned}}$

• C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

${\begin{aligned}&C:\left\{{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\to \left\{-{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\\&C:\left\{{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=\rho \right\}\to \left\{-{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=-\rho \right\}\\&C:\left\{{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\to \left\{-{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\\&C:\left\{\nabla \times {\bar {B}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\to \left\{-\nabla \times {\bar {B}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\\\end{aligned}}$

$C:\left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}\to \left\{-{\frac {\partial }{\partial t}}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}$

Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion

Vertauschung: rechts <-> links

Man unterscheidet:

$P{\bar {r}}=-{\bar {r}}$ -> polarer Vektor und

$P\left({\bar {a}}\times {\bar {b}}\right)=\left(-{\bar {a}}\times -{\bar {b}}\right)=\left({\bar {a}}\times {\bar {b}}\right)$ P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!

Seien:

${\bar {a}},{\bar {b}}$ polar, ${\bar {w}},{\bar {\sigma }}$ axial Dann ist

${\begin{aligned}&{\bar {a}}\times {\bar {w}}\quad polar\\&{\bar {a}}\times {\bar {b}},{\bar {w}}\times {\bar {\sigma }}\quad axial\\&{\bar {a}}{\bar {b}}\ skalar:P({\bar {a}}{\bar {b}})={\bar {a}}{\bar {b}}\\&{\bar {w}}{\bar {\sigma }}\ pseudoskalarP({\bar {w}}{\bar {\sigma }})=-{\bar {w}}{\bar {\sigma }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{C}_{g}}:=\left\{C-in\operatorname {var} iante\ ObservableA:CA=A\right\}\\&{{C}_{g}}=\left\{{\bar {F}},m,{\bar {r}},{\bar {v}},{\bar {a}}\right\}\\\end{aligned}}$

Wegen

${\begin{aligned}&{\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}\\&{\bar {F}}\in {{P}_{u}}\\&q\in {{P}_{g}}\\&{\bar {v}}\in {{P}_{u}}\\\end{aligned}}$

ungerade Parität dagegen:

${{P}_{u}}=\left\{polareVektoren,{\bar {r}},d{\bar {r}},{\bar {v}},{\bar {a}},{\bar {F}},{\bar {E}}={\frac {1}{q}}{\bar {F}},{\bar {j}}=\rho {\bar {v}},{\bar {A}},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot {\bar {B}}\right\}$

Wegen

${\begin{aligned}&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\\&\nabla \in {{P}_{u}}\\&{\bar {B}}\in {{P}_{g}}\\\end{aligned}}$

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

${\begin{aligned}&P:\left\{{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\to \left\{{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\right\}\\&P:\left\{{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=\rho \right\}\to \left\{{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=\rho \right\}\\&P:\left\{{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\to \left\{-{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\right\}\\&P:\left\{\nabla \times {\bar {B}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\to \left\{-\nabla \times {\bar {B}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right\}\\\end{aligned}}$

$P:\left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}\to \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {j}}=0\right\}$

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!

Maxwell- Gleichungen im Vakuum

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder ${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$ lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=0\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}=0\\\end{aligned}}$

2) die Gleichungen sollen linear in ${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$ sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!

Somit sind

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}={{a}_{1}}{\dot {\bar {E}}}+{{b}_{1}}{\dot {\bar {B}}}\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}={{a}_{2}}{\dot {\bar {E}}}+{{b}_{2}}{\dot {\bar {B}}}\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die ${\bar {E}}({\bar {r}},t),{\bar {B}}({\bar {r}},t)$ für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

${\begin{aligned}&{{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0\\&{{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0\\\end{aligned}}$

Also bleibt:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}={{b}_{1}}{\dot {\bar {B}}}\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}={{a}_{2}}{\dot {\bar {E}}}\\&{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho =0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

4) Ladungserhaltung:

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial }{\partial t}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot {\dot {\bar {E}}}-{\dot {\rho }}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right)-{\dot {\rho }}\\&{\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow {\frac {{\varepsilon }_{0}}{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left({{\mu }_{0}}{\bar {j}}\right)-{\dot {\rho }}=0\\&\Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\\\end{aligned}}$

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte ${{\varepsilon }_{0}}{\dot {\bar {E}}}$

5) Lorentzkraft

${\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}$ soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion

$L({\bar {r}},{\bar {v}},t)$ so dass die Lagrangegleichung

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=0$

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

$m{\ddot {\bar {r}}}=q\left[{\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}},t)\right]$

ergibt !

Lösung:

$L={\frac {m}{2}}{{v}^{2}}+q\left[{\bar {v}}{\bar {A}}({\bar {r}},t)-\Phi ({\bar {r}},t)\right]$

Tatsächlich gilt

${{p}_{k}}={\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}({\bar {r}},t)$ = kanonischer Impuls

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)$

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn ${\bar {r}}$ zu sehen !

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)+{\frac {\partial {{A}_{k}}({\bar {r}},t)}{\partial {{x}_{l}}}}{\frac {\partial {{x}_{l}}}{\partial t}}\right)=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)\\&{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=q\left[{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \right]\\&\Rightarrow 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{v}_{k}}}}-{\frac {\partial L({\bar {r}},{\bar {v}},t)}{\partial {{x}_{k}}}}=m{{\ddot {x}}_{k}}+q\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-q\left[{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \right]\\&=m{{\ddot {x}}_{k}}+q{\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}({\bar {r}},t)+q\left[\left({\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)\right]+q{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\Phi \\&\left[\left({\bar {v}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}({\bar {r}},t)-{\frac {\partial }{\partial {{x}_{k}}}}\left({\bar {v}}{\bar {A}}\right)\right]=-{{\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]}_{k}}\\&\Rightarrow 0=m{\ddot {\bar {r}}}+q{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)-q\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]+q\nabla \Phi =m{\ddot {\bar {r}}}+q\left[{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)+\nabla \Phi -\left[{\bar {v}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]\right]\\\end{aligned}}$

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}A({\bar {r}},t)-\nabla \Phi \\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)=\nabla \times A({\bar {r}},t)\\\end{aligned}}$

und:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times A({\bar {r}},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\&\nabla \times A({\bar {r}},t)={\bar {B}}({\bar {r}},t)\\&\nabla \times \nabla \Phi =0\\&\Rightarrow {{b}_{1}}=-1\\\end{aligned}}$

Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum

mit den neuen Feldgrößen

${\bar {D}}({\bar {r}},t):={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}({\bar {r}},t)$ dielektrische Verschiebung und

${\bar {H}}({\bar {r}},t):={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}({\bar {r}},t)$ , Magnetfeld ergibt sich:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {D}}=\rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Dabei sind

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$ die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern ${\bar {E}},{\bar {B}}$ beschreiben und

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {D}}=\rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$ die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder ${\bar {D}},{\bar {H}}$ durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\dot {\bar {B}}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {B}}=0\\&{{\nabla }_{r}}\cdot {\bar {E}}=4\pi \rho \\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {B}}-{\dot {\bar {E}}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}-\nabla \Phi \\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\\&{\bar {D}}={\bar {E}}\\&{\bar {H}}={\bar {B}}\\\end{aligned}}$

im Vakuum !

Induktionsgesetz

Die Maxwellgleichung

${{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}$ wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand $\partial F$ integriert:

${\begin{aligned}&\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}\left({{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}\right)=-\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\dot {\bar {B}}}\\&\Rightarrow \oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}\\\end{aligned}}$

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

${\begin{aligned}&\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (t)\\&\Phi (t)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {A}}\\\end{aligned}}$

Der magnetische Fluß !

Der magnetische Fluß $\Phi (t)$ hängt nur vom Rand $\partial F$ der Fläche ab !

