Addition von Drehimpulsen

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Addition von Drehimpulsen	Spin und Systeme identischer Teilchen
	Spin- Operatoren und Zustände Dynamik des 2- Zustands- Systems Zustände mit Bahn- und Spinvariablen Addition von Drehimpulsen Identische Teilchen: Spin und Statistik	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

$\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

$\begin{align} & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{L}}}_{l}} \\ & \left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{S}}}_{l}} \\ & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{J}}}_{l}} \\ \end{align}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen!

$\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0$

Ebenso:

$\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0$

Also:

Die $2(2 l + 1)$ Produktzustände $\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle$ sind Eigenzustände zu ${{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}$ aber nicht zu ${{\hat{J}}^{2}}$ , da $\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0$ bzw. $\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${{\hat{J}}^{2}}$ , ${{\hat{J}}_{3}}$ , ${{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}$ .

Dies muss möglich sein, da

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}_{3}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}}+{{{\hat{\bar{S}}}}_{3}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}_{3}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}}+{{{\hat{\bar{S}}}}_{3}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=0 \\ \end{align}$

Die Eigenwertgleichungen lauten:

$\begin{align} & {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{J}}}_{3}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\hbar {{m}_{j}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(l(l+1)\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(s(s+1)\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ \end{align}$

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand $\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

bezüglich des alten Zustandes $\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle$

entwickelt werden:

$\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m \\ {{m}_{S}}={{m}_{j}}-m \end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch-Gordan-Koeffizienten!

$\left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

Dabei gilt:

$s=\frac{1}{2}$ !! ${{m}_{s}}=\frac{1}{2}$ !! ${{m}_{s}}=-\frac{1}{2}$

$j=l+\frac{1}{2}$	${{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$	${{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$
$j=l-\frac{1}{2}$	$-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$	${{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$

Wobei:

$\begin{align} & j=l\pm \frac{1}{2} \\ & {{m}_{j}}=m+{{m}_{S}} \\ & m=-l,...,+l \\ & {{m}_{S}}=-\frac{1}{2},+\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Fakten zu Addition von DrehimpulsenRDF-Feed

Abschnitt	4 +
Fachbegriff	Clebsch-Gordan-Koeffizienten +
Index	Clebsch-Gordan-Koeffizienten +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	4 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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