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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Formalisierung der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Formalisierung der Quantenmechanik

Formalisierung der Quantenmechanik

Zustandsvektoren im Hilbertraum

$\Psi (\bar{r})$ sei ein Vektor im Hilbertraum als Wellenfunktion.

Dabei wird zunächst noch keine Aussage über stationäre oder zeitabhängige Vektoren gemacht. Noch ist t einfach als Argument unterdrückt. (Zeitlosigkeit)

Fourier- Trafo der Impulsdarstellung liefert $\Psi (\bar{r})$ :

$\Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k}){{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}}$ in Ortsdarstellung

Laßt Euch hier nicht verwirren. Die Verwendung von x und k als kanonisch konjugierte Variablen ist völlig analog zu x- p als Variablen, denn wegen

$\bar{p}=\bar{k}\hbar$

entspricht die Verwendung von $\bar{p}$ als kanonisch konjugierte Variable alleine der Mitnahme des Vorfaktors

$\begin{align} & \frac{1}{{{\hbar }^{\frac{f}{2}}}} \\ & \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\Phi \left( \frac{{\bar{p}}}{\hbar } \right){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\ \end{align}$

Die Umkehrung ist nach dem Fourier- Theorem möglich:

$\begin{align} & \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\Psi (\bar{r}){{e}^{-i\bar{k}\acute{\ }\bar{r}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}} \\ & \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}={{\left( 2\pi \right)}^{3}}\delta (\bar{k}-\bar{k}\acute{\ }) \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{e}^{i\left( \bar{k}-\bar{k}\acute{\ } \right)\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}k\Phi (\bar{k})}{{\left( 2\pi \right)}^{3}}\delta (\bar{k}-\bar{k}\acute{\ })={{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}\Phi (\bar{k}\acute{\ }) \\ & \Rightarrow \Phi (\bar{k})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\Psi (\bar{r}){{e}^{-i\bar{k}\bar{r}}} \\ \end{align}$

Mit Hilfe: $\begin{align} & p=\hbar k \\ & \tilde{\Psi }(\bar{p})={{\hbar }^{-\tfrac{3}{2}}}\Phi (\bar{k}) \\ \end{align}$

Ergibt sich die gängige Darstellung

$\begin{align} & \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\ & \tilde{\Psi }(\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\ \end{align}$

Dies ist die umkehrbare und Eindeutige Darstellung der Wellenfunktion in Orts- und Impulsdarstellung (Eindeutigkeit nach dem Sampling- Theorem).

Da die Natur der Dinge diese Transformation beinhaltet sind keine Informationen unter einem gewissen Produkt aus Ort und Impuls in der Wellenfunktion enthalten. (Sampling- Theorem) Da die Wellenfunktion aber per Definition das System vollständig beschreiben soll, kann in dem System keine Information enthalten sein, die eine größere Genauigkeit als diese der Unschärferelation aufweist.

Also ist die Heisenbergsche Unschärferelation der Ausdruck einer inhärenten Unschärfe, die in der Natur der Dinge liegt, wenn denn der Formalismus der Quantenmechanik und ihre Axiome richtig sind.

Wiederholung

Angesichts eines informationstheoretischen Zugangs zur Quantenmechanik ist dies eine wichtige Aussage:

Wir haben also als Transformationsvorschrift zwischen kanonisch konjugierten Variablen die Fouriertransformation:

$\begin{align} & \Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\ & \tilde{\Psi }(\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}} \\ \end{align}$

Als minimale Einheit der Wirkung (gemäß Hamiltonschem Prinzip) gewinnen wir:

$\Delta x\Delta p=\frac{1}{2}\hbar$ (im eindimensionalen Fall)

also für unser Informationsminimum:

$\Delta x\Delta k=\frac{1}{2}$

Dies folgt unmittelbar aus der Fouriertransformation als Trafo- Vorschrift! (Sampling- Theorem)

Die Wellenfunktion kann unter dieser Quantisierung keine Information beinhalten!