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :

${\begin{aligned}&\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}-\int _{F{\acute {\ }}}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {B}}=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um $\partial F$ beträgt:

$\Delta \Phi :=-\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}$ Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

$\Delta \Phi ={\frac {\partial }{\partial t}}{{\Phi }_{mag}}$

mit dem magnetischen Fluß

${{\Phi }_{mag}}$

Die Lenzsche Regel:

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {B}}}\to {\bar {E}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\bar {B}}\\\end{aligned}}$ induziert

${\bar {E}}\to {\bar {j}}{\tilde {\ }}{\bar {E}}$ Ladungsverschiebung/- Bewegung

${\begin{aligned}&{\bar {j}}\to {\bar {H}}\\&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {H}}={\bar {j}}\\\end{aligned}}$ erzeugt Also: ${\bar {H}}$ ist ${\dot {\bar {B}}}$ entgegengerichtet !

Zusammenfassung

$\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}{\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi (t)$ Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses: $\Phi (t)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}}{\bar {B}}=\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {A}}$

$\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {B}}=0$ Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

$\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}{\bar {E}}={\frac {Q}{{\varepsilon }_{0}}}$ Der Fluß des elektrischen Feldes durch $\partial V$ ist gleich der eingeschlossenen Ladung ${\frac {Q}{{\varepsilon }_{0}}}$

$\oint \limits _{\partial F}{}d{\bar {s}}\cdot {\bar {H}}=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\dot {\bar {D}}}+I$ Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom $\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\dot {\bar {D}}}$ und dem Konvektionsstrom $I=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {j}}$

Energiebilanz

Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

${\begin{aligned}&{\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\bar {j}}=0\\&{\dot {\rho }}+\nabla \cdot {\bar {j}}=\nabla \cdot \left({\dot {\bar {D}}}+{\bar {j}}\right)=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Frage:

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

Energietransport durch das elektromagnetische Feld:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}\times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\left.{}\right|\cdot {\bar {H}}\\&\nabla \times {\bar {H}}-{\dot {\bar {D}}}={\bar {j}}\left.{}\right|\cdot {\bar {E}}\\&\Rightarrow {\bar {H}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)+{\bar {H}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}+{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}=-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}\\&{\bar {H}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\cdot \left(\nabla \times {\bar {H}}\right)=\nabla \cdot \left({\bar {E}}\times {\bar {H}}\right)\\&{\bar {H}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}\right)\\&{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\cdot {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\frac {\partial }{\partial t}}w+\nabla \cdot {\bar {S}}=-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}$

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

$w:={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)$

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:

Elektrostatik:

${\frac {1}{2}}{\bar {E}}\cdot {\bar {D}}$

Magnetostatik:

${\frac {1}{2}}{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}$

${\bar {S}}:={\bar {E}}\times {\bar {H}}$ als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

$\sigma =-{\bar {j}}\cdot {\bar {E}}$ als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

${\bar {j}}\cdot {\bar {E}}>0$ bedingt die Abnahme der Feldenergie bei $({\bar {r}},t)$

${\bar {j}}\cdot {\bar {E}}<0$ bedingt die Zunahme der Feldenergie bei $({\bar {r}},t)$

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder ${\bar {E}},{\bar {B}}$

Kraft auf die Ladung q: ${\bar {F}}=q\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)$

Kraftdichte: ${\bar {f}}=\rho \left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)$

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte $\rho$ folgt:

${\begin{aligned}&{\bar {f}}{\bar {v}}=\rho {\bar {v}}\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)=\rho {\bar {v}}{\bar {E}}+\rho {\bar {v}}\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\\&\rho {\bar {v}}\left({\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {f}}{\bar {v}}=\rho {\bar {v}}{\bar {E}}={\bar {j}}{\bar {E}}\\\end{aligned}}$

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

Beispiel: Ohmsches Gesetz:

$\sigma \cdot {\bar {E}}={\bar {j}}$ mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT $\sigma >0$ ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder ${\bar {E}}$

Die Energiebilanz lautet:

${\frac {\partial }{\partial t}}w+\nabla \cdot {\bar {S}}=-\sigma \cdot {{\bar {E}}^{2}}<0$

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

${\begin{aligned}&t\to -t\\&{\bar {j}}\to -{\bar {j}}\\&aber\\&{\bar {E}}\to {\bar {E}}\\\end{aligned}}$

$\sigma \cdot {{\bar {E}}^{2}}>0$ wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

2. Beispiel:

Antennenstrahlung ( offenes System)

${\bar {j}}$ in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld ${\bar {E}}$ außerhalb entgegengesetzt.

