ARTvorlesung von Prof. Dr. H.-H. von Borzeszkowski
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Der Artikel ART-Skript basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des alle.Kapitels der ARTvorlesung von Prof. Dr. H.-H. von Borzeszkowski.
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Einleitung
Die leitenden Gedanken der Allgemeinen Relativitätstheorie
Methodische Vorbemerkung zur Art der folgenden Darstellung
Man muss über Probleme der Newtonschen Meachanik und der SRT Sprechen
Ausgangspunkt: Beschreibung der Bewegung
Man muss über zulässige Koorinatensysteme und über Zeit reden
C. Neumann & L Lange zur Bestimmung von Intertialsystemen in der Newtonschen Mechanik
M. v. Laue zur Bestimmung von Inertialsystemen in der Speziellen Relatitätstheorie
SRT (Relativitätsprinzip) und Newtonsche Gravitationstheorie (,, ,)
Einstein (1907): „Der glücklichste Gedanke meines Lebens“ Das Äquivalenzprinzio ist der Relativitätstheorie zugrunde zu legen.
Verallgemeinerung der SRT zur ART
Übersicht und Literatur
(ausgelassen)
Der Übergang von der Speziellen zur Allgemeinen Relativitätstheorie
Newtonsche Mechanik und Galilei-Invarianz etc.
Zeit Transformationen (Translationen)
- Invarianz des Zeitmaßes und der Bewegungsgleichungen
Raum Transformationen (Translationen und Rotationen)
Kovarianz der Bewegungsgleichung
- mit in kartesischen Koordinaten, und der Beziehung .
Invarianz des Raummaßes
Spezielle Galilei Transformation
Invarianz der Bewegungsgleichung
- mit
Keine Kovarianz des Raummaßes ()
Insgesamt: Kovarianz der Bewegungsgleichungen bezüglich der allgemeinen Galilei Gruppe:
Formal lässt sich das 4-Dimensional formulieren dies ist aber physikalisch ohne Bedeutung, da das keine irreduzibele 4-Dimensionale Gruppe ist):
10-parametriege Gruppe
Allgemeine bzw. andere Transformationen ändern die Form der Bewegungsgleichungen:
Beispiel Rotierendes Bezugssystem ():
- mit
(Ausführlicher in § 9)
Systematische und historische Bemerkungen zum Verhältnis von Galilei-Invarianz und Elektrodynamik: Bedeutung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Relativitätsprinzip gilt in allen Inertialsystemen
(1.1)
Minkowski-Raum: 4-Dimeionale pseudo-euklidische Metrik (in Inertialkoordinaten) bzw. pseudo-Karth. Koordinaten) . (später siehe §4)
Linienelement in Inertialkoordianten ()
Bestimmung der Inertialsysteme bzw. der sie verbinden Transformationenen (Lorentz-Transformation)
Ansatz
Ansatz: mit
Also: Allgemeine Lorentz-Transformation (Poincaré-Transformation)
- mit
Spezialfall der räumlichen Rotation:
- mit
Spezielle Lorentz-Transformation
- Lorentz-Transformation ohne räumliche Rotation und ohne Translation
Spezielle LT in x1-Richtung
Eigentliche Lorentz Transformation (schließt räumliche und zeitliche Speigelungen aus):
(10 parametrige Gruppe)
Tensoren im Minkowski- Raum
Minkowski-Raum: 4 dimensionaler pseudo euklidischer Raum
3-dim euklid. Raum: Ist durch pythagoreische Maßbestimmungen definiert
mit Metrik
4-dim euklid. Raum
- mit Metrik
4-dim pseudo-euklid. Raum
mit Metrik
Lorentz Transformation wurde grade so bestimmt (s §3), daß und invariant sind
Es gibt 3 Arten von Abständen:
Zeitartig (
)
Lichtartig(
) Spannen den Lichtkegel auf
raumartig(
)
Tensoren (durch Transformationsgesetz definiert)
Kontravarianter Vektor :
Kovarianter Vektor
Heben und Senken von Indices
mit
Also
Allgemein
