Beta-Zerfall

Aus PhysikWiki

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Beta-Zerfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 12.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Beta-Zerfall

Beta-Zerfall

Inhaltsverzeichnis

1 Verbotene Übergänge:
2 Einzelnachweise
3 Weitere Informationen
- 3.1 Prüfungsfragen

$\begin{align} & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z+1 \right)+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ & \left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{+}}+\nu &{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ & {{e}^{-}}+\left( A,Z \right)&\to& \left( A,Z-1 \right)+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ \end{align}$ wobei

β +

-Zerfall und

e -

-Einfang sind konkurrierende Vorgänge

reduziert formuliert als

$\begin{align} & n&\to& p+{{e}^{-}}+\bar{\nu }&{{\beta }^{-}}-\text{Zerfall} \\ & p&\to& n+{{e}^{+}}+\nu&{{\beta }^{+}}-\text{Zerfall} \\ & {{e}^{-}}+p&\to& n+{{e}^{-}}+\nu &{{e}^{-}}-\text{Einfang} \\ \end{align}$

Beta-Zerfall energetisch möglich --> siehe Isobarenregel als Folgerung aus der Weizsäckerschen Massenformel

Schema beta Strahlung

Beim ß-Zerfall ist neben der Halbwertzeit $t_{1/2} = \frac{0,69}{\lambda}$ das Energie bzw. Impulsspektrum der Elektronen (Positronen) meßbar. Ein theoretischer Ansatz muß die Form des Impulsspektrums $λ(p e)$ , d. h. die Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons (Positrons) mit dem Impuls $p e$ wiedergeben. Die Intergration über alle $λ(p e)$ ergibt die Gesamtübergangswahrscheinlichkeit $\lambda=\int \lambda(p_e)d p_e$ und damit die Halbwertzeit $t 1 / 2$ .

Fermi-Ansatz ^[1] in Analogie zu elektromagnetischen Übergängen. Störungstheorie (Fermis Goldene Regel)

$\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}$ mit

Wechselwirkungsoperator $\mathcal{H}$ : $<{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int {{\psi }_{f}}\mathcal{H}{{\psi }_{i}}d\tau$
Dichte der Endzustände dN/dE₀

Fermi-Ansatz $\lambda =\frac{2\pi }{h}{{\left| {{\mathcal{H}}_{if}} \right|}^{2}}\frac{dN}{d{{E}_{0}}}$ Störungstheorie (Fermi Goldene Regel)

$<{{\mathcal{H}}_{if}}>=\int \Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\mathcal{H}\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)d\tau$ mit

$\Phi _{\nu }^{*}\left( {{P}_{\nu }} \right)\Phi _{e}^{*}\left( {{P}_{e}} \right)$ -Leptonen- Wellenfunktion
$\Phi _{f}^{{}}\left( A,Z+1 \right)\Phi _{i}^{{}}\left( A,Z \right)$ -Nukleonen Wellenfunktion
(Integration wegen Nukleonen-WF nur über das Kernvolumen)

Bei Leptonen-WF Ansatz freier Teilchen, d. h. auslaufende ebene Wellen $\Phi \left( \overrightarrow{p} \right)\tilde{\ }{{e}^{i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar }}=1+i\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar -\frac{1}{2}{{\left( \left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar \right)}^{2}}+\ldots$

Bei der Integration kann man zunächst alle Anteile mit $\left( \vec{p}\vec{r} \right)/\hbar$ vernachlässigen, da für ${{E}_{e}}\succsim 1MeV$ und für alle $E ν$ gilt:

$\hbar/p = \bar \lambda K\approx 200\times10^{-15}m/E[MeV]$

und damit $pR/\hbar \approx 10^{-2}$ . Man betrachtet die Leptonenwellenfunktionen also als konstant im Bereich des Kernvolumens. Diese Näherung ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß bei der Leptonenemission kein {{FB|Bahndrehimpuls} weggetragen wird ("erlaubte" Übergänge. $Δ l = 0$ ).

"klassische" Deutung $L=Rp\overset{\text{QM}}{\mathop{=}}\,\,n\hbar$ Bei $pR/\hbar \ll 1$ ist nur n = 0 maßgebend

Den Wechselwirkungsoperator ersetzt man durch die Kopplungskonstante g, so daß $\left\langle {{\mathcal{H}}_{if}} \right\rangle$ insgesamt unabhängig von p_e wird und die Abhängigkeit des Impulsspektrums allein im statistischen Faktor $d N / d E 0$ (der Dichte der Endzustände) steckt.

Allgemein bei freien Teilchen $dN ~ p^2 dp$ , somit bei gleichzeitiger Emission beider Leptonen $dN ~ dN(p_e)dN(p_\nu)$ mit $E_0 = E_l + E_\nu = \sqrt{(m_0c^2)^2+(p_ec)^2}+ p_\nu c$ (Neutrinomasse = 0 gesetzt). Damit wird das Impulsspektrum $λ(p e) d p e$ :

$\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}\tilde{\ }\frac{dN}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }\frac{p_{e}^{2}d{{p}_{e}}p_{\nu }^{2}d{{p}_{\nu }}}{d{{E}_{0}}}\tilde{\ }p_{e}^{2}{{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}d{{p}_{e}}$ wegen

$p_{\nu }^{2}={{\left( {{E}_{0}}-{{E}_{e}} \right)}^{2}}/{{c}^{2}}$ und $\frac{d{{p}_{\nu }}}{dE}=\frac{1}{c}$

Durch Extrapolation bei der Fermi-Darstellung Bestimmung von $E 0$ . Damit auch die Möglichkeit zur Bestimmung einer möglichen Neutrinomasse, deren Existenz einen großen Einfluß auf Struktur und Entwicklung des Universums hat. Dabei wegen Fehlerabschätzung E₀ möglichst klein wählen, z. B. Tritium-Zerfall $^3H \to ^3He + e- + \bar \nu$ mit $E_0 = 18 keV (t_{1 /2} \approx 12a)$ [ $m ν c 2$ zur Zeit $\le 7eV$ ].

Integration über Impulsspektrum:

$\lambda =\frac{\ln 2}{{{t}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}=\mathop{\int }_{0}^{{{P}_{0}}}\lambda \left( {{p}_{e}} \right)d{{p}_{e}}=\text{const }f(Z,{{E}_{0}})\text{ }$ mit f ( Z, E_{0_{) über Coulomb-Korrekturfaktor}}

Die f-Werte sind tabelliert ^[2]. Sie enthalten die gesamte Energieabhängigkeit. Grobe Abschätzung:

nichtrelat. Bereich: (Eo « 1 MeV) : $E_e ~ p_e^2\to$

$f\tilde{\ }\int p_{e}^{6}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{7}\tilde{\ }E_{0}^{3,5}$

relat. Bereich (EO > 1 MeV): $E_e ~ p_e^2\to$

$f\tilde{\ }\int p_{e}^{4}d{{p}_{e}}\tilde{\ }p_{0}^{5}\tilde{\ }E_{0}^{5}$

Bei genauerer Betrachtung muß man berücksichtigen, daß die Spins der beiden Leptonen parallel (Gamow-Teller-Übergänge) oder antiparallel (Fermi-Übergänge) stehen können. Für erlaubte Übergänge ( $Δ l = 0$ ) gelten somit die Auswahlregeln:

Fermi-Ü: ${{I}_{i}}={{I}_{f}}\to \Delta I=0$
Gamow-Teller-Ü: ${{I}_{i}}={{I}_{f}}+1\to \Delta I=0,\pm 1$

anschaulich:

$\begin{align} & \Uparrow &\to &\Uparrow +&\Uparrow +&\Downarrow &\text{Fermi} \\ & n&\to &p+&{{e}^{-}}+&\bar{\nu } & \\ & \Uparrow &\to &\Downarrow +&\Uparrow +&\Uparrow &\text{Gamow-Teller} \\ \end{align}$

Verbotene Übergänge:

Merkmal: größere Drehimpulsänderungen, größere ft_{1/ 2}-Werte Beiträge für diese Übergänge aus: a) Reihenentwicklung der Leptonenwellenfunktionen

${{e}^{ipr/\hbar }}=1+\underbrace{i\left( pr/\hbar \right)-1/2{{\left( pr/\hbar \right)}^{2}}}_{\text{bisher vernachl }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ ssigt}}$

b) relativistische Wellenfunktionen der Nukleonen mit v_N/c-Beiträge

Beispiele für erlaubte und verbotene Übergänge:

Einzelnachweise

↑ Z. Physik 88, 161 (1934)
↑ Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

ß Übergänge: Prinzipielle Reaktionsgleichung + Bethe-Weizsäcker
Neutrinos: Was ist das wozu braucht man die (beim ß Zerfall)
Besonderheit beim ß Zerfall? (siehe Kapitel Paritätsverletzung)
Übergangsraten aus Fermis goldener Regel ("grobe" Herleitung)
- Fermi- und GT-Übergänge

[0] Z. Physik 88, 161 (1934)

[1] Feenburg, Trigg, Rev. Mod. Phys. 22, 399

[1]

[2]

Abschnitt	0 +
Fachbegriff	Isobarenregel +, Halbwertzeit +, Impulsspektrum der Elektronen +, Gesamtübergangswahrscheinlichkeit +, Leptonenemission +, Fermi-Darstellung +, Gamow-Teller-Übergänge + und Fermi-Übergänge +
Index	Isobarenregel +, Halbwertzeit +, Impulsspektrum der Elektronen +, Gesamtübergangswahrscheinlichkeit +, Leptonenemission +, Fermi-Darstellung +, Gamow-Teller-Übergänge + und Fermi-Übergänge +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	12 +
Urheber	Prof. Dr. P. Zimmermann +

Beta-Zerfall

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Verbotene Übergänge:

Einzelnachweise

Weitere Informationen

Prüfungsfragen

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Suche

Werkzeuge