Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Schrödingsche Wellenmechanik

Historischer Abriß
Kräftefreie Schrödingergleichung
Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen
Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)
Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände
Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände
Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

$\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right]\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V

Annahme: $V(\bar{r})\to 0$ für $\left| {\bar{r}} \right|\to \infty$

außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.

Dann gilt:

E<0

Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.

Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit $E\ge {{V}_{\min }}$ möglich sind.

Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.

Wenn $\begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2+\delta }}}$ mit $δ > 0$ . Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.

Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als 1/r².

Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung $\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{6}}}$ oder der rechteckige Potenzialtopf.

Bei sehr flachen Potenzialen (sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf (gar kein Eigenwert existiert).

In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.

Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben (Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu!

Eigenzustände zu E<0

Sind in jedem Fall Normierbar: $\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1$

$\begin{matrix} \lim \\ \bar{r}->\infty \\ \end{matrix}\phi (\bar{r})\to 0$ hinreichend rasch!. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden.

Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 (vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0)

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r) von Null verschieden: Klassisch: $\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(\bar{r})=E$ Grund dafür ist die Unschärferelation: $\Delta p\Delta x\ge \frac{\hbar }{2}$ Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form $e i k x$ gilt dann wegen $k\tilde{\ }\sqrt{E-V\ }\in \operatorname{Im}$ , falls E < V somit ${{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname{Re}}}$ → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere!

E>0

Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:

$\begin{matrix} \lim \\ \bar{r}->\infty \\ \end{matrix}\phi (\bar{r})\to const$ oder oszilliert.

Beispiel: Ebene Welle $\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ ist Lösung von

$-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$ mit $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0$

$k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}$ ist oszillierend!

$\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0

Es gibt keine Einschränkungen an $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0$ . Die Energie ist gleich der kinetischen Energie! Falls V=0 Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas! Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. (für " Energieeigenzustände") Bemerkungen

Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn $V(\bar{r})$ Punktsingularitäten hat, also auch beim $V(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{r}$ bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
In Bereichen mit $V(\bar{r})\to \infty$ gilt grundsätzlich $φ = 0$ . Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:

$\phi {{\left. {} \right|}_{Rand}}=0$

Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen $V(\bar{r})$ .Dies beobachtet man beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.

Eindimensionale stationäre Zustände

In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:

$V(\bar{r})={{V}_{1}}({{x}_{1}})+{{V}_{2}}({{x}_{2}})+{{V}_{3}}({{x}_{3}})$

Separation in kartesischen Koordinaten:

$\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})$

Die Schrödingergleichung lautet:

$\begin{align} & \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}_{i}}^{2}}+{{V}_{i}}({{x}_{i}}) \right]{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})=E{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}}) \\ & \Rightarrow \frac{\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\phi }_{i}}\acute{\ }\acute{\ }({{x}_{i}})+{{V}_{i}}({{x}_{i}}){{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}{{{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}={{E}^{(i)}} \\ \end{align}$

mit $E = E (1) + E (2) + E (3)$ Insbesondere (Beispiel): $V 2 + V 3 = 0$ → freie Bewegung in x2 und x3- Richtung

$\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}$

$E={{E}^{(1)}}+\frac{{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}+\frac{{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}$

Beispiel: Quantentopf in Halbleitern (Quantum Well) Halbleiterschichtstruktur:

Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter. Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt. Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:

G a A s / A l 0,3 G a 0,7 A s

erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3 gebundene Zustände im Quantentopf.

Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der effektiven Masse $m *$ ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter. Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial Sei $V (r)$ kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an: $r,\vartheta ,\phi$ :