Die partielle Ableitung ist eine tensorielle Operation: Sie führt ein Tensorfeld N-ter Stufe in ein Tensorfeld (n+1)-ter Stufe über
Beispiel
Also ist kovariant und ist kontravariant
Relativistische Mechanik
1 . Newton`sche Axiom
- für Kräftefreie Bewegung
- Lorentz Skalar m
- Lorentzvektor
- Lorentz Skalar
Vierergeschwindigkeit es gilt
Viererimpuls es gilt
Mit Ruhemasse m und träger Masse
Das erste Axiom besagt in seiner 4-dimensionalen Fassung die Erhaltung von Energie und Impuls
lautet ausgeschrieben mit
Für kleine Geschwindigkeiten gilt
Allgemein also gilt der Zusammenhang (Äquivalenz von Masse und Energie)
2. Newton`sche Axiom
Die 0-Komponente ist bis auf einen Faktor von der Dimension einer Leistung bestimmt. Im nichtrelativistischen Grenzfall lautet die 0-Komponente der Bewegugnsgleichung
3. Newton`sche Axiom
Hat keine direkte relativistische Entsprechung#
Elektordynamik (im Leeren Raum)
Maxwellsche Gleichungen
EINFÜGEN
Bewegungsgleichungen
(Lorentzkraft) (1.2)
4- Stromvektor (Kontinuitätsgleichung
4- Feldstromstärke sei
Lorentzinvarianz
Inhomogene Maxwellgleichungen nun
Homogene Maxwellgleichungen
Lösung der homogenen MWG mit Vektorpotential
Dann ist + homogene MWG und
Also ,
Aus der Lorentzkraft wird
Der Energie Impuls Tensor lautet
Relativistische Hydrodynamik
Ideale Flüssigkeit: Charakterisiert durch Dicht , Gewindigkeitsfeld , isptrpües Druckfeld also 5 Feldfunktionen
Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistschen Fassung
3 Euler Gleichungen
ÜBERSPRUNGEN
Beschleunigte Bezugssystem im Minkowski-Raum
Newtonsche Mechanik
Inertialsystem
(für freies Teilchen)
Nicht-Inertialsystem
Beispiel: Rotierendes Bezussystem (=Winkelgeschwindigkeit)
Spezielle Relativitätstheorie
Inertialsystem
Linienelement
Bewegungsgleichung (eines freien Teilchens der Messe m):
Übergang zu einem Nicht-Inertialsystem
Linienelement
Beispiel:
Mit
Bewegungsgleichung:
Man erhält sie durch die Transformation aus der Gleichung :
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {\begin{aligned}&md_{\tau }^{2}{{x}^{\mu }}=m{{d}_{\tau }}\left({{d}_{\tau }}{{x}^{\mu }}\right)=m{{d}_{\tau }}\left(\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}\right)=0\\&=m\left(\partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}+\partial {{'}_{\alpha }}{{x}^{\mu }}d_{\tau }^{2}x{{'}^{\alpha }}\right)=0\\\end{aligned}}}
Durch Multiplikation mit liefert mit :
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle d_{\tau }^{2}x{{'}^{\sigma }}+\underbrace {\underbrace {{{\partial }_{\mu }}x{{'}^{\sigma }}\partial '_{\alpha \beta }^{2}{{x}^{\mu }}} _{=:\Gamma '_{\alpha \beta }^{\sigma }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\alpha }}{{\partial }_{\tau }}x{{'}^{\beta }}} _{{\text{''Tr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ gheitskr }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ fte''}}}=0}
Da gemäß die Metrik im Nicht-Inertialsystem durch gegeben ist folgt
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \Gamma '_{\nu \rho }^{\mu }={\frac {1}{2}}g{{'}^{\mu \alpha }}\left(g{{'}_{\alpha \rho ,\nu }}+g{{'}_{\alpha \nu ,\rho }}-g{{'}_{\nu \rho ,\alpha }}\right)}
Der Übergang von der Newton`schen Gravitationstheorie zur Allgemeinen Relativitätstheorie
Newton‘sche Gravitationstheorie
Die gravitative Wechselwirkung (gemäß der Newton`schen Axiomatik)
Mit
Bewegungsgleichungen (gemäß dem 2. Axiom):
