Dynamik des 2- Zustands- Systems

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Spin und Systeme identischer Teilchen

Inhaltsverzeichnis

1 Schrödingergleichung für die Spinzustände

Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins $\bar{\mu }$ im äußeren Magnetfeld $\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}$ beträgt:

$V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}$ mit $\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}$ mit g~ 2 und e<0

Somit:

$\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$

Mit der Larmor-Frequenz ${{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}$

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist $\hat{H}=\hat{V}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

${{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}$ :

$\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle$

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Dies läßt sich reduzieren:

$\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0$

Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:

$\begin{align} & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\ \end{align}$

klassischer Kreisel

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:

${{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}$

Mit anderen Worten:

${{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const$ , der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2ω l$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

$\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle$ (Schrödingergleichung für Spinzustände)

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand $\left| a(t) \right\rangle$ in der Spinbasis entwickelbar sein:

$\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle$

Matrix- Darstellung:

$\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \begin{matrix} -i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{{\dot{a}}}_{1}} \\ i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{{\dot{a}}}_{2}} \\ \end{matrix}$

Die Lösung lautet:

$\begin{align} & {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\ & {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\ \end{align}$

$\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}$ , also die Spinpräzession wie oben!

Abschnitt	2 +
Definition	Larmor-Frequenz +
Gleichung	Schrödinger-Gleichung für Spinzustände +
Index	Larmor-Frequenz + und Schrödinger-Gleichung für Spinzustände +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	4 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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