Der nichtrelativistische Grenzfall

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Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:

nur Ruheenergie

Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:

Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:

Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale

über die Ladung e

Klassisch wissen wir:

In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:

Dabei setzen wir für

den kanonischen Impuls und führen den kinetischen Impuls ein gemäß

Als Lösungsansatz wählen wir

Wobei zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit bezeichnet.

Auch besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit :

Damit zerfällt die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:

Als Ansatz wählen wir

für .

Also Zerlegung in

als schnelle zeitliche Oszillation und

als langsam zeitabhängige Funktion!

Es folgt:

Nichtrelativistische Näherung:

eingesetzt in

Man kann zeigen:

Remember:

Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)

Also folgt die Bewegungsgleichung für :

dies ist die nichtrelativistische Pauli-Gleichung für Spin (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:

Vergl. S. 94

Interpretation des vierkomponentigen Spinors:

Teilchen- Freiheitsgrad:

Antiteilchen Freiheitsgrad:

Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung

Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung

Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung für und symmetrisches V(r):

Bahn- Drehimpuls:

Mit aus dem Bahn-Raum und

aus dem Spinor-Raum.

Gesamt- Drehimpuls

Dabei ist

eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:

Dies ist leicht zu zeigen!

Wichtig:

ist keine Konstante der Bewegung

Entwicklung der Dirac- Gleichung für

bis zur ersten Ordnung in

mit

liefert mit

(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)

Also eine Spin-Bahn-Kopplung von