3. Axiom d.h.
Newtons Pendelversuch: da SchwingungsdauerAlsoÄquivalenz von schweren und Trägen Massen)
Dieses sogenannte Äquivalenzprinzip ist eine Besonderheit der Gravitation (siehe dazu §10)
Das Äquivalenzprinzip in der Newtonschen Gravitationstheorie
Dieses Prinzip benennt die Besonderheit der graviativen Wechselwirkung wie ein Verglich mit der elektrischen Wechselwirkung zeigt
Bewegungsgleichungen
3. Axiom
Diese Äquivalenz wird auch in der Elektrodynamik vorrausgesetzt, da ansonsten weder ein Potential nochj eine Lagrange-Funktion eingeführt werden kann (Clausius). Denn nur dann gilt:
Mit
Also (die elektrische Ladung ist also nicht gleich der trägen Masse, wohl aber ist die Gravitationsladung gleich der trägen Masse)
Die lokale Äquivalenz von Trägheit und Schwere (Einsteinsches Äquivalenzprinzip)
Verschiedene Versionen des Newton`schen Äquivalenzprinzips
Die träge Masse m ist gleich der schweren Masse M
Bezüglich eines in einem homogenen Gravitationsfeld frei Fallenden Bezugssystems („Einsteinscher Fahrstuhl“) verlaufen alle Prozesse so, als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden. Denn
Kartesische Koordinaten in den O ruht
- mit dem frei fallenden Fahrstuhl verbundene kartesische Koordinaten
(also
)
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {m_{A}}d_{t}^{2}x_{A}^{i}={{M}_{A}}{{g}^{i}}+{{F}^{i}}\to {{m}_{A}}d_{t}^{2}x'_{A}^{i}=\left({{M}_{A}}-{{m}_{A}}\right){{g}^{i}}+F{{'}^{i}}={{F}^{i}}}
Mit Fi irgendwelche andere auf mA wirkende Kräfte
Bezüglich eines in eines im homogenen Gravitationsfeld frei fallenden lokalen Bezugssystems verlaufen alle Prozesse, so als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden.
Mit Einstein (1907): „Der Glücklichste Gedanke meines Lebens“: Diese Eigenschaft der Graviation ist wesentlich und sollte auch in der relativistischen Theorie der Graviation gelten
Einsteinsche Äquivalenzprinzip
In einem frei fallenden lokalen Bezugssystem gelten die Gesetze der SRT
bzw.
In einem lokalen Inertialssystem gelten die Gesetzte der SRT
bzw. umgekehrt
Durch eine Transformation die den Übergang von einem lokalen Inertialsystem (LIS) zu einem dagegen beschleunigtem System beschreibt erhalten die SRT-Gleichungen eine Form, die den Einfluß eines äußeren Gravitationsfeldes berücksichtigt.
Resümee der Kapitel II und III
Kap II Kap III
In der SRT (also ohne Berücksichtigung der Gravitation) gilt: Aufgrund des für die Gravitation vorausgesetzten Äquivalenzprinzips gilt:
In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) IS gelten die Gesetze der SRT In einem lokalen IS gelten die Gesetze der SRT
In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik Trägheitsfelder In einem lokalen NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik auch Gravitationsfelder
Aufgrund des Äquivalenzprinizips werden Trägheit und Schwere lokal definiert (d.h. durch ein und dasselbe Feld beschrieben
Formales Schema:
Gleichungen der SRT, die irgendwelche physikalischen Prozesse in einem IS ohne den Einfluss eines Gravitationsfeldes beschreiben
ALLGEMEINE KOORDINATENTRANSFORMATION
Gleichungen die diese Prozesse unter Berücksichtigung der Graviation
Physikalische Beobachtung genügt der Übergang zu allgemeinen kovarianten Gleichungen aber erst im Riemann`schen Raum.
Riemannsche Geometrie
Der Riemannsche Raum
Vergleich 2-dimeionsonale ebener und 2 dim gekrümmter Räume um den Begriff des gekrümmten Raumes an einem Beispiel zu illustrieren
Euklidischer Raum (n=2) Gekrümmter Raum (n=2)
In kartesischen Koordinaten
Linienelment
Geradengleichung mit t=Kurvenparameter Es existieren keine kartesischen Koordinaten
z.B. d
Krummlinige Koordinaten (Polarkoordinaten)
- Es gibt nur Krummlinige Koordinaten z.B. die obrigen
Minkowsik Raum (n=4) Gekrümmter Raum (n=4)
In quasi kartesischen Koordinaten (Globale Inertialsystem)
Linienelment
Geradengleichung (gradlinige gleichförmige Bewegung)
Mit Koordinatentransformation ISNICHT-IS Es gibt keine quasi kartesischen Koordinaten, d.h. keine globalen IS.
