Der Satz von Liouville

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Inhaltsverzeichnis

1 Beweis (integrale Form):

Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion
Die Hamiltonschen Gleichungen
Kanonische Transformationen
Symplektische Struktur des Phasenraums
Der Satz von Liouville
Poisson- Klammern

Lösung der Differenzialgleichung

$\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}$

$\bar{x}\left( t,{{t}_{0}},{{{\bar{x}}}_{0}} \right)=:{{\bar{\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})$

Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

$\begin{align} & {{{\bar{\Phi }}}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\ & {{{\bar{x}}}_{0}}({{t}_{0}})\to \bar{x}(t) \\ \end{align}$

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

$\begin{align} & \left( q,p \right)\in \Gamma \\ & \dot{q}=p \\ & \dot{p}=-{{\omega }_{0}}^{2}q \\ & \dot{\bar{x}}=A\bar{x} \\ & A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Die Lösung lautet:

$\bar{x}(t)={{\bar{\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})=\exp \left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]{{\bar{x}}_{0}}$

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

$\begin{align} & \bar{x}(t)=\sum\limits_{n}{{}}\frac{{{\left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]}^{n}}}{n!}{{{\bar{x}}}_{0}}=\left[ 1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+\frac{A}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \right]{{{\bar{x}}}_{0}} \\ & =\left( \begin{matrix} \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\ -{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\ \end{matrix} \right){{{\bar{x}}}_{0}} \\ \end{align}$

Beweis:

$\begin{align} & {{A}^{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\ \end{matrix} \right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1 \\ & {{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1 \\ & {{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}\frac{1}{{{\omega }_{0}}}A \\ \end{align}$

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

Beweis (integrale Form):

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

${{V}_{to}}=\int\limits_{{{U}_{to}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}$

Bei t:

${{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)$

Mit der Jacobi- Matrix:

${{\left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)}_{ik}}:=\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}=\frac{\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}$

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

$\begin{align} & {{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})={{{\bar{x}}}_{0}}+\bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\ & \bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)=J{{{\bar{H}}}_{,x}}=\left( \begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial p} \\ -\frac{\partial H}{\partial q} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Somit folgt:

$\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}={{\delta }_{ik}}+\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})$

Mit Hilfe

$\det \left( 1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})$

folgt:

$\begin{align} & \det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\ & \sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}=div\bar{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0 \\ \end{align}$

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

$\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1$

$\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}$