Aber: Die Wellenfunktion beschriebt das System vollständig (Axiom der Quantenmechanik!)

Somit existiert in der Natur keine Information unter

$\Delta x\Delta p<\frac{1}{2}\hbar$

Geometrische Analogie der Transformation zwischen Orts- und Impulsdarstellung:

Sei $V = R n$ ein n- dimensionaler Vektorraum, das heißt, die Metrik sei durch ein euklidisches Skalarprodukt $\left\langle {\bar{a}} | {\bar{b}} \right\rangle =\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{a}_{i}}{{b}_{i}}$ erklärt.

Seien $\left\{ {{{\bar{e}}}_{1}},{{{\bar{e}}}_{2}},...,{{{\bar{e}}}_{n}} \right\}$ , $\left\{ {{{\bar{e}}}_{1}}\acute{\ },{{{\bar{e}}}_{2}}\acute{\ },...,{{{\bar{e}}}_{n}}\acute{\ } \right\}$ und $\left\{ {{{\tilde{\bar{e}}}}_{1}},{{{\tilde{\bar{e}}}}_{2}},...,{{{\tilde{\bar{e}}}}_{n}} \right\}$ drei beliebige Basen des $R n$ .

Ein Vektor kann natürlich bezüglich der einen oder der anderen Basis dargestellt werden:

$\bar{a}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{a}_{j}}{{\bar{e}}_{j}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }{{\bar{e}}_{j}}\acute{\ }=\sum\limits_{j=1}^{n}{{}}{{\tilde{a}}_{j}}{{\tilde{\bar{e}}}_{j}}$

Die Basen sollen die folgenden Eigenschaften haben:

Orthonormalität: $\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{ij}}$

Die Projektion auf die Basisvektoren erfolgt durch die Bildung des Skalarproduktes:

$\begin{align} & \left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}} | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}}{{\delta }_{ij}} \\ & \left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}\acute{\ }=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\langle {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}\acute{\ }}{{\delta }_{ij}} \\ \end{align}$

Natürlich kann jeder Vektor in einer beliebigen Basis formal entwickelt werden. Die Entwicklungskoeffizienten sind die Projektionen auf die jeweiligen Basisvektoren und natürlich von der Wahl der Basis abhängig :

$\begin{align} & \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | {\bar{a}} \right\rangle }\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | {\bar{a}} \right\rangle } \\ & \bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle } \\ \end{align}$

Im Sinne von:

$\left\langle {\bar{b}} | {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{b}_{j}}}{{a}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\left\langle b | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | a \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}\left\langle b | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | a \right\rangle$

Formal gilt damit:

$\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} \right|=}\sum\limits_{j=1}^{n}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right|}$

Dies ist die VOLLSTÄNDIGKEITSRELATION: Die Basis- Vektoren spannen den n- dimensionalen $R n$ auf. Übertragung auf Orts- und Impulsdarstellung quantentheoretischer Zustände: Der Zustandsvektor im Hilbertraum benötigt zur vollständigen Beschreibung einen 2n- dimensionalen Hilbertraum bei n Freiheitsgraden. In Orts- und Impulsdarstellung wird jedoch nur die jeweilige Komponente, ergo die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Ortsanteil oder die Projektion der gesamten Wellenfunktion auf den Impulsanteil dargestellt. Dies ist vergleichbar mit einem System aus orthogonalen Achsen, wobei man die Projektion einer Funktion in diesem Raum auf eine bestimmte Anzahl von Achsen, beispielsweise auf die Anzahl Achsen, die die Bezeichnung $r i$ tragen, betrachtet (Ortsdarstellung). Die Anteile sind jedoch natürlich nicht voneinander unabhängig, sondern sie gehen durch die Fouriertrafo ineinander über! Es macht ebenso Sinn, $\Psi (\bar{r})$ und $\tilde{\Psi }(\bar{p})$ als Projektionen eines abstrakten Zustandsvektors im Hilbertraum H auf die $\bar{r}$ bzw. $\bar{p}$ - Basis = Darstellung zu betrachten:

$\begin{align} & \Psi (\bar{r}):=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ & \Psi (\bar{p}):=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\ \end{align}$ mit $\Psi \in H$ als Zustandsvektor.