In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)
- In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)
Definition: Riemannscher Raum =4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik definiert ist, derart dass
invariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen
die Signatur -2 hat
Tensoren im Riemannschen Raum
(vgl. auch Kapitel 4)
Riemannscher Raum =4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik definiert ist, derart dass
invariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen
die Signatur -2 hat
Beziehungen:
Es gibt wieder (wie im Minkowski-Raum) drei Arten von Abständen
Zeitarting (
)
Lichtartig(
) Spannen den Lichtkegel auf
raumartig(
)
Tensoren (sie werden durch ihr Verhalten bei allgemeinen Koordinatentranformationenn bestimmt)
kontravarianter Vektor
-
Kovarianter Vektor :
-
Heben und Senken von Indices
mit
Also
Allgemein
Die Symmetrien bleiben bei Transformationen erhalten
Die partielle Ableitung ist keine kovariante Operation, d.h. sie macht einem Tensor k-ter Stufe keinen Tensor (k+1)-ter Stufe. Denn:
Daher ist es notwendig eine kovariante Ableitung einzuführen
Partielle und kovariante Ableitung
Definition der kovarianten Ableitung durch de Forderungen:
Die kovariante Ableitung eines Tensors k-ter Stufe ergibt ein Tensor (k+1)-ter Stufe
Im Minkowski-Raum reduziert sich im quasi-kartesischen Koordinaten (d.h. in einem globalen IS) die kovariante auf die partielle Ableitung (In einem Riemannschen Raum ist das für lokale IS zu fordern.
Man betrachte dazu die Transformations-Eigenschaften der Christoffel-Symbole die in den §§8 und 11 beim Übergang von einem IS bzw. lokalen IS zu beliebigen Koordinaten auftreten.
IS bzw. lokales IS Beliebiges KS
Koordinaten
Metrik
Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: Koordinaten
Metrik
Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens:
Wobei
Nun Übergang von Koordinaten zu neuen Koordinaten :
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {\partial }{\partial x{{'}^{\nu }}}}\left({\frac {\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}\right)\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}\partial {{x}^{\rho }}}}{\frac {\partial {{x}^{\rho }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}{\frac {\partial {{\xi }^{\tau }}}{\partial {{x}^{\alpha }}}}\right)\\&={\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{\xi }^{\sigma }}}}{\frac {\partial {{x}^{\sigma }}}{\partial {{\xi }^{\tau }}}}{\frac {\partial {{x}^{\alpha }}}{\partial x{{'}^{\lambda }}}}\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }+{\frac {\partial x{{'}^{\mu }}}{\partial {{x}^{\sigma }}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{x}^{\sigma }}}{\partial x{{'}^{\nu }}\partial x{{'}^{\lambda }}}}\end{aligned}}}
Betrachte nun Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \Gamma '_{\nu \lambda }^{\mu }A{{'}^{\lambda }}}
Daher gilt wegen des letzten Ausdrucks von §13:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle \partial {{'}_{\nu }}A{{'}^{\alpha }}+\Gamma '_{\mu \nu }^{\alpha }A{{'}^{\mu }}={{\partial }_{\sigma }}x{{'}^{\alpha }}\partial {{'}_{\nu }}{{x}^{\rho }}\left({{\partial }_{\rho }}{{A}^{\sigma }}+\Gamma _{\beta \sigma }^{\sigma }{{A}^{\beta }}\right)}
Transformation eines Tensors 2-ter Stufe!
Definition der kovarianten Ableitung:
Allgemein gilt:
Es gilt (das ist ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie)
Paralleltransport von Vektoren
Anschauliche Bedeutung der kovarianten Ableitung führt zum Begriff „Parlleltransport“ bzw. „Parallelität von Vektoren in infinitesimal benachbarten Punkten“:
Das totale Differential eines Vektors
Ist also kein Vektor (s.o), weil die Termine
und sich verschieden transformieren, denn . Die Differenz ist deshalb kein Tensor.
Man muss also
zum Punkt x transportieren, ohne dass z sich im Minkowski-Fall ändert (d.h. ihn nach x parallel verschieben). Die Änderung bei Parallelverschiebung sei genannt.
(man zieht also die Änderung bei der Parallelverschiebung ab)
Aufgrund der oben definierten kovarianten Ableitung weiß man, wie aussieht:
d.h.
Also: 2 Vektoren in infinitesimalen Punkten sind genau dann parallel, wenn die beiden Änderungen und sich gegenseitig kompensieren, d.h. wenn die kovariante Ableitung verschwindet:.
Bemerkungen:
Es gibt keinen Fernvergleich von Vektoren (d.h. von Richtungen sondern nur den von Winkeln)
Bei dieser Art der Verschiebung ändert sich der Winkel zwischen Vektor und Kurve (anders beim Fermi-Walker-Transport)
Geodätische Linien (Geodäten)
Def. der Autoparallel (die „gradeste Verbindung“ zweier Punkte): (Für beliebige Kurven ändert sich der Winkel zwischen Vektro und Kurve (s.o.))
Autoparllele=Kurve, längst der der Tangentenvektor parallel verschoben wird
(Parallelverschiebung)
(Tangentenvektor an Kurve mit Kurvenparameter )
(Autoparallelengleichung)
Definition der Geodäten (die „kürzeste Verbindung“ zweier Punkte):
Geodäte=Kurve länger der .
