Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Formalisierung der Quantenmechanik

Inhaltsverzeichnis

1 Bilder

Zustandsvektoren im Hilbertraum
Operatoren im Hilbertraum
Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren
Die Quantisierung
Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Der harmonische Oszillator

Betrachte die zeitabhängigen Zustände ${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

$U(t,0)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t \right)}^{n}}$

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

Klar: $\begin{align} & {{H}^{+}}=H \\ & \Rightarrow {{U}^{+}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{{\hat{H}}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1 \\ \end{align}$

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}$

Mit der formalen Lösung:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)$

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über $\bar{A}(t)$ ergibt sich für

$\hat{F}=\hat{F}\left( \hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}},t \right)$

$\left\langle {\hat{F}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)\frac{d}{dt}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right) \\ & \left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)=-\frac{1}{i\hbar }{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}$

Also:

$\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:

$\left[ \hat{H},\hat{F} \right]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =0$

Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei $F(\bar{q},\bar{p},t)$ eine klassische Observable und $H(\bar{q},\bar{p})$ die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)} \\ & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\left\{ H,F \right\} \\ \end{align}$

Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:

$\left\{ H,F \right\}\to \frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]$

Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von $F(\bar{q},\bar{p},t)$ " als Operator:

$\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]$

Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für $\hat{F}$ ,

da im Allgemeinen:

$\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}$

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:

$\left\langle \hat{F}{}^\circ \right\rangle =\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle$

Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{r}} \right] \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{p}} \right] \\ \end{align}$

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):

$\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}$

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich

$\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})$

folgt:

$\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}} \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m} \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =-\nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \\ \end{align}$

Denn:

$\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{x}}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{{\hat{x}}}^{\circ }}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{{\hat{p}}}{m} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}}\Rightarrow {{{\hat{p}}}^{\circ }}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\nabla V\left( {\hat{x}} \right) \\ \end{align}$

Merke:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{r}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{p}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ \end{align}$

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\frac{1}{m}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =-\left\langle \nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \right\rangle \\ \end{align}$

da ja: $\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}$

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen

Bilder

Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:

$\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi \right\rangle \\ & \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\ \end{align}$

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte $\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0$ ,

also keine explizite Zeitabhängigkeit!

Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!

Schrödingerbild:

Operatoren ${{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})$ zeitunabhängig Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left| \Psi \right\rangle$ zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Veranschaulichung im $R 2$

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im $R 2$ entspricht ${{\hat{F}}_{S}}$ einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Das Heisenbergbild

$\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\ & {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\ \end{align}$

In diesem Bild sind die Operatoren ${{\hat{F}}_{H}}(t)$ zeitabhängig und damit Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$ zeitunabhängig: Veranschaulichung im $R 2$

Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus

${{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}$

folgt:

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}$

Also:

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]$

(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild:

$\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]$

Insbesondere gilt:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0$

also die bildunabhängige Darstellung

${{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}$

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.

Wechselwirkungsbild

Sei $\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}$

mit dem ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat{H}}^{0}}$ und der Störung ${{\hat{H}}^{1}}$ .

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:

${{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}$

Somit gilt wieder die Relation

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]$

Also:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0$

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian ${{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}$ bildunabhängig. Aber:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0$

im Allgemeinen

$\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\ & wegen \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

Aber:

${{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}$

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]$

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)$

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren ${{\hat{F}}_{W}}(t)$ zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat{H}}^{0}}$

und damit Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: ${{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}$ zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator ${{\hat{H}}_{W}}^{1}$ .