Axiome des Hilbertraums H:

H ist ein komplexer Vektorraum:
- Assoziativität: $\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left( \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle \right)=\left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)+\left| {{\Psi }_{3}} \right\rangle$
- Nullelement: $\exists \left| 0 \right\rangle \in H:\left| 0 \right\rangle +\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle +\left| 0 \right\rangle \forall \left| \Psi \right\rangle \in H$
- Inverses: $\forall \left| \Psi \right\rangle \exists \left| -\Psi \right\rangle :\left| \Psi \right\rangle +\left| -\Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle$
- Kommutativität: $\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle$

Dadurch werden die Elemente aus H zu einer kommutativen Gruppe Weiter gilt: Distributivgesetz:

$\alpha \left( \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)=\alpha \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\alpha \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \forall \alpha \in C$

$\left( \alpha +\beta \right)\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle +\beta \left| \Psi \right\rangle$

Das Assoziativgesetz und weitere Rechenregel bei Multiplikation mit 1 und Null aus den komplexen Zahlen:

$\begin{align} & \left( \alpha \right)\left( \beta \left| \Psi \right\rangle \right)=\left( \alpha \beta \right)\left| \Psi \right\rangle \\ & 1\cdot \left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \\ & 0\cdot \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\ \end{align}$

2) H hat ein Skalarprodukt: $\left\langle {} | {} \right\rangle :H\times H\to C$ mit:

$\begin{align} & \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \ge 0:\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =0\to \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\ & \left\langle \Psi | {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle \Psi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +\left\langle \Psi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{1}} | \alpha {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\ \end{align}$

Damit bereits kann gezeigt werden: $\left\langle \alpha {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\alpha *\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle$ Das Skalarprdukt induziert eine Norm: $\left\| {} \right\|:H\to R$

$\begin{align} & \left\| \Psi \right\|\ge 0:\left\| \Psi \right\|=0\to \left| \Psi \right\rangle =\left| 0 \right\rangle \\ & \left\| \alpha \Psi \right\|=\left| \alpha \right|\left\| \Psi \right\| \\ & \left\| {{\Psi }_{1}}+{{\Psi }_{2}} \right\|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|+\left\| {{\Psi }_{2}} \right\| \\ \end{align}$

Dabei ist letzteres, die Dreiecksungleichung, bedingt durch die Definition:

$\left\| \Psi \right\|=\sqrt{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }$

3) $H$ ist vollständig. Das heißt: Jede konvergente Folge ${{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n\in N}}$ konvergiert gegen ein $\left| \Psi \right\rangle \in H$ Also: konvergente Folge von Eigenzuständen: Cauchy- Kriterium: $\begin{matrix} \lim \\ n\to \infty \\ \end{matrix}\left\| {{\Psi }_{n+1}}-{{\Psi }_{n}} \right\|=0$

Bemerkungen

1) Die Norm verallgemeinert den Abstandsbegriff auf abstrakte Räume. Das Skalarprodukt verallgemeinert den Winkelbegriff auf abstrakte Räume:

$\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle ,\left\| {{\Psi }_{1}} \right\|>0\left\| {{\Psi }_{2}} \right\|>0\quad \Rightarrow$ Die beiden Zustände $\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle und\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|$ sind orthogonal.

2) Für $\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ,\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \in H$ gilt: $\left| \left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right|\le \left\| {{\Psi }_{1}} \right\|\cdot \left\| {{\Psi }_{2}} \right\|$ (Schwarzsche Ungleichung) 3) Äquivalent sind $\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle$ und $\left( {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)$ 4) Zu unterscheiden sind:

$\left| \Psi \right\rangle$ = Ket- Vektor (nach Dirac →Dirac- Schreibweise)

$\left\langle \Psi \right|$ =Bra- Vektor

Zusammen (Skalarprodukt): Bra-c-ket

Dabei bilden die $\left\{ \left\langle \Psi \right| \right\}$ den zu $\left\{ \left| \Psi \right\rangle \right\}$ dualen Hilbertraum $H * :$

$\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle$ , $\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C$

impliziert mit beliebigem $\left\langle \Phi \right|$ :

$\begin{align} & \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left\langle \Phi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle *={{\lambda }_{1}}*\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *+{{\lambda }_{2}}*\left\langle \Phi | {{\Psi }_{2}} \right\rangle * \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} | \Phi \right\rangle +{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} | \Phi \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|+{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} \right| \\ \end{align}$

Aber: $H$ ist der zu $H *$ duale Vektorraum, $H *$ ist isomorph zu $H$

5) $H$ heißt separabel, falls er eine überall dichte, abzählbare Teilmenge $D$ besitzt Das heißt: $\forall \left| \Psi \right\rangle \in H\quad \exists {{\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}}_{n}}\subset D$ Dies ist äquivalent dazu, dass ein Hilbertraum H separabel heißt, wenn er eine abzählbare Hilbert- Basis besitzt, es also ein abzählbares, vollständig orthonormiertes System in H gibt. Eine Isometrie $Φ$ zwischen Hilberträumen H und K ist eine stetige, bijektive, lineare Abbildung $\Phi :H\to K$ so dass ${{\left\| \Phi (x) \right\|}_{K}}={{\left\| x \right\|}_{H}}$ für alle $x\in H$ . Anwendung auf die Ortsdarstellung

$\begin{align} & \Psi (\bar{r})=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\tilde{\Psi }(\bar{p}){{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\ & \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi (\bar{r}){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ \end{align}$

ist in der Ortsdarstellung eine Eigenfunktion (Wohlgemerkt, eine Funktion!) zum Impuls, also die Ortsdarstellung des Impulszustandes Impuls- Eigenzustandes). Der Zustand, der den Impuls repräsentiert und durch Anwendung des Impulsoperators den Impuls liefert.

Denn:

$\frac{\hbar }{i}\nabla {{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\bar{p}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}$

In Algebraischer Schreibweise bedeutet dies (inklusive Normierung):

Impulseigenfunktion in Ortsdarstellung

$\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \tilde{\ }{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}$

Ortseigenfunktion in Impulsdarstellung (Diese beiden gehen durch komplexe Konjugation ineinander über!) Damit folgt:

$\begin{align} & \Psi (\bar{r})=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle \\ & \tilde{\Psi }(\bar{p})=\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle *}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ \end{align}$

Da $\bar{r}$ und $\bar{p}$ vollständige Darstellungen sind, folgt:

$\left| \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | \Psi \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle$

analog zur Entwicklung des Vektors $\left| {\bar{a}} \right\rangle \in {{R}^{n}}$ nach Basisvektoren (in seinen Koordinaten, mit seinen Koordinaten als Entwicklungskoeffizienten).

$\bar{a}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}} | {\bar{a}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle }=\sum\limits_{j}{\left| {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle }$

Somit folgt jedoch:

$\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left| {\bar{p}} \right\rangle \left\langle {\bar{p}} \right|}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left| {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right|=1$ als Vollständigkeits- Relation. Nebenbemerkung: Der Hilbertraum der Zustände hat unendliche Dimension.

Als Grenzwert definiert man den Dirac- Vektor, als Grenzwert einer diskreten Basis:

$\begin{align} & \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\ & \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix} \lim \\ \Delta p\to 0 \\ \end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\ \end{align}$

Eigenschaften der Funktionen, die H aufspannen:

Dual:

$\left\langle \Psi \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} \right|=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} \right|$

Man spricht auch vom " Einschieben einer 1!".