(Geodätengleichung)
Die Autoparallele ist gleich der Geodäten (ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie)
Der Krümmungstensor
Der Krümmungstensor ist ein kovariantes Maß für die Krümmung des Raumes (Die Metrik und die Konnektoren sind ungeeignet: ist kein „punktuelles“ Maß, da in einem Punkt immer auf zu transformieren und ist kein Tensor.)
Erste Art der Definition
Zweite Art der Definition
1. Weg
2. Weg
Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors
Es bleiben also noch 20 algebraisch unabhängige Komponenten
Differentialidentität (Bianchi-Identität)
Ricci-Tensor
Ricci-Skalar
Damit verfügen wir über das gemometrische Inventar zur Formulierung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen.
………RECHNUNG FEHLT………
Grundgesetze der Allgemeinen Relativitätstheorie
Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum
(schwaches Äquivalenzprinzip bzw. Einsteinsches Äquivalenzprinzip)
SRT Gesetze ohne Gravitation Koordinaten Transformation ART-Gesetze (Relativistisch) Gesetze mit Gravitation
Tensoren im M4 Tensoren im V4
Mechanik
(nichtrelativistische Näherung §31a)
Elektrodynamik
Nichtrelativistischer Grenzfall
Der mechanischen Bewegungsgleichung
Also
- (statische Felder)
(schwache Felder)
Bewegungsgleichungen:
Man kann daher schreiben als
Energie – Impuls Tensor
Alle Energieformen au0er der Gravitation tragen zum Energie-Impuls-Tensor bei
differentieller Energie-Impuls-Erhaltungssatz
Daraus folgt für räumlich begrenzte Systeme:
(Integraler Energie-Impuls-Erhaltungs-Satz)
In der ART gilt
Einsteinsche Feldgleichungen der Gravitation
Struktur („Ableitung“) der Gleichungen
Aufgabe: Relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationsgleichung
(1.3)
Wobei die gesuchten Gleichungen Differentialgleichungen für sind.
Nichtrelativistischer Grenzfall der Bewegungsgleichungen Hinweis für die Verallgemeinerung der linken Seite von (1.3):
Vergleich weiter oben
Nichtrelativistischer Grenzfall des Energie-Impuls-Tensors einer idealen Flüssigkeit Hinweis für die Verallgemeinerung der rechten Seite von (1.3)
Denn für gilt
Also mögliche Formulierung von (1.3)
(1.4)
Gesucht ist eine Verallgemeinerung dieser Gleichung, die es erlaubt, alle zu bestimmen. Naheliegende Verallgemeinerungen von (1.4):
<-> -Widerspricht der Gleichung
<-> -Sinnlos da
Man hat für die linke Seite der Gleichung einen Tensor zu suchen der folgenden Bedingungen genügt:
ist ein Riemannscher Tensor 2ter Stufe
Ist symmetrisch
enthält keine höheren Ableitungen von als die zweite:
Für schwache, statische Felder gilt
Aus (1)-(3) folgt
Aus (4) folgt
Da
Aus (5) folgt
Also
(Einsteinsche Gleichungen ohne kosmologischen Term)
(Einsteinsche Gleichungen mit kosmologischem Term)
Einsteinsche Gleichungen und Bewegungsgleichungen
SRT
- (Energie Impuls Erhaltung)
ART
- keine Energie Impuls Erhaltung
In der ART sind die Gleichungen keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen.
Das Variationsproblem der Einsteinschen Gravitationsgleichungen
Allgemeines Schema
Man konstruiert ein das physikalische System charakterisierende Wirkungsintegral S
Die Feld bzw. Bewegungsgleichungen folgen dann aus dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip für die Euler-Variation der Variablen .
Mechanik
(Systeme mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden)
Voraussetzung:
L enthält bisauf Terme der Form (wobei ) nur erste Ableitungen der Variablen
Hamiltonsches Prinzip
Resultierende Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen)
Einstein Gleichungen
Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH
Mit
= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential erzeugenden Terme
Einsteinsches Wirkungsintegral SE
Der Term
liefert keinen Betrag zu da es sich beim Integranden um enie Divergenz handelt (s.o.).
