Exergie

Aus PhysikWiki

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Exergie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Exergie

Phänomenologische Thermodynamik

Thermodynamik und Statistik

Inhaltsverzeichnis

1 Zusammenhang mit der Entropieproduktion
2 Statistische Interpretation
- 2.1 isotherme, isochore Reaktion
- 2.2 Isotherme, isobare Reaktion

Ziel ist die Einführung einer thermodynamischen Größe für die maximal verfügbare Arbeit ("availability" der Energie = Exergie).

Diese Größe soll dann mit dem statistischen Konzept verknüpft werden!

Betrachten wir dazu ein System $Σ$ , welches sich nicht im Gleichgewicht mit der Umgebung $Σ *$ befindet.

Wesentlich: Zustandsänderung von $Σ$ :

Endzustand- Anfangszustand:

Δ U,Δ V

Dabei sind Irreversibilitäten zugelassen. Zustandsänderungen von $Σ *$

(quasistatisch und damit reversibel):

Δ U * ,Δ V *

Als Bilanz folgt:

$\begin{align} & \Delta V+\Delta V*=0 \\ & \Delta U+\Delta U*=-\tilde{W} \\ \end{align}$

Die von $Σ *$

an $Σ$

abgegebene Arbeit:

W = p 0 Δ V * = - p 0 Δ V

Die von $Σ *$ an $Σ$

abgegebene Wärme:

$\begin{align} & Q=-{{T}^{0}}\Delta S* \\ & \Rightarrow \Delta U*=-W-Q=-{{p}^{0}}\Delta V*+{{T}^{0}}\Delta S* \\ & \Rightarrow \Delta S*=\frac{1}{{{T}^{0}}}\left( \Delta U*+{{p}^{0}}\Delta V* \right)=\frac{1}{{{T}^{0}}}\left( -\Delta U-\tilde{W}-{{p}^{0}}\Delta V \right) \\ \end{align}$

Nun sind $Σ$ und $Σ *$ adiabatisch abgeschlossen:

Also folgt mit dem zweiten Hauptsatz:

$\Delta S+\Delta S*\ge 0$

Also:

$\begin{align} & \Delta S+\frac{1}{{{T}^{0}}}\left( -\Delta U-\tilde{W}-{{p}^{0}}\Delta V \right)\ge 0 \\ & \Rightarrow \tilde{W}\le -\Delta U+{{T}^{0}}\Delta S-{{p}^{0}}\Delta V=:-\Delta \Lambda \\ \end{align}$

wobei $- ΔΛ$ die maximal abgegebene Arbeit charakterisiert!

(maximal ebgegebene Arbeit $\tilde{W}$ )

Die maximal verfügbare Arbeit ist gleich der Abnahme der Exergie (availability):

$\Lambda :=U-{{U}^{0}}-{{T}^{0}}\left( S-{{S}^{0}} \right)+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)$

Dabei ist $\left( {{U}^{0}},{{S}^{0}},{{V}^{0}} \right)$ der Gleichgewichtszustand von $Σ$ im Gleichgewicht mit $K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=tr\left[ \rho \ln \rho -{{\rho }^{0}}\ln {{\rho }^{0}}-\left( \rho -{{\rho }^{0}} \right)\ln {{\rho }^{0}} \right]=I-{{I}^{0}}+{{\lambda }_{\nu }}^{0}\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle -{{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }^{0}} \right)$

Definition ist so gewählt, dass $Λ = 0$ im Gleichgewicht!

Mit dem zweiten Hauptsatz folgt dann:

$\Delta \Lambda \ge 0$

Falls im Gleichgewicht von $Σ$ im Gleichgewicht mit $Σ *$

Arbeit $\tilde{W}$ geleistet werden könnte wäre dies ein Perpetuum Mobile 2. Art!

Erweiterung auf Teilchenaustausch liefert:

$\Lambda :=U-{{U}^{0}}-{{T}^{0}}\left( S-{{S}^{0}} \right)+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)-{{\mu }^{0}}(N-{{N}^{0}})$

Zusammenhang mit der Entropieproduktion

Sei $\tilde{W}=0$ (kein Arbeitskontakt mit $Σ A$ ):

$0\ge \Delta \Lambda$

Das heißt: Exergie nimmt spontan NIE zu!

$\Delta \Lambda =\Delta U-{{T}^{0}}\left( \Delta S \right)+{{p}^{0}}\left( \Delta V \right)$

läßt sich schreiben als

$\begin{align} & \left( \Delta S \right)=\frac{1}{{{T}^{0}}}\left( \Delta U+{{p}^{0}}\left( \Delta V \right) \right)-\frac{1}{{{T}^{0}}}\Delta \Lambda \\ & \frac{1}{{{T}^{0}}}\left( \Delta U+{{p}^{0}}\left( \Delta V \right) \right)=\Delta {{S}_{ex.}} \\ & -\frac{1}{{{T}^{0}}}\Delta \Lambda =\Delta {{S}_{pr}} \\ \end{align}$

Dabei bezeichnet $Δ S e x .$ den Entropieaustausch mit $Σ *$ (sogenannter Entropiefluss) und $-\frac{1}{{{T}^{0}}}\Delta \Lambda =\Delta {{S}_{pr}}$ die produzierte Entropie im Inneren von $Σ$ , ist damit also ein Maß für die Irreversibilität des Prozesses.

Insgesamt:

$\sigma :=-\frac{1}{{{T}^{0}}}\frac{d}{dt}\Lambda \ge 0$

ist die zeitliche Entropieproduktion!

Statistische Interpretation

Informationsgewinn

$K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=tr\left[ \rho \left( \ln \rho -\ln {{\rho }^{0}} \right) \right]=I(\rho )-I({{\rho }^{0}})-tr\left[ \left( \rho -{{\rho }^{0}} \right)\left( \ln {{\rho }^{0}} \right) \right]$

Sei (Gleichgewichtsverteilung von $Σ$ (Druckensemble) und $ρ$ der Nichtgleichgewichtszustand von $\Sigma \left( S,U,V \right)$ :

Mit

$\begin{align} & S=-kI\left( \rho \right) \\ & {{S}^{0}}=-kI\left( {{\rho }^{0}} \right) \\ & tr\left[ \rho ({{\Psi }^{0}}-\frac{H+{{P}^{0}}V}{k{{T}^{0}}}) \right]={{\Psi }^{0}}-\frac{U+{{P}^{0}}V}{k{{T}^{0}}} \\ & tr\left[ {{\rho }^{0}}({{\Psi }^{0}}-\frac{H+{{P}^{0}}V}{k{{T}^{0}}}) \right]={{\Psi }^{0}}-\frac{{{U}^{0}}+{{P}^{0}}V}{k{{T}^{0}}} \\ \end{align}$

mit diesen Relationen folgt:

$\begin{align} & K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=-\frac{S-{{S}^{0}}}{k}+\frac{U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)}{k{{T}^{0}}} \\ & K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}\ge 0 \\ \end{align}$

folgt aus der Statistik (S. 18)

$\frac{d}{dt}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=-\frac{\sigma }{k}\le 0$ (spontan)

Also: Der Informationsgewinn kann nach der letzten Messung nicht zunehmen!)

Entropieproduktion ist stets $\ge 0$ !

Beispiel:

chemische Reaktion in abgeschlossenem Gefäß (kein Teilchenaustausch von $Σ$ mit $Σ *$ ):

$\Delta \Lambda =\Delta U-{{T}^{0}}\left( \Delta S \right)+{{p}^{0}}\left( \Delta V \right)$

Zustand NACH Reaktion - Zustand VOR Reaktion

isotherme, isochore Reaktion

Isotherme, isochore'

Reaktion (Berthelot- Bombe)

$\Delta \Lambda =\Delta U-{{T}^{0}}\left( \Delta S \right)=\Delta F$

Das heißt: Die Abnahme der freien Energie ist die maximal verfügbare Arbeit !

normalerweise wir keine Arbeitsleitung, sondern nur Wärme abgegeben:

REAKTIONSWÄRME:

${{Q}_{r}}=-\Delta U=-\Delta F+{{T}^{0}}\left( \Delta S \right)$

Im Prinzip kann aber der Anteil $Δ F v o n Δ U$ als Arbeit verfügbar gemacht werden, beispielsweise, falls die Reaktion in einem galvanischen Element abläuft!

elektrische Arbeit   $φΔ q$

Isotherme, isobare Reaktion

(beweglicher Kolben)

$\Delta \Lambda =\Delta U-{{T}^{0}}\left( \Delta S \right)+{{p}^{0}}\Delta V=\Delta G$

Maximal verfügbare Arbeit = Abnahme der Gibb´schen freien Energie

Reaktionswärme:

${{Q}_{p}}=-\Delta H=-\left( \Delta U+{{p}^{0}}\left( \Delta V \right) \right)$

(Abnahme der Enthalpie)

geleistete Arbeit gegen den Umgebungsdruck ${{p}^{0}}\left( \Delta V \right)$

(durch Kolbenverschiebung)

Allgemein:

reaktionsaktivität (Affinität) $A=-\Delta \Lambda \ge 0$ mit $A v = - Δ F$ (isochor)

A p = - Δ G

(isobar)

= Maß für die Tendenz der spontanen Reaktion !

Fakten zu ExergieRDF-Feed

Abschnitt	4 +
Fachbegriff	Exergie + und Entropieproduktion +
Index	Exergie + und Entropieproduktion +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	3 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Exergie

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Zusammenhang mit der Entropieproduktion

Statistische Interpretation

isotherme, isochore Reaktion

Isotherme, isobare Reaktion

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Suche

Werkzeuge