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Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Hamilton-Jacobi-Theorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 0) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Die Hamilton-Jacobi-Theorie

Die Hamilton-Jacobi-Theorie

Inhaltsverzeichnis

1 Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung
2 Wirkungs- und Winkelvariable
- 2.1 Beispiel: Das mathematische Pendel (mit beliebig großen Auslenkungen)
- 2.2 Beispiel: eindimensionaler Oszillator
3 Störungen integrabler Systeme
- 3.1 Beispiel:
- 3.2 KAM- Theorem

Das d'Alembertsche Prinzip
Das Hamiltonsche Prinzip
Symmetrien und Erhaltungsgrößen
Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
Die Hamilton-Jacobi-Theorie
Mechanik des starren Körpers
Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

$\bar{H}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

${{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

$\begin{align} & (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\ & H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\ \end{align}$ mit $\begin{align} & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ & {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\ \end{align}$

So dass:

$\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}},t \right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für

$\begin{align} & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ \end{align}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:

$\bar{q},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

$\begin{align} & {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\ & {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\ \end{align}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

$\begin{align} & H(\bar{q},\bar{p},t) \\ & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ & H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\ \end{align}$

Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

$\begin{align} & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ \end{align}$

Aus der Erzeugenden

$S(\bar{q},\bar{\alpha },t)$

folgt:

${{Q}_{k}}=\frac{\partial S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}={{\beta }_{k}}$

mit der implizierten Umkehrung:

${{q}_{j}}={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },t)$

möglich wegen

$\det \frac{{{\partial }^{2}}S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}\ne 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4.

${{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)$

5. Bestimmung von

$\bar{\alpha },\bar{\beta }$

aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.):

${{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)$

In vier (4.):

${{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)$

$\begin{align} & \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ & \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ \end{align}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit

q j (t)

und

p j (t)

bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

$\begin{align} & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\ & \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\ & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\ & \Rightarrow S=\int{Ldt} \\ \end{align}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1.

$\begin{align} & H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\ & S(q,P,t) \\ \end{align}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit

$\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

$\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

2. Lösungsansatz:

S (q, P, t) = W (q; P) + V (t; P)

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

$\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

$\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const$

V (t) = - α t + V 0

Es folgt:

$\begin{align} & {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\ & W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\ \end{align}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]$

3.

$\begin{align} & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\ & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\ & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\ \end{align}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to (Dimension: Zeit)!

4.

$p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0!

$p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0$

$\begin{align} & \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\ & 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\ & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\ & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\ \end{align}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E (Energie) , Q= to (Zeit) → Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch

S (q, P, t)

erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

$\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0$

H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Lösungsansatz:

$S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et$

Somit folgt:

$H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E$

Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W(\bar{q};\bar{P})$

heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo (im engeren Sinn) aufgefasst werden:

$\begin{align} & {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\ & {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ & \bar{H}=H=E \\ & \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ \end{align}$

Bezug zur Quantenmechanik

Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}$ ,

gilt auch für

$V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}$

$W(\bar{q})=const$

sind dann Flächen im R³:

Dabei sind

$S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et$

Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

$\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})$ mit $\bar{u}\bot W(\bar{q})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

$\bar{p}=\nabla W(\bar{q})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p (Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H(\bar{q},\nabla W)=\frac{1}{2m}{{\left( \nabla W(\bar{q}) \right)}^{2}}+V(\bar{q})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik (Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen (gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$\left( \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right)\Psi (\bar{r})=E\Psi (\bar{r})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.

$\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}$

als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

$\begin{align} & \bar{q}\to \bar{r} \\ & \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\ \end{align}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\Delta {{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}=\nabla \frac{i}{\hbar }\left( \nabla W{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}} \right)\cong -\frac{1}{{{\hbar }^{2}}}{{\left( \nabla W \right)}^{2}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein (optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik (Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

Wirkungs- und Winkelvariable

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
dabei gilt:

$\begin{align} & q(t+\tau )=q(t) \\ & p(t+\tau )=p(t) \\ \end{align}$

periodische (hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen (dies sind nicht Schwingungen im ortsraum!) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

$\begin{align} & q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\ & p(t+\tau )=p(t) \\ \end{align}$

Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

$\begin{align} & q(t)=\phi \\ & {{q}_{0}}=2\pi \\ \end{align}$

Beispiel: Das mathematische Pendel (mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel

φ

.

, s=

φ

l $\begin{align} & T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\ & V=mgl(1-\cos \phi ) \\ \end{align}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

$\begin{align} & {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\ & H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\ \end{align}$

für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{align} & \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\ & {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\ \end{align}$

Integral (Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

$\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl\frac{{{\phi }^{2}}}{2}=E=const.$

→ Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:

$\begin{align} & \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\ & {{p}_{\phi }}=0 \\ & \phi =n\pi ,n\in N \\ \end{align}$

$E\le 2mgl$

Libration: Schwingung mit

$\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}$

E > 2 m g l

Rotation: überschlagendes Pendel:

φ

unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn (Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen (f=1)

$\begin{align} & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ & I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ \end{align}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn

Γ E

zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. (= Phasenintegral).

θ

ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

$\begin{align} & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ & I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ \end{align}$

In diesem Fall ist

θ

auf

2π

normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

$\begin{align} & p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\ & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\ \end{align}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H\left( q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn

$\frac{dI}{dE}\ne 0$ .

Da

θ

zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für

θ

lautet:

$\begin{align} & \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\ & \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\ & I=const \\ \end{align}$

Die Lösung für

θ

ist bei Normierung auf

2π

natürlich modulo

2π

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz

ν I

berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)$

Phasenbahn:

$\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}$

Umkehrpunkte:

${{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}$

Wirkungsvariable:

$\begin{align} & I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\ & I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\ \end{align}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

$\begin{align} & \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\ & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\ \end{align}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1.

$I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E$

hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

θ

ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum (des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 (Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}$

ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls!

Falls:

ω 1 :ω 2 :ω 3 :...:ω f

rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:

$\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}$

irrational → offene Bahn (quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable

θ j

zu

ω j

Abbildung auf

${{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}$

(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus!

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Störungen integrabler Systeme

ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

$\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

und der Winkelvariablen

$\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})$ ,

Hamiltonfunktion

${{H}_{0}}(\bar{I})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke

$\varepsilon$

$H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )$

In diesem Fall ist

θ

nicht mehr zyklisch.

$\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

ist also keine Bewegungskonstante mehr!

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto!

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems

${{H}_{0}}(\bar{I})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}$

Dann überdeckt jede Bahn für festes

I k = α k

den Torus

T f

dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung (nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System

$H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )$

für kleine

$\varepsilon$

überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von

H 0

werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems!

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

störungstheoretische Entwicklung in

$\varepsilon$

Mittelung über die Störungen

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Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

Physikalische Bedeutung von S:

Beispiel: 1 dim Oszi

Bezug zur Quantenmechanik

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Wirkungs- und Winkelvariable

Beispiel: Das mathematische Pendel (mit beliebig großen Auslenkungen)

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

Störungen integrabler Systeme

Beispiel:

KAM- Theorem

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