$\Rightarrow {\bar {j}}{\bar {E}}<0$

$\Rightarrow$ Energiegewinn des Feldes

Impulsbilanz

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)={\dot {\bar {D}}}\times {\bar {B}}+{\bar {D}}\times {\dot {\bar {B}}}\\&{\dot {\bar {D}}}=\nabla \times {\bar {H}}-{\bar {j}}\\&{\dot {\bar {B}}}=-\nabla \times {\bar {E}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)=-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)-{\bar {j}}\times {\bar {B}}-{{\varepsilon }_{o}}{\bar {E}}\times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)\\\end{aligned}}$

Mittels

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)={\frac {1}{2}}\nabla \left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-\left({\bar {B}}\cdot \nabla \right){\bar {B}}\\&{\bar {B}}\times \left(\nabla \times {\bar {B}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}+{\bar {B}}\left(\nabla \cdot {\bar {B}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}\\&{\bar {B}}\left(\nabla \cdot {\bar {B}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Dabei bezeichnet $\left(1\right)$ den Einheitstensor 1. Stufe und ${\bar {B}}\otimes {\bar {B}}$ das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). Außerdem ist $\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {B}}\cdot {\bar {B}}\right)-{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}$ die Divergenz eines Tensors $\left(T\right)$ zweiter Stufe. In Komponenten gilt: ${{\left(\nabla \cdot T\right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }$

Analog:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}\times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}\right\}+{\bar {E}}\left(\nabla \cdot {\bar {E}}\right)=\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {E}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}\right\}+{\bar {E}}{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)+\nabla \cdot \left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}\right)-{{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}=-\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei beschreibt

$\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)$ den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {g}}+\nabla \cdot \left({\bar {\bar {T}}}\right)=-\left({\bar {E}}\rho +{\bar {j}}\times {\bar {B}}\right)\\&{\bar {g}}:=\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)\\&\left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}}\right)-{{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\otimes {\bar {E}}-{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\otimes {\bar {B}}\right\}:=\left({\bar {\bar {T}}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei ist

${\bar {g}}:=\left({\bar {D}}\times {\bar {B}}\right)$ die Impulsdichte des Feldes. Nach Newton gilt:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\bar {p}}={\bar {F}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\bar {g}}={\bar {f}}\\\end{aligned}}$

Es ergibt sich

$\left\{\left(1\right){\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)-{\bar {E}}\otimes {\bar {D}}-{\bar {B}}\otimes {\bar {H}}\right\}:=\left({\bar {\bar {T}}}\right)$

Als der IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

${{T}_{\alpha \beta }}=\left\{{{\delta }_{\alpha \beta }}{\frac {1}{2}}\left({\bar {E}}\cdot {\bar {D}}+{\bar {B}}\cdot {\bar {H}}\right)-{{\bar {E}}_{\alpha }}{{\bar {D}}_{\beta }}-{{\bar {B}}_{\alpha }}{{\bar {H}}_{\beta }}\right\}$

Dies ist die Stromrichtung der $\beta$ - Komponente der Impulsdichte in $\alpha$ - Richtung. Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !

$tr\left({\bar {\bar {T}}}\right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w$ Energiedichte Außerdem ist T symmetrisch:

${{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}$

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}{{g}_{\beta }}+{\frac {\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}$

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

Bemerkung: Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !

Eichinvarianz

Die Felder ${\bar {E}},{\bar {B}}$ werden durch die Potenziale $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ dargestellt.:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)\to \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\to {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla G\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow -\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla G\left({\bar {r}},t\right)\right)\\&\Rightarrow \nabla \left(\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-\Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\&\Rightarrow \left(\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)-\Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}G\left({\bar {r}},t\right)\right)=g(t)(r-unabh{\ddot {a}}ngig)\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&F\left({\bar {r}},t\right):=G\left({\bar {r}},t\right)-\int _{to}^{t}{dt{\acute {\ }}g(t{\acute {\ }})}\\&\Rightarrow {\bar {A}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+\nabla F\left({\bar {r}},t\right)\\&\Phi {\acute {\ }}\left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}F\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion $F\left({\bar {r}},t\right)$ . Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur ${\bar {E}},{\bar {B}}$ sondern auch $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ sind physikalisch relevant. So muss auch $\oint \limits _{\partial F}{d{\bar {s}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{F}^{}{d{\bar {f}}{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}},t\right)}$ erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}=-\nabla \times \nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\\end{aligned}}$

Auch die Umkehrung gilt:

${\begin{aligned}&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow \exists {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow \nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {B}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=-\nabla \times {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow \nabla \times \left({\bar {E}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=0\\&\Rightarrow \exists \Phi \left({\bar {r}},t\right)\Rightarrow {\bar {E}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right),\Phi \left({\bar {r}},t\right)$

1. Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=0$

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1) ${\begin{aligned}&-\nabla \cdot {\bar {E}}=\nabla \cdot \left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\Delta \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\\end{aligned}}$

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

$\Delta \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

Für A: 2) ${\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}\nabla \times {\bar {B}}-{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={\bar {j}}\\&\Rightarrow \nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\nabla \times \left(\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)=+\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\right)-\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Was mit der Lorentz- Eichung

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=0$

wird zu

$\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}$

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

$\#:=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}$

zusammengefasst werden:

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:

${\frac {1}{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}{\frac {m}{s}}$ als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !

Coulomb- Eichung

( sogenannte Strahlungseichung):

$\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): Für

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {D}}}=0\\&\Rightarrow \nabla \times {\bar {B}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\right)-\Delta {\bar {A}}={{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

(Poissongleichung der Magnetostatik)

Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :

Allgemein kann man

${\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

${{\bar {E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)$

und ein quellenfreies Transversalfeld

${{\bar {E}}_{t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

$\nabla \times {{\bar {E}}_{l}}:=-\nabla \times \left(\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=0$

$\nabla \cdot {{\bar {E}}_{t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Da ${\bar {B}}$ quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

$\nabla \cdot {\bar {B}}:=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)=0$

Also:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)$ ergibt die longitudinalen Felder und

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ die transversalen Felder.

Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).

Zerlegung der Stromdichte:

${\bar {j}}={{\bar {j}}_{l}}+{{\bar {j}}_{t}}$

mit

$\nabla \times {{\bar {j}}_{l}}=0$

$\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0$

Mit

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\nabla \cdot {{\bar {j}}_{l}}+\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0\\&\rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar {E}}_{l}}\\&\nabla \cdot {{\bar {j}}_{t}}=0\\&\Rightarrow \nabla \cdot \left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0\\\end{aligned}}$

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

$\nabla \times \left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0$

Also:

$\left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=const$

Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:

$\left({{\bar {j}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {E}}_{l}}\right)=0$

Also:

${{\bar {j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

Also: Die Feldgleichungen

${\begin{aligned}&\Delta \Phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\bar {A}}=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\nabla \cdot {\bar {A}}=0\\&\Rightarrow \Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0\\&\nabla {{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)={{\bar {j}}_{l}}\\\end{aligned}}$

erhalten dann die Form:

$\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

und

${\begin{aligned}&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{t}}\\&\\\end{aligned}}$

In der Coulomb- Eichung ! Also.

$\Delta \Phi =-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

$\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar {j}}_{t}}$ als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !

Sie liefert eine Poissongleichung für $\Phi$ und eine Wellengleichung für ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ .