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Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Einführung statistische Physik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 0) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

Einführung statistische Physik

Einführung statistische Physik

Einführung statistische Physik
Grundlagen der statistischen Beschreibung
Gase ohne Wechselwirkung im Gleichgewicht
Verdünnte Gase mit Wechselwirkung
Thermodynamik (statistische Physik)
Auf statistischem Weg durch die klassischen Gleichungen der Physik

Konzepte der statistischen Physik

Statistik beschäftigt sich mit Vielteilchensystemen, die so viele Freiheitsgrade haben, dass es nicht einmal mögliche wäre die leider unbekannte Lösung für das System aufzuschreiben.

System-Bad-Ansatz

Aufteilung der Welt in Umgebung und System die mit Wechselwirkung verbunden sind

Schaubild System Bad
Badparameter	Umgebung		System	Systemvariabele
Parameter $μ λ$ z.B.T	Umgebung mit vielen Freiheitsgraden "Bad"	Wechselwirkung	System mit wenigen oder vielen Freiheitsgraden (Dafür interessieren Sie sich)	in: externe Felder $h α$ z.B zeitabhängiges Volumen V(t) out: Aulsesen von Observabelen $G ν$

Konzept mit Vielteilchensystemen umzugehen:

Die statistische Physik reagiert auf den Mangel an Informationen (Vielteilchensysteme nicht wirklich beschreibbar) durch einen Mangel an Fragen!

Beispiel:Frage: Druck des Gases

Mangel an Info: Bahnkurven unbekannt

Kosten eines solchen Vorgehens: man bezahlt die wenigen Fragen die man stellt mit den Schwankungen der Meßgrößen.

BILD Druckmessung im Gas, Druckdiagramm Zeitlich(p,t) und Druckhistogramm(h_i,P_i)

$\left\langle {p} \right\rangle_{t} =$ zeitlicher Mittelwert

$\left\langle {p}\right\rangle_{E} =$ ensemble Mittelwert

$h_i=\frac{N_i}{M}$

N i =

Anzahl der Druckwerte p_i

M Gesamtzahl des Wertes p_i

$\left\langle {p} \right\rangle_{t} =\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{M}{p\left( {{t}_{i}} \right)}=\frac{1}{A}\sum\limits_{\text{St }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse des Teilchens j}}{{{F}_{j}}\left( {{t}_{i}} \right)}$ mit A~Fläche

${{h}_{i}}=\frac{{{N}_{i}}}{M}=\frac{\text{Anzahl der Momentan aufnahmen zu Wert }{{\text{p}}_{i}}}{\text{Gesamtzahl aller Momentaufnahmen}}$

wenn von der Zeitfolge abstrahiert wird, so kann man für $M \to \infty$ , $h i$ als Wahrscheinlichkeit w_i definieren den Wert p_i im System zu finden

${{\left\langle p \right\rangle }_{E}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}{{p}_{i}}}$

Mittelungmethoden

Man hat also 2 Möglichkeiten der Observabelen des System zu bestimmen

Observable über M-Zeitpunkte zu mitteln (1-System)
Observable über M System mitteln (1-Zeitpunkt)

Hoffung : ${{\left\langle p \right\rangle }_{E}}=\left\langle p \right\rangle ={{\left\langle p \right\rangle }_{t}}$ wird als Ergodenhypothese formuliert.

(nach Eherenfest gilt für die klassische Mechanik: wenn die Kurven eines System im Phasenraum jedem Punkt einer Fläche E=konstant beliebig nachen kommt so gilt die Ergodenhypothes; Stöße sind oft Voraussetzung der Erdogenhypothese)

Hauptaufgabe der statistischen Physik

Ableitung von Gesetzen für makroskopische Systemvariabelen unter dem Einfluss der Umgebung und externer Felder.

Die Ableitung erfolgt auf Grundlage der Wahrscheinlichkeiten

w i

mit denen mikroskopischen Zuständen $\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle$ des Systems (ohne Umgebung bestimmt) angenommen werden. (mit Umgebung)

Kurzer historischer Überblick

(Rückwärtsüberblick über die Vorlesung)

A Avangado (1776-1856)

hat als einer der erste so etwas we die idealea Gasgleichung aufgeschrieben $p V = n k T$

J Losschmidt (1821-1879)

Anschätzung zur Zahl Moleküle in typischem makroskopischem Volumen von 10²³ Teilchen

J.C. Maywell (1831-1879)

berechnet erstmalig die Geschwidgkeitsverteilung des Teilchen in ein em idealn Gas

$\underbrace{w\left( v \right)}_{\begin{align} & \text{Wahrscheinlichkeit beim } \\ & \text{Reingreifen in ein} \\ & \text{Gas ein Teilchen mit} \\ & \left| \underline{v} \right|\text{=}v\text{ zu finden } \\ \end{align}}=4\pi {{\left( \frac{m}{2\pi {{k}_{B}}T} \right)}^{3/2}}{{v}^{2}}\underbrace{\exp \left( -\frac{m{{v}^{2}}}{2{{k}_{B}}T} \right)}_{\begin{smallmatrix} \text{legt einen Abschneideparameter} \\ \text{kT}\triangleq \text{thermischen Energie fest} \end{smallmatrix}}$

siehe auch [1]

J.W. Gibbs (1839-1903) u.a.

führen unabhängig von Gas Wahscheinlichkeitsverteilungen recht allgemein ein.

$\left\{ \left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right\}$ Systemezustände mit Energie \epsilon_i treten mit Wahrscheinlichkeit

${{w}_{i}}\tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{\varepsilon }_{i}}}{kT} \right)$ auf.

L. Bolzmann (1844-1906) u.a.

verbinden die Entropie S mit den w_i 's undn führen die Temperaturdefinition über S ein:

$S=S\left( N,E,V \right)=-{{k}_{\text{B}}}\sum\limits_{i}{{{p}_{i}}}\ln {{w}_{i}}\rightleftharpoons {{T}^{-1}}={{\partial }_{E}}S$ (E=Energie)

man verbindet die mikroskopiscen Größen $ε i$ mit T, einer makroskopischen Größe.

(siehe auch [2])

Quantenstatistik

neben der klassischen Statistik von Maxwell gibt es die Quantenstatistik

E. Fermi (1901-1954) → Fermionen (halbzahliger Spin)
N. Bose (1894-1955) → Bose (ganzzahliger Spin)

Was ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Zustand $Ψ i$ mit Energie $ε i$ zu finden?

$f_{{{\varepsilon }_{i}}}^{F/B}=\frac{1}{\exp \left( \beta \left( {{\varepsilon }_{i}}\pm 1 \right) \right)}$

mit

$F + 1, B : - 1$
$\beta =\frac{1}{kT}$ Abkürzung für inverse thermische Energie
$μ$ Chemisches Potential

So wie Temeperatur Wäremeaustauisch zwischen System und Umgebung charakterisiert, so charakterisert

μ

den Teilchenaustausch.

Verfeinerungen jenseits ${{e}^{-{{\varepsilon }_{i}}\beta }}$ sind Quanteneffekte.

klassisch: $pV=NkT\xrightarrow{T\to 0}0,p=0$
qantenmechanisch: $pV\xrightarrow{T\to 0}\ne 0$ Fermigas

Druck von quantemechanischen Fermionen verschwindet bei T=0 nicht aufgrund von Unschärfe/Pauliprinzip "Fermidruck"

Schwarzkörperstrahlung

es gibt Bosonen ohne Masse \mu=0 z.B. Photonen sind masselose Bosonen M.Planck (1858-1947) leitet 1900 die spektrale Energiedichte eines Strahlers ab

$u\left( \omega \right)=\frac{16\pi \hbar }{{{c}^{2}}}\frac{\omega }{\exp \left( \frac{\hbar \omega }{kT} \right)-1}$

P.Debey (1884-1966)

wichtige Beiträge durch P.Debey [3] zur Materialphysik Theorie der Flüssigkeiten un der spezifischen Wärme von Festkörpern spezifisce Wäremkapazität

klassisch: ${{C}_{V}}\left( T \right)=3kN\quad \forall T$
qantenmechanisch: ${{C}_{V}}\left( T\to 0 \right)=V\frac{2{{\pi }^{2}}}{5{{\left( \hbar {{c}_{s}} \right)}^{3}}}{{T}^{3}}$

L.D. Landau [4] (1908-1966) arbeitet auf dem Gebiet der Transporttheorie/ Ferromagnetismus

Ratengleichung

Beschreibung von Stößen zwischen Teilchen bisher nicht diskutiert, einfacher Ansatz sind Ratengleichungen

${{{{\dot{f}}}}_{k}}=-\sum\limits_{l}{\underbrace{{{\Gamma }_{k\to l}}}_{\text{Ausstreurate}}{{f}_{k}}}+\sum\limits_{l}{\underbrace{{{\Gamma }_{l\to k}}}_{\text{Einstreurate}}{{f}_{l}}}$

Bezetzungszahl (wie viele Teilchen sind im Mittel im Zustand k) beschreibt die Dynamik aus einem Nichtgleichgewicht in ein Gleichgewichtszustand

L. von Neumann (1903-1957)

allgemeinster Zugang zur Statistik erfolgt über die von neumann Gleichung ds Statischen Operator $ρ$

$i\hbar \dot{\rho }=\left[ H,\rho \right]$

Dynamik eines Quantensystems in Umgebung ersetzt die Schrödingergleichung.

${\dot{\rho }}$ ist der Wahrscheinlichkeitsoperator

((Vorlesung nimmt den Weg rückwärts))

Fakten zu Einführung statistische PhysikRDF-Feed

Abschnitt	0 +
Fachbegriff	Vielteilchensystemen +, Zeitlicher Mittelwert +, Ensemble Mittelwert +, Ergodenhypothese +, Entropie + und Ratengleichungen +
Index	Vielteilchensystemen +, Zeitlicher Mittelwert +, Ensemble Mittelwert +, Ergodenhypothese +, Entropie + und Ratengleichungen +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. A. Knorr +