Das Wasserstoffatom (relativistsich)

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das Wasserstoffatom (relativistsich) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Relativistische Quntenmechanik

Inhaltsverzeichnis

1 Skalentransformation:
2 Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: nl_j

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie
Klein- Gordon- Gleichung
Dirac- Gleichung für Elektronen
Der nichtrelativistische Grenzfall
Das Wasserstoffatom (relativistsich)

In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:

$\begin{align} & H=\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right) \\ & {{p}_{r}}:=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ & {{\alpha }_{r}}:=\frac{1}{r}\bar{\alpha }\bar{r} \\ & \hbar Q:=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \\ \end{align}$

Dabei sind ${{p}_{r}},{{\alpha }_{r}},\hbar Q$

hermitesche Operatoren

Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:

$H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)$

Beweis:

$\begin{align} & {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q={{\alpha }_{r}}\left[ \frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right)+\frac{i}{r}{{\beta }^{2}}\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \right] \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ & =\frac{{{\alpha }_{r}}}{r}\left( \bar{r}\bar{p}+i\tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)+i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right) \right] \\ & i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)=i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)-i{{r}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right) \\ & \Rightarrow {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)+i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right) \right]=\bar{\alpha }\bar{p} \\ \end{align}$

Es gilt weiter:

$\left[ \hbar Q,H \right]=0$

.

Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu  $H$

und $\hbar Q$

Eigenwerte von $\hbar Q$

$\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)={{\beta }^{2}}{{\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)}^{2}} \\ & \left[ \beta ,\tilde{\bar{\sigma }} \right]=0=\left( \begin{matrix} \left[ 1,\tilde{\bar{\sigma }} \right] & {} \\ {} & -\left[ 1,\tilde{\bar{\sigma }} \right] \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)+2\hbar \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)+{{\hbar }^{2}} \\ & \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)={{L}^{2}}+i\tilde{\bar{\sigma }}\left( \bar{L}\times \bar{L} \right) \\ & \left( \bar{L}\times \bar{L} \right)=i\hbar \bar{L} \\ & \Rightarrow \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)={{L}^{2}}-\hbar \tilde{\bar{\sigma }}(\bar{L}) \\ \end{align}$

Somit:

$\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+{{\hbar }^{2}}={{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \\ & mit\ {{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}{{{\tilde{\bar{\sigma }}}}^{2}} \\ & {{{\tilde{\bar{\sigma }}}}^{2}}=3 \\ & \left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)=\bar{J} \\ \end{align}$

Schließlich also

${{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{\bar{J}}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}$

Die Eigenwerte von ${{\bar{J}}^{2}}$

sind jedoch bekannt, nämlich $\hbar j\left( j+1 \right)$

mit $j=l\pm s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...$

$\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}\left| j \right\rangle =\left( {{\hbar }^{2}}j(j+1)+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \right)\left| j \right\rangle ={{\hbar }^{2}}{{(j+\frac{1}{2})}^{2}}\left| j \right\rangle \\ & {{(j+\frac{1}{2})}^{2}}:={{q}^{2}} \\ \end{align}$

Somit:

$\begin{align} & \left( \hbar Q \right)\left| j \right\rangle =\left( \hbar q \right)\left| j \right\rangle \\ & q=\pm 1,\pm 2,... \\ \end{align}$

Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für

$H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)$

Geeignete Darstellung für $α r$

$\begin{align} & {{\left( {{\alpha }_{r}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right){{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }} \\ & \left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right)=2{{\delta }^{\mu \nu }} \\ & \frac{1}{2{{r}^{2}}}2{{x}^{\mu }}{{x}^{\mu }}=\frac{{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}}=1 \\ & {{\alpha }_{r}}\beta +\beta {{\alpha }_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)\bar{r} \\ & \left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)=0\Rightarrow \frac{1}{r}\left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)\bar{r}=0 \\ \end{align}$

Für

$\beta =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

kann dies durch die Darstellung ${{\alpha }_{r}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)$

mit ${{\alpha }_{r}}={{\alpha }_{r}}^{+}$

erfüllt werden:

$\begin{align} & {{\alpha }_{r}}\beta =\left( \begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \beta {{\alpha }_{r}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Es gilt:

$\begin{align} & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ & \bar{r}\bar{p}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r} \\ & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r}-i\hbar \right)=-i\hbar \left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right) \\ \end{align}$

Also

$H=\hbar c\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right)-\frac{c\hbar q}{r}\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)+V\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Ansatz für den Radialanteil

$\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r}\left( \begin{matrix} F(r) \\ G(r) \\ \end{matrix} \right)$

Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:

$\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r}\left( \begin{matrix} F(r) \\ G(r) \\ \end{matrix} \right)$

folgt:

