Die Quantisierung

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Die Quantisierung

Formalisierung der Quantenmechanik

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x\to \hat{x}$

Geschwindigkeit: $\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: $\hat{P}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch $\begin{align} & \hat{P}\Psi (\bar{r})=\Psi (-\bar{r}) \\ & \hat{P}\left| {\bar{r}} \right\rangle =\left| -\bar{r} \right\rangle \\ \end{align}$

Dies kann jedoch bedeuten: $\hat{P}\left| \Psi \right\rangle =\pm \left| \Psi \right\rangle$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt:

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$

?

Der Projektionsoperator lautet:

${{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|$

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}$

Die Wirkung:

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle 1=\left| \Psi \right\rangle$

Eigenwert +1

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =0$

Eigenwert 0, falls $\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle$

Befindet sich ein Zustand $\left| \Phi \right\rangle$

teilweise im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$ ,

so gilt:

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =c\left| \Psi \right\rangle$

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $\left| \Psi \right\rangle$

in $\left| \Phi \right\rangle$ ,

also die Wurzel des Anteils von

in $\left| \Psi \right\rangle$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow$

$\hat{F}$

und $\hat{G}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\ & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{x}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=0 \\ \end{align}$

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

$\begin{align} & \left[ \hat{p},T \right]=? \\ & \left[ F,{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{p}_{k}}} \\ & \left[ F,{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{x}_{k}}} \\ \end{align}$

Berechnung in der Ortsdarstellung:

$\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi$

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

$\left| \Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle$

und F´´in $\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$ .

Forderung: F´ = F ´´

→ $F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}$

(Eigenwert)

$\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle$

= $\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$

= $\left| n \right\rangle$

Eigenzustand zu $\hat{F}$

Also: $\left| \Phi \right\rangle \to \left| n \right\rangle$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $\left| -1 \right\rangle$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $\left| \Psi \right\rangle$

$\begin{align} & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } | \Psi \right\rangle } \\ & \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}} \\ \end{align}$

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

$p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

$p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

${{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle$