Drehimpuls

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Drehimpuls basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Drehimpuls Drehimpuls

Inhaltsverzeichnis
  1. Drehimpuls- Eigenzustände
  2. Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses
  3. Kugelsymmetrische Potentiale
  4. Das Wasserstoffatom
  5. Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt
  1. Schrödingsche Wellenmechanik
  2. Formalisierung der Quantenmechanik
  3. Drehimpuls
  4. Spin und Systeme identischer Teilchen
  5. Näherungsmethoden
  6. Streutheorie
  7. Relativistische Quntenmechanik

Drehimpuls- Eigenzustände


Drehimpulsoperator:\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}

In Komponenten:{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}

\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}

ist hermitesch:{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}

Vertauschungs- Relationen:

\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right),\left( {{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}} \right) \right]={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\ & ={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}-{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}={{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{3}}{{{\hat{r}}}_{3}}{{{\hat{p}}}_{2}} \\ & ={{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{p}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]{{{\hat{p}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{r}}}_{3}},{{{\hat{p}}}_{3}} \right]{{{\hat{p}}}_{2}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}-\frac{\hbar }{i}{{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\ \end{align}


Allgemein: \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}

mit (jkl) zyklisch\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}}-{{{\hat{L}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\ & {{{\hat{L}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{3}}-{{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{2}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{1}} \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{L}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{3}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{2}} \\ & \to \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L} \\ \end{align}

Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}

mit (jkl) zyklisch\begin{align} & \Rightarrow {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{L}}}_{j}}{{{\hat{L}}}_{k}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{l}} \\ & \Rightarrow {{\left( \hat{L}\times \hat{L} \right)}_{l}}=i\hbar {{{\hat{L}}}_{l}}\Rightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L} \\ \end{align}

Wegen \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}

also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.

Aber:\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=0

für k = 1,2,3

Beweis: Übung

Merke:'''\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{3}}^{2},{{{\hat{L}}}_{k}} \right] \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{1}}^{2},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]={{{\hat{L}}}_{1}}\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]{{{\hat{L}}}_{1}} \\ \end{align}

Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber {{\hat{L}}_{3}}

und {{\hat{L}}^{2}} .


Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):'''\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}:={{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ & {{{\hat{L}}}_{-}}:={{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ \end{align}

nicht hermitesch

Es gilt vielmehr:\begin{align} & {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{+}}={{{\hat{L}}}_{-}} \\ & {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{+}}={{{\hat{L}}}_{+}} \\ \end{align}

Vertauschungsrelationen'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)

\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{-}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\hbar {{{\hat{L}}}_{-}} \\ \end{align}

L+- Form und adjungierte Form.

Auch dies kann verallgemeinert werden:\begin{align} & \left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}} \\ & \left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{n}} \\ \end{align}

Beweis: Durch vollständige Induktion:

Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1

Dann:\left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n+1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left[ \left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right),{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+\left[ {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left( -\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right) \right)-n\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}{{\hat{L}}_{+}}=-(n+1)\hbar {{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n+1}}

Weiter gilt:'''\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}{{{\hat{L}}}_{-}}=\left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)={{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}-i\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]={{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}+\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\ & {{{\hat{L}}}_{-}}{{{\hat{L}}}_{+}}={{{\hat{L}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{L}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{2}} \right]={{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}-\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\ & \to \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{-}} \right]=2\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{+}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{-}} \right]=0 \\ \end{align}

Mittels {{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}

gelingt die Zerlegung von {{\hat{L}}^{2}}

in mit{{\hat{L}}^{2}}

vertauschbare Operatoren {{\hat{L}}_{3}},{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}

{{\hat{L}}^{2}}={{\hat{L}}_{1}}^{2}+{{\hat{L}}_{2}}^{2}+{{\hat{L}}_{3}}^{2}={{\hat{L}}_{3}}^{2}+{{\hat{L}}_{+}}{{\hat{L}}_{-}}-\hbar {{\hat{L}}_{3}}

Warum ?

Nun:

Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen!

Aber: {{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}

scheiden aus. Mittels {{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}

bekommt man dagegen dann einen Ersatz für {{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}} , 

der mit {{\hat{L}}^{2}}

vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles!

Allerdings sind {{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}

keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.

Die möglichen Observablen sind {{\hat{L}}^{2}}

und {{\hat{L}}_{3}} , 

wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.

Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren!

Eigenwerte und Eigenzustände

Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren \left| a,b \right\rangle

von {{\hat{L}}^{2}}

und {{\hat{L}}_{3}}

gehorchen den Eigenwertgleichungen{{\hat{L}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a\left| a,b \right\rangle

{{\hat{L}}_{3}}\left| a,b \right\rangle =b\left| a,b \right\rangle

Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.

Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.

Bei uns gilt:

Da \hat{L}

hermitesch ist, gilt:\begin{align} & a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \\ & \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle :=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \ge 0 \\ & a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \ge \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle \ge 0 \\ & \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle ={{b}^{2}} \\ & \to a\ge {{b}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}

Weiter gilt:{{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle

sind auch Eigenzustände zu {{\hat{L}}^{2}}

und{{\hat{L}}_{3}}

Vorsicht:\left| a,b \right\rangle

sind keine Eigenzustände zu {{\hat{L}}_{\pm }}

aber {{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle

sind Eigenzustände zu {{\hat{L}}^{2}}

und{{\hat{L}}_{3}}

Beweis:\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}_{3}}-\left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right] \right)\left| a,b \right\rangle \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\mp \hbar {{{\hat{L}}}_{\pm }} \\ & \to \left( {{{\hat{L}}}_{\pm }}{{{\hat{L}}}_{3}}-\left[ {{{\hat{L}}}_{\pm }},{{{\hat{L}}}_{3}} \right] \right)\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\pm \hbar \right)\left| a,b \right\rangle ={{{\hat{L}}}_{\pm }}\left( b\pm \hbar \right)\left| a,b \right\rangle \\ \end{align}

Also:{{\hat{L}}_{3}}{{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle =\left( b\pm \hbar \right){{\hat{L}}_{\pm }}\left| a,b \right\rangle

Das bedeutet:{{\hat{L}}_{\pm }}

erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von {{\hat{L}}_{3}}

um \hbar .


→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken!

Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem b0

liefert:\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{3}}{{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle =\left( {{b}_{0}}+n\hbar \right){{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}{{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{m}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle =\left( {{b}_{0}}-m\hbar \right){{\left( {{{\hat{L}}}_{-}} \right)}^{m}}\left| a,{{b}_{0}} \right\rangle \\ \end{align}

Das Spektrum von {{\hat{L}}_{3}}

ist nach oben und nach unten beschränkt:\begin{align} & a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \\ & \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle :=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \ge 0 \\ & a=\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{i}}^{+}{{{\hat{L}}}_{i}}\left| a,b \right\rangle \ge \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle \ge 0 \\ & \left\langle a,b \right|{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}\left| a,b \right\rangle ={{b}^{2}} \\ & \to \sqrt{a}\ge b\ge -\sqrt{a} \\ \end{align}

Also existiert ein größter Eigenwert {{b}_{\max }}={{b}_{0}}+{{n}_{\max }}\hbar

und ein kleinster Eigenwert {{b}_{\min }}={{b}_{0}}-{{m}_{\max }}\hbar

mit {{\hat{L}}_{+}}\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle ={{\hat{L}}_{-}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =0

Daraus folgt:\begin{align} & 0={{{\hat{L}}}_{-}}{{{\hat{L}}}_{+}}\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}-\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \right)\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle =\left( a-{{b}_{\max }}^{2}-\hbar {{b}_{\max }} \right)\left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle \\ & 0={{{\hat{L}}}_{+}}{{{\hat{L}}}_{-}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =\left( {{{\hat{L}}}^{2}}-{{{\hat{L}}}_{3}}^{2}+\hbar {{{\hat{L}}}_{3}} \right)\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle =\left( a-{{b}_{\min }}^{2}+\hbar {{b}_{\min }} \right)\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle \\ \end{align}

Also:a={{b}_{\max }}^{2}+\hbar {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }}

Andererseits existiert ein n\in {{N}_{0}}

mit \left| a,{{b}_{\max }} \right\rangle ={{\left( {{{\hat{L}}}_{+}} \right)}^{n}}\left| a,{{b}_{\min }} \right\rangle

Also: {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}+n\hbar

Setzt man dies in a={{b}_{\max }}^{2}+\hbar {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }}

ein, so folgt:\begin{align} & {{b}_{\min }}^{2}+2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( {{b}_{\min }}+n\hbar \right)={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }} \\ & 2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( 2{{b}_{\min }}+n\hbar \right)=0 \\ & \Rightarrow {{b}_{\min }}=-\frac{n(n+1){{\hbar }^{2}}}{2(n+1)\hbar }=-\frac{n}{2}\hbar =:-l\hbar \\ \end{align}

mit l:=\frac{n}{2}

Somit:\begin{align} & a={{b}_{\min }}\left( {{b}_{\min }}-\hbar \right)=\left( -l \right)\left( -l-1 \right){{\hbar }^{2}} \\ & a=l(l+1){{\hbar }^{2}} \\ & {{b}_{\max }}={{b}_{\min }}+2l\hbar =l\hbar \\ \end{align}

Mögliche Eigenwerte von {{\hat{L}}^{2}}

a=l(l+1){{\hbar }^{2}}

'''</u>\begin{align} & n\in N \\ & \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},... \\ \end{align}

Mögliche Eigenwerte von {{\hat{L}}_{3}}

für festes l:b=m\hbar

mit m = − l, − l + 1, − l + 2,...,l − 2,l − 1,l

m=-l → gehört zu bmin

m=+l → gehört zu b max

Es können keine weiteren Eigenwerte von {{\hat{L}}_{3}}

zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte Anwendung von {{\hat{L}}_{+}}

bzw.{{\hat{L}}_{-}}

die Schranken \left| m \right|\le l

verletzen könnte.

Zu jedem l gibt es 2l + 1

Werte von m:

Dies entspricht der energetisch gleichen 2l + 1

- fachen Richtungsentartung von {{\hat{L}}^{2}}

welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.

Die Tatsache, dass {{\hat{L}}_{+}}

bzw.{{\hat{L}}_{-}}

den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um \hbar

erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}} , 

besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}

. 

Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben).

Also bedingt der Kommutator \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}

die Drehimpulsquantisierung.

Tabelle:

Quanten- zahlen Eigenwert von '''\hat{L} Richtungsquantenzahl m l \hbar \sqrt{l\left( l+1 \right)} m 0 0 0

\frac{1}{2}

\hbar \sqrt{\frac{3}{4}} -\frac{1}{2},+\frac{1}{2}

1 \hbar \sqrt{2} − 1,0,1

\frac{3}{2}

\hbar \sqrt{\frac{15}{4}} -\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}

\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\hbar m\left| l,m \right\rangle \\ \end{align}

<u>Diracsches Vektormodell:

Darstellung der Richtungsquantisierung:

m=1/2 → Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse

m=-1/2 → der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse

Zur Übung ist zu zeigen:\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0

für i=1,2\left\langle l,m \right|{{\left( {{{\hat{L}}}_{i}}-\left\langle {{{\hat{L}}}_{i}} \right\rangle \right)}^{2}}\left| l,m \right\rangle =0

soll berechnet werden

Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses!

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses


\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\ & \left\langle {\bar{r}} \right|\bar{r}\left| l,m \right\rangle =\bar{r}{{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\ \end{align}
\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}

ergibt:

\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})

In Kugelkoordinaten:

\begin{align} & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ & {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\ & {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\ & {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}

Aber:

\begin{align} & {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi }=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{L}}}_{z}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}

in Kugelkoordinaten!

\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )

Eigenwertgleichung für {{\hat{L}}_{3}} .


Lösung

\begin{align} & {{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\ & m=-l,...,l \\ \end{align}

Eindeutigkeit:

\begin{align} & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\ & \Rightarrow m\in Z \\ \end{align}
\Rightarrow

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen {{\hat{L}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen {{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}

Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

\begin{align} & {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\ & \Rightarrow m\in Z \\ \end{align}

Leiteroperatoren:

\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{3}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi ) \\ & \hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left( m\pm 1 \right)\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }-m\cot \vartheta \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\ \end{align}

Für m=l (Maximalwert) ist

\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}\left| l,l \right\rangle =0 \\ & \Rightarrow \hbar {{e}^{i\left( l+1 \right)\phi }}\left( \frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0 \\ \end{align}

Lösung:

\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta
{{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)

Mit dem Normierungsfaktor

\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}

Erzeugung der anderen {{f}_{lm}}(r,\vartheta )

{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]

Normierung:

{{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )

Mit den Kugelflächenfunktionen

\begin{align} & {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{{\left( -1 \right)}^{m}}}{{{2}^{l}}l!}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}\frac{1}{{{\left( \sin \vartheta \right)}^{m}}}\frac{{{d}^{l-m}}}{d{{\left( \cos \vartheta \right)}^{l-m}}}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{2l}} \\ & {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{\left( -1 \right)}^{m}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta ) \\ \end{align}

Wobei

{{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}

Legendre- Polynom l- ten Grades

{{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}

Dies bedeutet:

\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1

oder in einer diskreten Basis:

\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1

→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}

Die Inversion am Ursprung liefert: (also: \bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}} ) , also (\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände {{\left| l,m \right\rangle }^{{}}}

haben die Parität {{\left( -1 \right)}^{l}}

(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)



Eigenfunktion Knotenlinien von \operatorname{Re}\left\{ {{Y}_{l}}^{m} \right\} l m Bemerkungen/ Parität

{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}

0 0 0 gerade (s-Orbitale)

{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta

1 1 0 ungerade (p-Orbitale)

{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}

1 1 \pm 1 ungerade (ebenfalls p-Orb.)

{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi
{{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi
{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)

2 2 0 gerade (d-Orbitale)

{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}

2 2 \pm 1 gerade (d-Orbitale)

{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}

2 2 \pm 2 gerade (d-Orbitale)

Keine Knotenlinie

{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}

n=1 à m=0, l=0

Eine Knotenlinie

{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel {{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}

NULL!)

{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}
n=2, l=1, m=\pm 1


Zwei Knotenlinien

{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)

n=3, l=2, m=0

{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}

n=3, l=2, m=\pm 1


{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}
n=3, l=2, m=\pm 2

Kugelsymmetrische Potentiale


\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=-{{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{p}}}_{1}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{2}} \right]={{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{p}}}_{2}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=-i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=\left[ \left( {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}} \right),{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=0 \\ \end{align}

Allgemein:

\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}_{k}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{l}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{r}}}_{l}} \\ \end{align}

mit j,k,l zyklisch

Analog:

\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}
\begin{align} & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]{{{\hat{r}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{1}} \right]=i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}}+{{{\hat{r}}}_{1}}i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}=2i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}{{{\hat{r}}}_{1}} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]{{{\hat{r}}}_{2}}+{{{\hat{r}}}_{2}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{2}} \right]=-i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}}{{{\hat{r}}}_{2}}-{{{\hat{r}}}_{2}}i\hbar {{{\hat{r}}}_{1}}=-2i\hbar {{{\hat{r}}}_{2}}\hat{r} \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}}^{2} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]{{{\hat{r}}}_{3}}+{{{\hat{r}}}_{3}}\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},{{{\hat{r}}}_{3}} \right]=0 \\ \end{align}

Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:

\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{r}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{p}}}^{2}} \right]=0

j=1,2,3

\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0

, 

falls H=\hat{H}({{\hat{r}}^{2}},{{\hat{p}}^{2}})

Also \hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)

mit Zentralpotenzial V(r)

Theorem

Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:

\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0
\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0

Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also

\dot{\bar{L}}=0

Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:

Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße

Tieferer Grund: \bar{L}

ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen

Wegen \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0

Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.

Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von H

und{{\hat{L}}_{j}}

für jedes j aber nicht zu H

und\bar{L} .


(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)

Wegen

\left[ {{{\hat{L}}}_{3}},H \right]=0
\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0
\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=0

können wir gemeinsame Eigenzustände zu H , {{\hat{L}}^{2}}

und {{\hat{L}}_{3}}

finden.

Zusammenhang zwischen {{\hat{L}}^{2}}

und H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V

\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ & {{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}={{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left( {{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ \end{align}

Summationskonvention!!

Es folgt:

\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\varepsilon }_{jmn}}{{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}=\left( {{\delta }_{km}}{{\delta }_{\ln }}-{{\delta }_{kn}}{{\delta }_{lm}} \right){{x}_{k}}{{p}_{l}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}= \\ & ={{x}_{m}}{{p}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-{{x}_{n}}{{p}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}} \\ & {{p}_{n}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{n}}-i\hbar {{\delta }_{mn}} \\ & {{x}_{n}}{{p}_{m}}={{p}_{m}}{{x}_{n}}+i\hbar {{\delta }_{mn}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & {{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}={{p}_{m}}{{x}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}} \\ & {{p}_{m}}{{x}_{m}}={{x}_{m}}{{p}_{m}}-i\hbar {{\delta }_{mm}} \\ & {{\delta }_{mm}}=3 \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}{{p}_{n}}-{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{x}_{m}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-{{x}_{m}}{{p}_{m}}{{x}_{n}}{{p}_{n}}+3i\hbar {{x}_{n}}{{p}_{n}}-2i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & \Rightarrow {{{\hat{L}}}^{2}}={{x}_{m}}^{2}{{p}_{n}}^{2}-\left( {{x}_{m}}{{p}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}{{p}_{n}} \right)+i\hbar {{x}_{m}}{{p}_{m}} \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}={{r}^{2}}{{p}^{2}}-{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}+i\hbar \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right) \\ \end{align}

Somit:

\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}=\frac{1}{2m{{r}^{2}}}\left[ {{\left( \hat{\bar{r}}\cdot \hat{\bar{p}} \right)}^{2}}-i\hbar \left( \hat{\bar{r}}\cdot \hat{\bar{p}} \right)+{{{\hat{L}}}^{2}} \right]

Klassisch:

\begin{align} & \frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{1}{2m{{r}^{2}}}\left[ {{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}+{{L}^{2}} \right] \\ & mit\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)=r{{p}_{r}} \\ \end{align}

Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten

\begin{align} & {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\ & {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\ & {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\ \end{align}

Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:

\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}

Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!

Somit:

\bar{r}\cdot \bar{p}=\frac{\hbar }{i}{{x}_{j}}{{\partial }_{j}}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r}

wegen \frac{\partial }{\partial r}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}

\begin{align} & \hat{\bar{p}}=-i\hbar \nabla \\ & {{{\hat{p}}}_{r}}-i\hbar \frac{\partial }{\partial r} \\ & \hat{\bar{r}}\hat{\bar{p}}=\hat{r}{{{\hat{p}}}_{r}}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r} \\ & {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{i}{\hbar }\frac{\partial }{\partial \phi } \\ \end{align}

Operator der kinetischen Energie:

\begin{align} & \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}r\frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial }{\partial r}+1 \right)\Psi (r,\vartheta ,\phi ) \\ & =-{{\hbar }^{2}}r\left[ \frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)+\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right]=-{{\hbar }^{2}}r\left[ \left( r\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{r}^{2}}} \right)+2\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right]=-{{\hbar }^{2}}r\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right) \\ \end{align}

Alternativ:

\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)

Also: (Im quantenmechanischen Fall sei \bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}

\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi

einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also \frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta

in Kugelkoordinaten schreibt

Es gilt für den Operator der kinetischen Energie

\hat{\bar{T}}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

\Delta \Psi =\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\Psi \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left( \sin \vartheta \frac{\partial }{\partial \vartheta }\Psi \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta }\frac{{{\partial }^{2}}}{{{\partial }^{2}}\phi }\Psi

Schrödingergleichung für \Psi (r,\vartheta ,\phi )

H\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )+V(r)\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\left[ \frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right]\Psi =E\Psi (r,\vartheta ,\phi )

In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man

{{\hat{p}}_{r}}=\frac{\hbar }{i}\left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right)

als Radialimpuls- Operator

mit der Vertauschungsrelation:

\left[ {{{\hat{p}}}_{r}},\hat{r} \right]=\frac{\hbar }{i}

Es gilt:

\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}

Nachrechnen!

Ortsdarstellung von L²:

{{L}^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=-{{\hbar }^{2}}\left\{ \frac{1}{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }\left( \sin \vartheta \frac{\partial \Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial \vartheta } \right)+\frac{1}{{{\sin }^{2}}\vartheta }\frac{{{\partial }^{2}}\Psi (r,\vartheta ,\phi )}{\partial {{\phi }^{2}}} \right\}

Nebenbemerkung:

H erhält man auch direkt durch die Transformation von

\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi

´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)

Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:

\Psi (r,\vartheta ,\phi )=R(r)Y(\vartheta ,\phi )

mit{{L}^{2}}Y(\vartheta ,\phi )={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y(\vartheta ,\phi )

Also:

\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{Y}{r}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\frac{R}{2m{{r}^{2}}}\left( {{L}^{2}}Y \right)+Y\left( V(r)-E \right)R=0 \\ & {{L}^{2}}Y={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y \\ & \Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{Y}{r}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\frac{R}{2m{{r}^{2}}}\left( {{\hbar }^{2}}l(l+1)Y \right)+Y\left( V(r)-E \right)R=0 \\ & \Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\left( \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)-E \right)\left( rR \right)=0 \\ \end{align}

(Laguerre Differenzialgleichung!)

Dabei wird \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}

analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet

Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:

{{V}_{eff.}}=\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)

Merke als Kurzform für Differenziale:

{{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R

für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!

Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:

Sei \begin{matrix} \lim \\ r\to 0 \\ \end{matrix}\left| V(r) \right|\le \frac{M}{{{r}^{\alpha }}}

mit α < 2

Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,

so gilt:

Es existieren für ein anziehendes Potenzial V(r) , 

also negatives Potenzial  wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für α < 2

, 

ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!

Dabei existiert eine Serie Enl

n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n

Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.

Also: es existieren endlich oder unendlich viele Enl

zu jedem l

mit jeweils 2l + 1

facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!

Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:

Jeweils vertauschbar sind:

L2

mit Lj,H

und H mit L2,Lj .


Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu H , L2,L3 . 

Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken

ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!

Wir haben jedoch gesehen, dass

\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}
\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}

ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!

Wir haben als Leiteroperatoren:

\begin{align} & {{{\hat{L}}}_{+}}:={{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ & {{{\hat{L}}}_{-}}:={{{\hat{L}}}_{1}}-i{{{\hat{L}}}_{2}} \\ \end{align}

nicht hermitesch

mit {{\hat{L}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle \tilde{\ }\left| l,m\pm 1 \right\rangle

nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.

\Rightarrow {{\hat{L}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle
{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\hbar m\left| l,m \right\rangle
\begin{align} & \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,... \\ & m=-l,-l+1,....,l \\ \end{align}

ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!

Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.

Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:

\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}

Das Spektrum ist einzuschränken:

\begin{align} & \Rightarrow l=0,1,2... \\ & m=-l,-l+1,....,l \\ \end{align}

Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:

\left\langle {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )

als Separationsansatz.

Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu H , L2,L3

kann man den Hamiltonian zusammenstellen:

\begin{align} & H\Psi =\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(r) \right)\Psi =\left( \frac{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right)\Psi \\ & =H\Psi =\frac{1}{2m}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right) \right]+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi +V(r)\Psi \\ & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)={{p}_{r}}^{2} \\ \end{align}

Dabei:

{{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}

(klassisch)

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\left( \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)-E \right)\left( rR \right)=0

als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}

und dem effektiven Potenzial {{V}_{eff.}}(r)=V(r)+\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}

Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:

\begin{align} & \left\langle {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\ & {{R}_{nl}}(r)=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r} \\ \end{align}

Aus der Normierbarkeit

\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\left| {{\Psi }_{nlm}} \right|}^{2}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}\int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}{{\left| \frac{{{u}_{nl}}(r)}{r} \right|}^{2}}=}\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}\int_{0}^{\infty }{{{\left| {{u}_{nl}}(r) \right|}^{2}}}<\infty

folgt:

\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\left| {{u}_{nl}}(r) \right|\le \frac{a}{{{r}^{\varepsilon }}} \\ & mit\varepsilon >\frac{1}{2} \\ \end{align}

Asymptotisches Verhalten für r\to \infty

\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}u=Eu \\ & \Rightarrow u\tilde{\ }{{e}^{-kr}} \\ & k:=\frac{1}{\hbar }\sqrt{2m\left( -E \right)} \\ \end{align}

Verhalten für r\to 0

\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}} \right]u=0

Ansatz: u(r)\tilde{\ }{{r}^{s}}

\begin{align} & -s(s-1)+l(l+1)=0 \\ & \Rightarrow {{s}_{1}}=l+1;{{s}_{2}}=-l \\ \end{align}

Jedoch ist s2 = − l nicht zulässig, da R(r)\tilde{\ }{{r}^{-l-1}} singulär an der Stelle r=0 Es ist notwendig, dass \begin{matrix} \lim \\ r->0 \\ \end{matrix}u(r)=0

Nebenbemerkung: Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung

-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}u+\left( V(r)-E \right)u=0

mit u(0) = 0 äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit

\begin{align} & {{V}_{1}}(x)=V(x)f\ddot{u}r\ x>0 \\ & {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ \end{align}

Vergleiche: Harmonischer Oszi! Symmetrische Fortsetzung des Potenzials Vs


Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von Vs sind auch Eigenzustände von V1

Fazit: Der Grundzustand von V1 entspricht dem ersten angeregten Zustand von Vs (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand!

Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.

Das Wasserstoffatom


Hier wechselwirken ein Elektron e=-{{e}_{0}},{{m}_{1}},{{\bar{r}}_{1}}

und Proton e={{e}_{0}},{{m}_{2}}>>{{m}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}

über das Coulomb- Potenzial:

V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}

Reduktion des Zwei- Teilchen- Problems:

\left\{ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{1}}}{{\Delta }_{1}}-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{2}}}{{\Delta }_{2}}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)-\tilde{E} \right\}\Psi \left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=0

Dies ist die Schrödingergleichung für eine Zwei- Teilchen - Wellenfunktion:

\Psi \left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} | \Psi \right\rangle

Schwerpunkt- Koordinate: \begin{align} & \bar{R}:=\frac{1}{M}\left( {{m}_{1}}{{{\bar{r}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \\ & M:={{m}_{1}}+{{m}_{2}} \\ \end{align}

Relativ- Koordinate: \bar{r}:={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}

Damit können alle Differenziationen in Schwerpunkts- und Relativableitung zerlegt werden:

\begin{align} & {{\nabla }_{1}}=\frac{{{m}_{1}}}{M}{{\nabla }_{R}}+{{\nabla }_{r}} \\ & {{\nabla }_{2}}=\frac{{{m}_{2}}}{M}{{\nabla }_{R}}-{{\nabla }_{r}} \\ \end{align}

Damit folgt:

\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{1}}}{{\Delta }_{1}}-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{2}}}{{\Delta }_{2}}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2}\left\{ \frac{{{m}_{1}}}{{{M}^{2}}}{{\Delta }_{R}}+\frac{2}{M}{{\nabla }_{R}}{{\nabla }_{r}}+\frac{1}{{{m}_{1}}}{{\Delta }_{r}}+\frac{{{m}_{2}}}{{{M}^{2}}}{{\Delta }_{R}}-\frac{2}{M}{{\nabla }_{R}}{{\nabla }_{r}}+\frac{1}{{{m}_{2}}}{{\Delta }_{r}} \right\} \\ & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{1}}}{{\Delta }_{1}}-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{2}}}{{\Delta }_{2}}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2M}{{\Delta }_{R}}-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{r}} \\ \end{align}

Wobei die reduzierte Masse m eingeführt wurde:

\frac{1}{m}=\frac{1}{{{m}_{1}}}+\frac{1}{{{m}_{2}}}

Zur Lösung des Problems wählen wir den Separationsansatz

\Psi \left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right)={{e}^{i\bar{Q}\cdot \bar{R}}}\Psi \left( {\bar{r}} \right)

Dies entspricht einer Abspaltung der zeitunabhängigen Schwerpunktskoordinaten mit der Wellenzahl Q des Systems (Gesamtmasse), also einer Schwerpunktswellenlänge. Dagegen steckt in den Relativkoordinaten dann eine Relativwellenlänge.

Das Q, welches hier eingeführt wird kann dann Korrekturen an die Energie bringen, die jedoch klein sein sollten (siehe unten).

Somit folgt die Schrödingergleichung

\left\{ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{r}}+V(r)-E \right\}\Psi \left( {\bar{r}} \right)=0

mit \tilde{E}=E+\frac{{{\hbar }^{2}}{{Q}^{2}}}{2M} , 

also der Energie E

, 

die noch um die freie Schwerpunktsbewegung, die kinetische Energie des freien Schwerpunktes \frac{{{\hbar }^{2}}{{Q}^{2}}}{2M}

zu \tilde{E}

korrigiert wird.

Somit haben wir nun ein reduziertes effektives 1- Teilchen- Problem mit einem kugelsymmetrischen Potenzial.

Separation in Kugelkoordinaten:

\begin{align} & \left\langle {\hat{\bar{r}}} | nlm \right\rangle ={{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})=\Psi (r,\vartheta ,\phi )={{R}_{nl}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \\ & {{R}_{nl}}(r)=\frac{{{u}_{nl}}(r)}{r} \\ \end{align}

Ansatz der effektiven radialen Schrödingergleichung:

-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}}\left( rR \right)+\left( \frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}+V(r)-\left| E \right| \right)\left( rR \right)=0

Dies entepricht

\begin{align} & \left( \frac{{{p}^{2}}_{rad}}{2m}+V{{(r)}_{eff}} \right)\Psi =0 \\ & \frac{{{p}^{2}}_{rad}}{2m}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{r}^{2}}} \\ \end{align}

Wobei die obige Gleichung leicht aus dem Laplaceoperator in Kugelkoordinaten einzusehen ist. Durch den Separationsansatz erhält man schnell die einfachere Form \left( \frac{{{p}^{2}}_{rad}}{2m}+V{{(r)}_{eff}} \right)\left( rR \right)=0 , 

die nur noch von der Radiuslänge in der Wellenfunktion abhängt.

Also:

Bei Beschränkung auf gebundene Zustände gilt: E < 0:

Abspaltung des asymptotischen Verhaltens:

Als Lösungsansatz wählen wir:

\begin{align} & {{u}_{nl}}(r)={{r}^{l+1}}{{e}^{-kr}}w(r) \\ & k:=\frac{1}{\hbar }\sqrt{2m\left| E \right|} \\ \end{align}

Mit \begin{align} & \rho :=2kr \\ & \lambda :=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2k}\tilde{\ }\frac{1}{\sqrt{\left| E \right|}} \\ \end{align}

Ergibt sich:

u\acute{\ }{{\acute{\ }}_{nl}}(\rho )-\left\{ \frac{l(l+1)}{{{\rho }^{2}}}-\frac{\lambda }{\rho }+\frac{1}{4} \right\}{{u}_{nl}}(\rho )=0

Sowie

w\acute{\ }\acute{\ }(\rho )+\left\{ \frac{2(l+1)}{\rho }-1 \right\}w\acute{\ }(\rho )+\frac{\lambda -l-1}{\rho }w(\rho )=0

Lguerre- Differentialgleichung

Über einen Potenzreihenansatz:

\begin{align} & w(\rho )=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{a}_{n}}{{\rho }^{n}} \\ & w\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{a}_{n}}n{{\rho }^{n-1}} \\ & w\acute{\ }\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{n=2}^{\infty }{{}}{{a}_{n}}n(n-1){{\rho }^{n-2}} \\ \end{align}

Erhält man eine Rekursionsformel für die Entwicklungskoeffizienten durch Koeffizientenvergleich:

{{a}_{n+1}}={{a}_{n}}\frac{n+l+1-\lambda }{(n+1)(n+2l+2)}

Wenn die Reihe nicht abbricht folgt für n\to \infty

\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to \frac{1}{n}

also

Demnach folgt für \rho \to \infty

\begin{align} & w\to \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{1}{n!}{{\rho }^{n+1}}=\rho {{e}^{\rho }} \\ & \Rightarrow u\tilde{\ }w{{e}^{-\frac{\rho }{2}}} \\ \end{align}

Damit ist jedoch u nicht normierbar! Die Reihe muss also abbrechen bei n=n\acute{\ }\in {{N}_{0}}:

Also:

\lambda =n\acute{\ }+l+1\equiv n\in N

Wobei dieses n vom obigen Laufindex verschieden ist!!! Es handelt sich in der Summe natürlich auch um in n aus den ganzen Zahlen.

Für

\begin{align} & E=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{k}^{2}}=-\frac{m{{e}^{4}}}{2{{\hbar }^{2}}{{(4\pi {{\varepsilon }_{0}})}^{2}}}\frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \\ & \frac{m{{e}^{4}}}{2{{\hbar }^{2}}{{(4\pi {{\varepsilon }_{0}})}^{2}}}:={{R}_{H}}=13,6eV \\ \end{align}

Folgen nun die Energie- Eigenwerte:

\begin{align} & {{E}_{n}}=-{{R}_{H}}\frac{1}{{{n}^{2}}} \\ & n=1,2,3,... \\ \end{align}

n heißt auch Hauptquantenzahl!

Entartungsgrad

Zu festem n ist l = 0,1,2,3,...,n-1 die Drehimpulsquantenzahl und m = -l,...,+l (insgesamt 2l+1 Werte) möglich:

Das bedeutet: Jedes feste n ist \sum\limits_{l=0}^{n-1}{\left( 2l+1 \right)}=2\frac{n(n-1)}{2}+n={{n}^{2}} - fach entartet.

Es liegt n² fache Entartung für jedes n vor. Das bedeutet: Es gibt zu jedem n n² Wellenfunktionen mit der zugehörigen Energie.

Nebenbemerkung:

Die Energieentartung bzgl. l ist eine Besonderheit des 1/r - Potenzials. Alle anderen kugelsymmetrischen Potenziale haben allgemein Energie- Eigenwerte, die von n und l abhängen, also Energie- Eigenwerte Enl.


Tieferer Grund: Der Lenzsche Vektor

\bar{N}=\frac{1}{2m}\left( \bar{p}\times \bar{L}-\bar{L}\times \bar{p} \right)-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}\bar{r}

ist im \frac{1}{r} - Potenzial eine Erhaltungsgröße:

\left[ \bar{N},H \right]=0

Klassisch bedeutet dies: Es gibt keine Periheldrehung im \frac{1}{r} - Potenzial. (Die beobachtete Periheldrehung des Merkur ist Folge der Allgemeinen Relativitätstheorie). Die Erhaltung des Lenz- Runge Vektors ist äquivalent der Aussage, dass die energieabhängige Flächengeschwindigkeit des Fahrstrahls von Objekten im 1/r- Potenzial zeitlich konstant ist, also das zweite Keplersche Gesetz wird hier wieder gefunden.


n l m Energie- Entartung Schalenbezeichnung 1 0 (s) 0 1 K 2 0 (s) 0 4 L 1 (p) 0,+1,-1 3 0 (s) 0 1 (p) 0,+1,-1 9 M 2 (d) 0,+1,-1,+2,-2 4 0 (s) 0 16 N 1 (p) 0,+1,-1 2 (d) 0,+1,-1,+2,-2 3 (f) 0,+1,-1,+2,-2,+3,-3

Eigenfunktionen: Die w(ρ) hängen mit den Laguerre´schen Polynomen zusammen. Die erzeugende Funktion der Laguerre- Polynome Lq(x)

F(x,s):=\frac{1}{1-s}\exp \left\{ -x\frac{s}{1-s} \right\}=\sum\limits_{q=0}^{\infty }{{}}{{L}_{q}}(x)\frac{{{s}^{q}}}{q!}

Mit

{{L}_{q}}(x):={{\left( \frac{{{\partial }^{q}}}{{{\left( \partial s \right)}^{q}}}F(x,s) \right)}_{s=0}}={{e}^{x}}\frac{{{d}^{q}}}{d{{x}^{q}}}\left( {{e}^{-x}}{{x}^{q}} \right)

Dabei müsste das rechte Gleichheitszeichen erst noch bewiesen werden!

Lq(x)

ist also ein Polynom vom Grad q!

Die zugeordneten Laguerre- Polynome ergeben sich gemäß

{{L}_{q}}^{p}(x):=\frac{{{d}^{p}}}{d{{x}^{p}}}{{L}_{q}}(x)

Sind also Polynome vom Grad q-p mit q-p verschiedenen positiven Nullstellen. Die zugeordneten Laguerre- Polynome erfüllen ihrerseits die Gleichung

\begin{align} & x{{L}_{q}}^{p}\acute{\ }\acute{\ }+(p+1-x){{L}_{q}}^{p}\acute{\ }+(q-p){{L}_{q}}^{p}=0 \\ & (q-p)=n-l-1 \\ & p+1=2(l+1) \\ \end{align}

Also:

{{w}_{nl}}(\rho )=A{{L}_{(n+l)}}^{2l+1}(\rho )

Normierte Eigenfunktionen:

{{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})={{\left[ \frac{\left( n-l-1 \right)!{{\left( 2k \right)}^{3}}}{2n{{\left( \left( n+l \right)! \right)}^{3}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}{{\left( 2kr \right)}^{l}}{{e}^{-kr}}{{L}_{(n+l)}}^{2l+1}(2kr){{Y}_{l}}^{n}\left( \vartheta ,\phi \right)

mit den Lagurre- Polynomen {{L}_{(n+l)}}^{2l+1} und den zugeordneten Legendre-Polynomen{{Y}_{l}}^{n}\left( \vartheta ,\phi \right)

Dabei spürt die Funktion

\frac{{{\Psi }_{nlm}}(\bar{r})}{{{Y}_{l}}^{n}\left( \vartheta ,\phi \right)}={{\left[ \frac{\left( n-l-1 \right)!{{\left( 2k \right)}^{3}}}{2n{{\left( \left( n+l \right)! \right)}^{3}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}{{\left( 2kr \right)}^{l}}{{e}^{-kr}}{{L}_{(n+l)}}^{2l+1}(2kr)

insgesamt n − l − 1 radiale Knoten

l=0: Kugelsymmetrische Eigenfunktionen mit n-1 Knotenflächen

Grundzustand:

{{\Psi }_{100}}(\bar{r})={{\left[ \frac{1}{{{\left( \pi {{a}_{0}} \right)}^{3}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-\frac{r}{{{a}_{0}}}}}

Mit dem Bohrschen Radius

{{a}_{0}}:=\frac{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\hbar }^{2}}}{m{{e}^{2}}}=0,529\,A{}^\circ

Es gilt der interessante Zusammenhang:

\frac{{{a}_{0}}}{m}=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\hbar }^{2}}}

Es gilt: k=\left[ \frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar } \right]=\frac{1}{{{a}_{0}}n}

{{\Psi }_{n00}}(\bar{r})\tilde{\ }{{e}^{-\frac{r}{{{a}_{0}}n}}}{{L}^{1}}_{n}(2kr)

Für l = n − 1

Zustände mit maximalem Bahndrehimpuls (entspricht einer klassischen Kreisbahn)
\begin{align} & {{\Psi }_{n,n-1,m}}(\bar{r})\tilde{\ }{{r}^{n-1}}{{e}^{-\frac{r}{{{a}_{0}}n}}} \\ & \begin{matrix} \lim \\ r->0 \\ \end{matrix}{{\Psi }_{n,n-1,m}}=0\quad ,l\ne 0 \\ \end{align}

Berechnung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf einer Kugelschale mit Radius r und Breite dr:

\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{d\Omega {{r}^{2}}}{{\left| {{\Psi }_{nlm}} \right|}^{2}}dr={{\left| {{u}_{nl}} \right|}^{2}}dr \\ & {{Y}_{l}}^{m}\quad normiert \\ \end{align}
z.B.:

Magnetisches Moment und Zeeman- Effekt


Hamilton- Operator mit äußerem Magnetfeld:

H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)

mit kugelsymmetrischem Potenzial

Durch den kinetischen Impulsoperator: \left( \bar{p}-e\bar{A} \right)

ist der Einfluss von äußeren Feldern auf den Bahndrehimpuls schon in der Gleichungen enthalten. Es folgt bereits der Zeemann Effekt aus dem gemachten Ansatz. Würde man dagegen auf Effekte hoffen, die erst angesichts des Spins von Elektronen auftreten, so wäre dies vergebens. Effekte des Spins sind in die Gleichung noch nicht eingebaut!

H=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{p}}}^{2}}-2e\bar{A}\bar{p}+{{e}^{2}}{{{\bar{A}}}^{2}} \right)+V(r)

Verwende: Coulombeichung: \nabla \cdot \bar{A}=0

→ \bar{A}\bar{p}=\bar{p}\bar{A}

für Operatoren

{{e}^{2}}{{\bar{A}}^{2}}

sei für Atome vernachlässigbar, falls \left\langle {{L}_{3}} \right\rangle \ne 0 , 

falls B < 105G

vergl. Schwabl S. 128

Homogenes Magnetfeld: \bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)

wegen \bar{B}=\nabla \times \bar{A}=\frac{1}{2}\left( \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{r} \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{r}=\frac{1}{2}\left( \nabla \times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right) \right)=\bar{B}

Da ja \left( \nabla \cdot \bar{r} \right)=3,\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{r}=\bar{B}

Somit:

\frac{\hbar }{i}\left( \bar{A}\cdot \nabla \Psi \right)=\frac{\hbar }{2i}\left( \bar{B}\times \bar{r} \right)\nabla \Psi =\frac{\hbar }{2i}\bar{B}\left( \bar{r}\times \nabla \right)\Psi =\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{L} \right)\Psi

Sei

\bar{B}=\left( 0,0,B \right)\Rightarrow \bar{B}\cdot \bar{L}=B{{L}_{3}}

Schrödinger- Gleichung:

\begin{align} & -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}B{{L}_{3}} \right)\Psi =0 \\ & {{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi \\ \end{align}

Wobei

{{L}_{3}}\Psi =\hbar m\Psi

für Drehimpuls- Eigenzustände

\Rightarrow -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2{{m}_{0}}}\Delta \Psi +\left( V(r)-E-\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar mB \right)\Psi =0

mit

\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}

(magnetisches Moment)

Klassisch:

\bar{\mu }=-\frac{\partial H}{\partial \bar{B}}=\frac{e}{2{{m}_{0}}}\bar{L}

Der Term im Hamiltonian der magnetischen Wechselwirkung.

\begin{align} & {{H}_{mag.}}={{\mu }_{B}}\bar{B}=\frac{e\bar{B}\cdot \bar{L}}{2{{m}_{0}}}=\frac{eB{{L}_{3}}}{2{{m}_{0}}} \\ & {{\mu }_{B}}=\frac{\hbar e}{2{{m}_{0}}} \\ \end{align}

Normaler Zeeman- Effekt:

Atom im homogenen Magnetfeld:

\left( {{H}_{0}}-E-{{\mu }_{3}}B \right)\Psi =0

H0: Hamiltonoperator ohne B- Feld

\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hbar m:={{\mu }_{3}}
\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}:={{\mu }_{B}}

Bohrsches Magneton: e<0

H0Ψnlm = EnlΨnlm
\Rightarrow E={{E}_{nl}}-\frac{\hbar eB}{2{{m}_{0}}}m

→ Die m- Entartung wird vollständig aufgehoben

Das heißt: für jedes m ergibt sich eine eigene Energie!

m = − l,..., + l

→ Aufspaltung in 2l + 1

- Niveaus (Multipletts) mit m = magnetische Quantenzahl

Achtung! Die l- Entartung wird keineswegs aufgehoben. Allerdings ist natürlich m abhängig von l

Nebenbemerkung: Anomaler Zeeman- Effekt → Effekt des Spins (vergl. nächstes Kapitel)

H- Atom: l- Entartung

Atome mit ungerader Kernladungszahl: Spin- Bahn - Zustände!

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