$\begin{align} & -\frac{\hbar c}{r}\frac{dG}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}G+\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}F+\frac{V}{r}F=E\frac{F}{r} \\ & \frac{\hbar c}{r}\frac{dF}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}F-\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}G+\frac{V}{r}G=E\frac{G}{r} \\ & V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r} \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & \left( E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)F+\hbar c\frac{dG}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}G=0 \\ & \left( E+{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)G-\hbar c\frac{dF}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}F=0 \\ & V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r} \\ \end{align}$

Skalentransformation:

$\begin{align} & {{a}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}+E}{\hbar c} \\ & {{a}_{2}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}-E}{\hbar c} \\ & a=\sqrt{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}=\frac{\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}}{\hbar c} \\ \end{align}$

Führt man des weiteren ein:

$\begin{align} & \rho :=ar \\ & \gamma :=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hbar c}\approx \frac{1}{137} \\ \end{align}$

Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,

wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:

$\frac{V}{\hbar ca}=-\frac{\gamma }{\rho }$

$\begin{align} & \left( \frac{d}{d\rho }+\frac{q}{\rho } \right)G-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)F=0 \\ & \left( \frac{d}{d\rho }-\frac{q}{\rho } \right)F-\left( \frac{{{a}_{1}}}{a}+\frac{\gamma }{\rho } \right)G=0 \\ \end{align}$

Randbedingung:

F (ρ), G (ρ)

regulär bei $\rho \to 0$

$F(\rho ),G(\rho )\to 0$

für $\rho \to \infty$

Betrachte $\begin{align} & \left| E \right|<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}}>0 \\ & a\in R \\ \end{align}$

also gebundene Zustände

Asymptotisches Verhalten:

$\begin{align} & \rho \to \infty \\ & \Rightarrow G\acute{\ }=\frac{{{a}_{2}}}{a}F\quad F\acute{\ }=\frac{{{a}_{1}}}{a}G \\ & \Rightarrow G\acute{\ }\acute{\ }=G,\quad F\acute{\ }\acute{\ }=F \\ & \Rightarrow G={{e}^{-\rho }}=F=G={{e}^{-\rho }} \\ \end{align}$

Weil $e + ρ$

divergiert!

$\begin{align} & \rho \to 0 \\ & \Rightarrow G\acute{\ }+\frac{q}{\rho }G+\frac{\gamma }{\rho }F=0 \\ & F\acute{\ }-\frac{q}{\rho }F-\frac{\gamma }{\rho }G=0 \\ \end{align}$

Ansatz:

$\begin{align} & F(\rho )={{f}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ & G(\rho )={{g}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ & \Rightarrow \left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0 \\ & \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ \end{align}$

Es existieren nichttriviale Lösungen $f 0, g 0$ ,

falls

Also $\lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0$

und regulär bei $\rho \to 0$

Ansatz:

$\begin{align} & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ & G(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}g\left( \rho \right) \\ & \Rightarrow g\acute{\ }-g+\frac{\lambda +q}{\rho }g-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)f=0 \\ & f\acute{\ }-f+\frac{\lambda -q}{\rho }f-\left( \frac{{{a}_{1}}}{a}+\frac{\gamma }{\rho } \right)g=0 \\ \end{align}$

Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:

$\begin{align} & f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow f\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{(k+1){{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ & g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow g\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{g}_{k}}{{\rho }^{k-1}}} \\ & \frac{f(\rho )}{\rho }=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}=}\frac{{{f}_{0}}}{\rho }+\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ \end{align}$

usw... wird dies ebenfalls für $g\acute{\ }(\rho ),\frac{g(\rho )}{\rho }$

aufgestellt

Koeffizientenvergleich liefert:

$\begin{align} & O\left( \frac{1}{\rho } \right):\left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0\quad \quad \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ & \Rightarrow {{f}_{0}},{{g}_{0}} \\ \end{align}$

bis auf Normfaktor

$\begin{align} & O\left( {{\rho }^{k}} \right):\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0 \\ & \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}}=0 \\ \end{align}$

k=0,1,2,.... Rekursionsformel!!

$\begin{align} & a\left[ \left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}} \right]-{{a}_{2}}\left[ \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}} \right]=0 \\ & \Rightarrow \left[ a\left( \lambda +q+k+1 \right)+{{a}_{2}}\gamma \right]{{g}_{k+1}}=\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+k+1 \right)-a\gamma \right]{{f}_{k+1}} \\ \end{align}$

Verhalten für große k:

$ak{{g}_{k+1}}\approx {{a}_{2}}k{{f}_{k+1}}\Rightarrow {{f}_{k}}\approx \frac{a}{{{a}_{2}}}{{g}_{k}}$

Dies kann man einsetzen in

$\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0$

und es folgt:

$\begin{align} & \left( k+1 \right){{g}_{k+1}}\approx 2{{g}_{k}} \\ & \Rightarrow \frac{{{g}_{k+1}}}{{{g}_{k}}}\approx \frac{2}{k+1}\Rightarrow {{g}_{k+1}}\approx \frac{{{2}^{k+1}}}{\left( k+1 \right)!}{{g}_{0}} \\ & \Rightarrow g(\rho )\tilde{\ }{{e}^{2\rho }} \\ & \Rightarrow f(\rho )\tilde{\ }{{e}^{2\rho }} \\ \end{align}$

Falls die Potenzreihen

$f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}},g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}$

nicht abbrechen, so divergiert $\begin{align} & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ & G(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}g\left( \rho \right) \\ \end{align}$

exponentiell für $\rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}$

Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen!

Also muss es einen Abbruch bei $k=n\acute{\ }\in N$

geben:

${{f}_{n\acute{\ }+1}}={{g}_{n\acute{\ }+1}}=0$

Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:

$\begin{align} & -{{g}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow {{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}} \\ & -{{f}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow a{{f}_{n\acute{\ }}}=-{{a}_{1}}{{g}_{n\acute{\ }}} \\ \end{align}$

Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da

$\frac{{{a}_{2}}}{a}=\frac{a}{{{a}_{1}}}$

Setzt man ${{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}}$

in $\left[ a\left( \lambda +q+k+1 \right)+{{a}_{2}}\gamma \right]{{g}_{k+1}}=\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+k+1 \right)-a\gamma \right]{{f}_{k+1}}$

ein, so folgt mit $k+1=n\acute{\ }$

$\begin{align} & \frac{a\left( \lambda +q+n\acute{\ } \right)+{{a}_{2}}\gamma }{a}=-\frac{\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+n\acute{\ } \right)-a\gamma \right]}{{{a}_{2}}} \\ & \lambda +q+n\acute{\ }+\frac{{{a}_{2}}}{a}\gamma +\lambda -q+n\acute{\ }+\frac{a}{{{a}_{2}}}\gamma =0 \\ & 2a\left( \lambda +n\acute{\ } \right)=\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{a}_{2}}}-{{a}_{2}} \right)\gamma =\frac{2E}{\hbar c}\gamma \\ & \frac{{{a}^{2}}}{{{a}_{2}}}={{a}_{1}} \\ & {{a}^{2}}{{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}$

Weiter gilt:

$\begin{align} & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ & \Rightarrow \left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}} \right){{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}={{E}^{2}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}$

Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel:

$E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}}}$

Mit der Feinstrukturkonstanten

$\gamma \approx \frac{1}{137}$

$\begin{align} & \lambda =\sqrt{q} \\ & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ & \Rightarrow \left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}} \right){{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}={{E}^{2}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \lambda =\sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}=\sqrt{{{\left( j+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\gamma }^{2}}} \\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n\acute{\ }\in {{N}_{0}} \\ & j=l\pm s \\ \end{align}$

entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis $O\left( {{\gamma }^{4}} \right)$ ,

so folgt:

$E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]$

mit

$\lambda \left( \gamma \right)=|q|\sqrt{1-{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}}}=|q|\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}} \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)$

$\begin{align} & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\left[ n\acute{\ }+|q|-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|} \right) \right]}^{2}}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ & n=n\acute{\ }+\left| q \right| \\ & n\acute{\ }=0,1,2,... \\ & \left| q \right|=j+\frac{1}{2}=1,2,.... \\ & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left[ 1-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|n} \right) \right]}^{-2}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)=\frac{1}{{{n}^{2}}}\left[ 1+\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|n} \right) \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)=\frac{1}{{{n}^{2}}}+\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|{{n}^{3}}} \right)+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ & \left| q \right|=j+\frac{1}{2}=l\pm s+\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein, so folgt:

$\begin{align} & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ & n=1,2,3 \\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n-\frac{1}{2},wegen\ n=n\acute{\ }+j+\frac{1}{2} \\ & j=l\pm s \\ \end{align}$

Diskussion

$O\left( {{\gamma }^{0}} \right):E={{m}_{0}}{{c}^{2}}$

Ruheenergie

$O\left( {{\gamma }^{2}} \right):\Delta {{E}^{(2)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)=-\frac{{{R}_{H}}}{{{n}^{2}}}$

nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum

$O\left( {{\gamma }^{4}} \right):\Delta {{E}^{(4)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)$

Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung. Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die $2(2 j + 1)$ - fache $m j$ - Entartung+ Parität!

Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: $n l j$

$n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}$

$\begin{array}{*{35}{l}} {} & n=2:\quad j=\frac{1}{2}:\ 2{{s}_{\frac{1}{2}}}\quad 2{{p}_{\frac{1}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=1 \\ {} & \quad \quad \quad \,j=\frac{3}{2}:\quad \quad \quad 2{{p}_{\frac{3}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=0 \\ \end{array}$

n´=0. .

Fakten zu Das Wasserstoffatom (relativistsich)RDF-Feed

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Kapitel	7 +
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