- mit
Lineare Näherung der Einsteinschen Gleichungen
Von den Einsteinschen zu den linearisierten Gleichungen
Vorbemerkung
Elektrodynamik:
4 algebraisch unabhängige Gleichungen
1 Differentialidentität
4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen
für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit
ART
10 algebraisch unabhängige Gleichungen
4 Differentialidentitäten
10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen
für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz )
Linearisierung der Gleichungen
Ansatz mit (schwache Felder)
Nachbemerkung
(Zum Vergleich von Elektrodynamik und linearisierter ART)
Elektrodynamik (in Potentialform)
Eichinvarianz bzgl. . Daher Äquivalente Formulierung der ED:
Linearisierte ART
Bemerkung (Ähnlichkeiten und Unterschiede)
Von den linearisierten zu den Einsteinschen Gleichungen
-entfällt-
Die Schwarzschildlösung und Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie
Das Kugelsymetrische Graviationsfeld (Schwarzschild-Lösung)
Bewegung von Teilchen im kugelsymetrischen Gravitationsfeld
Lichtablenkung, Periheldrehung, Radarecheo-Effekt, geodätische Präzession
Statische Sternmodelle
Gravitationsstrahlung
Wellenlösungen
Nachweis von Gravitationsstrahlung
Übersicht über die durchgeführten und geplanten Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie
Vorbemerkung
Der Name „schwaches Äquivalenzprinzip“ steht hier für das was in §11 als Newtonsches und Einsteinsches Äquivalenzptinzip bezeichnet wurde. Das schwache ÄP macht aber Aussagen über den Einfluss eines gegebenen äußeren Gravitationsfeldes auf physikalische Prozesse
Das starke Äquivalenzprinzip betrifft die Gravitation selbst, also die Potentiale und deren Bestimmungs-gleichungen. Es besagt: Das Gravitationsfeld ist einzig und allein durch die gegeben, und diese werden durch die Einsteinschen Feldgleichungen bestimmt
[ES GIBT UNTERSCHIEDLICHE DEFINITIONEN DES SCHWACHEN UND STARKEN ÄP]
Tests des schwachen Äquvalenzprinzips
Eötvös Versuch
(mit Vorläufern und Nachfolgern)
Galileisches Fallgesetz
Newtons „Äquivalenzprinzip“ m=M
Test durch
Newton: Pendelversuche für kleine Winkel
Bessel (1784-1846): Pendelversuche
Eötvös (1848-1918): Versuche mit der Torosionswage in den Jahren 1880-1919
1922: 1990
Rotverschiebung
Bemerkungen über Koordinaten und Eigenzeit
SRT ART
IS:
- IS:
IS: (Ruhesystem)
- Allgemeines KS:(Ruhesystem)
Jede in einem Inertialsystem ruhende Uhr misst die Eigenperiode. Unter dem Einfluss der Gravitation musst eine ruhende Uhr eine Periode. Nur eine frei fallende Uhr misst . (d..h. eine Uhr im lokalen IS.)
Gravitationsrotverschiebung
Betrachten zwei identische Uhren in einem statischen Gravitationsfeld (an den Orten A und B)
Sei der Abstand zwiscehn 2 Wellenbergen und dt die Koordinatenzeit zwischen 2 Wellenberen
mit (z=Rotverschiebungsparameter)
Es gibt 3 Arten der Rotverschiebung
Doppler-Verschiebung
Gravitationsrotverschiebung
Kosmologische Rotverschiebung
Messung der gravitativen Rotverschiebung mittels des Mößbauer-Effektes durch Pund&Suider (1965) im Erdfeld:
Messung der gravitativen Rotverschiebung des Sonnenlichtes die durch das Gravitationsfeld der bewirkt wird (Snider 1972):
- (störende Faktoren: Relativgeschwindigkeit: Erde – Sonne termische Bewegung der Atome, Konvektion der solaren Gase)
1980 H2-Maser:
Bewegte Uhren (in Flugzeugen, Raketen und Stelliten bestätigen die allg. Beziehung zwischen und dt)
Test des starken Äquivalenzprinzips
Roberson-Entwicklung für im schwachen Gravitationsfeld, d.h. für
(im Sonnenfeld)
Für ART: für Newton)
Rotverschiebung
Test für g00 in erster Näherung (diese Bedingung muss jede Theorie erfüllen)
Lichtablenkung, Gravitationswellen
(Winkel der Lichtablenkung)
Gravitationslinsen: Qusarzwillinge erwiesen sich als 2 Bilder eines Quasars, dessen Radiowellen durch eine zwischen uns und dem Quasar befindlichen („Gravitationslinse“)
Periheldrehung
- (Drehung pro Umlauf)
Unter verwendung des aus anderen Beobachtungen gegeben -Wertes erhielt man 1989/90:
Radarecho-Effekt
- Für Venusreflektor
Präzession von Kreiseln
Kreisel „Erde-Mond“ (1988-1996) 1% genauigkeit d geod. Präzession
Standford Satelliten Exp. Zur Messung der geodätischen Präzession und des Thirring-Lense Effekts:
Demnächst sollen Resultat gefunden werden.
Nordvedt-Effekt
Abstand „Erde-Mond“-Messung liefert
Doppelpulsarsystem
Indirekter Nachweis der Gravitationsstrahlung am Doppelpulsarsystem PSR 1913+16
Zusammenfassung
Die ART ist für schwache Gravitationsfelder hervorragen bestätigt
Für starke Felder können astrophysikalische und kosmologische Untersuchungen als Tests dienen.
Vorlesung ART II
Zusammenfassende Darstellung der Grundlagen der ART
Hamilton Lagrange Formalismus für Feldtheorie
(Ableitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip)
Allgemeines Schema
Hamiltonsches Wirkungsprinzip
- für Euler-Variation von
der Variation von
- Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle & \phi }
wobei das Wirkungsintegral ist (L:=Lagrangefunktion)
Jeweilige Symmetrieforderung (aller Arten von Relativitätsprinzipien) werden automatisch erfüllt
Aber beim Start mit Hamiltonfunktion (bzw. Hamiltondichte) bedarf es der speziellen Prüfung
Systeme mit endlichen Anzahl von Freiheitsgraden (Mechanik)
Voraussetzung L enthält nur erste Ableitung von Variablen
Geschwindigkeitsphasenraum (Konfigurationsraum q^i (Verallgemeinerte Koordinaten), Konfigurationsraum ( verallgemeinerte Geschwindigkeiten)
i=1..N (N Freiheitsgrade)
Lagrange Funktion bzw.
Hamilton Prinzip:
Für die Teilchenbahn ist
Bezüglich Euler-Variation der stationär. (
wobei
Euler-Lagrange-Gleichung (Mechanik)
- Euler-Variation des Wirkungsintegrals ist gleich der Funktionalableitung von L.
Zusatzterme der Form sind „wirkungslos“ (verändern die resultierende Bewegungsgleichung nicht.) Also sind hinsichtlich Euler-Variation äquivalent zu L: Warum?
so daß wegen gilt
.
Für den Fall, dass L auch von der 2. Ableitung abhängt muss man fordern, dass und Dann sind , mit Euler-Äquivalent
Systeme mit einer kontinuierlichen unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden (klassische Feldtheorie)
(Canonical Gravity: From Classical to Quantum, J. Ekler, H Fredrich (eds. Springer 1994) (A.Wipf)
Tabelle 1 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie
Mechanik Feldtheorie
- (Endliche Anzahl an Freiheitsgraden) kontinuierliche und endliche Freiheitsgrade (a))
(z.B. elektrodynamisches Potential oder skalares Potential )
-
Weitere Übersetzungen (Math. Operationen, …)
Tabelle 2 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie
Mechanik Feldtheorie
-
-
-
(Der Konfigurationsraum muss entsprechend oft genug differenzierbar sein.)
Lagrangian und Wirkungsintegral … Hamiltonsches Prinzip
Tabelle 3 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie
Mechanik Feldtheorie
- = Lagrangedichte (lokale Feldtheorie)
-
Lagrange Dynamik bzw. ELG der freien Teilchen
Tabelle 4 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie
Mechanik Feldtheorie
-
Ableitung der Einsteinschen Gleichungen durch Variation nach g
Vorbemerkung zu Integralen im Riemannschen Raum:
Integrale können nur überskalare Dichten gebildet werden. Alle andere wäre sinnlos Also:
- (Allgemeine Definition)
Denn:
Es kommen nur skalare („indexfreie“) Objekte als Integrand in Frage
Es dürfen keine gemeinsamen Skalare sein, da
Also
Man kann skalare Dichte immer aus Skalar duch Multiplikation mit erhalten, weil
Gaußscher Satz gilt nur für skalare Dichten z.B. nicht aber für .
Einstein Gleichungen
Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH
Mit
= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential erzeugenden Terme
Einsteinsches Wirkungsintegral SE
Der Term
liefert keinen Betrag zu da es sich beim Integranden um enie Divergenz handelt (s.o.).
- mit
Ableitung der Einsteinschen Vakuum-Gleichungen mittels der Palatini-Variation
(von Einstein „gemischte“ und von Wegl „neutrale“Variation genannt)
Im Riemannschen Raum giltDaher ist dann nur die obrige metrische Variation möglich.
Nehmen wir an, dass man in einem Raum ist, der durch eine Metrik und eine symmetrische Konnerktion charakterisiert ist. Dann kann man nach g und l‘ variieren. Resultat:
Variation von
nach zu:
Damit führt Variation von
nach zu
Erhaltungssätze und Bewegungsgleichungen in der ART
Spezielle Relativitätstheorie
Es gilt Energie-Impuls-Erhaltung
ART
- keine Energie Impuls Erhaltung
In der ART sind die Gleichungen keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen.
Beispiel Ideale Flüssigkeit:
Die kovariante Herleitung und Formulierung dieses Sachverhaltes lautet:
SRT
ART
Hier bricht die Argumentationskette aber ab, da für Tensorfelder 2ter und höherer Stufe im Riemannschen Raum kein Gaußscher Satz gilt. Es folgt also kein integraler Erhaltungssatz.
Es existieren Killing Vektoren:
- ist die Divergenz eines Tensors 1. Stufe für den der Gaußsche Satz gilt
Im übrigen gilt
Lineare Näherung der Feldgleichungen
Vorbemerkungen (Elektrodynamik)
Elektrodynamik:
4 algebraisch unabhängige Gleichungen
1 Differentialidentität
4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen
für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit
ART
10 algebraisch unabhängige Gleichungen
4 Differentialidentitäten
10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen
für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz )
Beispiele sind Lösungen der Gleichungen
Gravitationsstrahlung
Gravitationswellen (ebene Wellen)
Lösungen der Wellengleichung
Wieder zum Vergleich: Elektrodynamik
Feldgleichungen
Eichbedingungen
(1 Zusatzbedingung, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich mit möglich ist
Daraus folgt dass nur 2 unabhängige Felder (bzw. Feldfreiheitsgrade) existieren
Ansatz: Ebene Wellen
- mit
Also Welle in x3-Richtung
Lineareisierte ART
(Feldgleichungen)
(Eichbedingungen)
4 Zusatzbedingungen, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich möglich sind
Es exisitieren also nur 2 unabhängige Felder
Ansatz: Ebene Welle
Dazu gilt die Annahme einer Welle, die in x3-Richtung läuft
Explizit sichtbar das nur 2 unabhängige Felder nämlich e11 und e12 existieren
Energie und Impuls der ebenen Wellen
Linear polarisierte Welle e11=h, e12=0 oder andersrum
Und wenn in x3-Richtung dann folgt daraus
Quadropulstrahlung
Welcher Art ist die Strahlung? Dazu Quellterme mit betrachten.
Elektrodynmaik (elektromagentische Strahlung)
Räumlich begrenzte zeitlich periodische Ladungsverteilung
Retardierte Potentiale:
Frequenz der Potentiale = Frequenz der Ladungsverteilung
Annahmen
Betraten asymptotische Felder, d.h. nehmen an dass
Machen Langewellen-Näherung d.h. nehmen an dass daraus folgt für die räumlichen Komponenten
Mit der Kontinuitätsgleichung folgt
Kosmologische Lösungen der Einsteinschen Gleichungen
Übersicht über die Grundlagen der Kosmologie und die wichtigsten Weltmodelle
Metagalaxis
Galaxien:
Galaxienhaufen:
(1.5)
Die über ein Raaster von 108Lj gemittelte Materie ist homogen und isotrop verteilt. (es existiert ein homogener und isotroper Hubble-Fluss
Friedmann – Roberson Walker Metrik (s. Goenner 14.1)
Annomalien über die Materie und die Metrik
Kontinuumsmodell (idealesGas bzw. ideale Flüssigkeit)
Es existiert ein durch x0=const gezeichnetes momentanes Ruhesystem der Materie (mitbewegtes Bezugssystem) Das heißt und
…
Also
Die Weltlinien der Materie sind zeitartige Geodäten
(1) + (2) Also
(1.6)
Bzw mit Koordinatentransformation
(1.6)
Der Hubble Fluß der kosmischen Materie ist homogen und isotrop, d.h. das Verhältnis der Raumschnitte zu verschiedene Epochen und ist nur eine Funktion der kosmischen Zeit:
Kosmologisches Prinzip: In unserer Epoche ist kein Ort im Raumschnitt vor einem anderen ausgezeichnet, d.h. der 3Dimensionale Ortsraum ist homogen und isotrop.
Daraus folgt
Beispiel k=+1
S3:(Einheitsspähre)
Durch Einbettung in einen 4-dimensionalen euklidischen Raum mit dem Linienelement und geeigneten Koordinaten erhält man