$\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p\left\langle \Psi | {\bar{p}} \right\rangle }\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}\tilde{\Psi }(\bar{p})*{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{-\tfrac{3}{2}}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}}=\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle *=\Psi (\bar{r})*$

Skalarprodukt:

$\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {{\Psi }_{1}} | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}(\bar{r})*{{\Psi }_{2}}(\bar{r})=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}p}{{\tilde{\Psi }}_{1}}(\bar{p})*{{\tilde{\Psi }}_{2}}(\bar{p})$

Norm:

$\left\| \Psi \right\|={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle }\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right]}^{\frac{1}{2}}}={{\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}} \right]}^{\frac{1}{2}}}$

Alle Funktionen im Hilbertraum müssen also insbesondere quadratintegrabel sein. Somit folgt:

$H=L{}^\text{2}({{R}^{3}})=\left\{ \Psi :{{R}^{3}}\to C\left| {} \right.\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}<\infty } \right] \right\}$

Nebenbemerkung:

Die Linearität des Vektorraumes garantiert das Superpositionsprinzip für Wellenfunktionen!

Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren

Annahme: Eine physikalische Observable F habe in einem normierten Zustand

$\left| \Psi \right\rangle$

einen scharfen Wert:

$\begin{align} & \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\ & =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( {\hat{F}} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})}-{{\left( \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}\Psi (\bar{r})} \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}} \\ \end{align}$

Für hermitesches F als physikalische Observable mit

$\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *$

Sei

$\hat{F}\left| \Psi \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}=\left\langle \Phi \right|$

So folgt aus

$\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}$ ,

dass

$\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{2}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle }^{2}}={{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Die schwarzsche Ungleichung sagt jedoch :

$\begin{align} & {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}} \\ & {{\left\| \Psi \right\|}^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}{{\left\| \Psi \right\|}^{2}}={{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\ & {{\left| \left\langle \Phi | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}\le \left\langle \Phi | \Phi \right\rangle \\ \end{align}$

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Zustände parallel sind, also folgt:

$\begin{align} & \left| \Phi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \quad \alpha \in C \\ & \Leftrightarrow \hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left| \Psi \right\rangle \\ \end{align}$

Das heißt, für den normierten Zustand $\left| \Psi \right\rangle$ folgt alleine aus der Schwarzschen Ungleichung, dass $\left| \Psi \right\rangle$ Eigenzustand zu $\hat{F}$ ist. Theorem 1: Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell Beweis:

$\begin{align} & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\alpha \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =\alpha =\left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle *=\alpha * \\ & \Rightarrow \alpha \in R \\ \end{align}$

Vergleiche Energie- Eigenwert Eigenwerte hermitescher Operatoren können DISKRET oder KONTINUIERLICH sein! Theorem 2: Eigenzustände hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal: Beweis:

$\begin{align} & \hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ & \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} \right| \\ \end{align}$ $\begin{align} & \left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{1}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle *={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{1}} | {{\Psi }_{2}} \right\rangle \quad falls\ \hat{F}={{{\hat{F}}}^{+}},{{F}_{2}}={{F}_{2}}* \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle ={{F}_{2}}\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ & \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle -\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left( {{F}_{2}}-{{F}_{1}} \right)\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle \\ \end{align}$

Da die Eigenwerte nach Voraussetzung verschieden sein sollen, gilt für die zugehörigen Eigenzustände:

$\left\langle {{\Psi }_{2}} | {{\Psi }_{1}} \right\rangle =0$

Wegen der Normierung gilt:

$\left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{nm}}$

Kontinuierlicher Fall:

$\begin{align} & \left\langle F | F\acute{\ } \right\rangle =\delta (F-F\acute{\ }) \\ & \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\ \end{align}$

Die Zustände sind im kontinuierlichen Fall nicht normierbar, also nicht Element des Hilbertraumes. Sind aber als Limes einer diskreten Basis aufzufassen:

$\begin{align} & \left| {\bar{p}} \right\rangle \notin H \\ & \left| {\bar{p}} \right\rangle :=\begin{matrix} \lim \\ \Delta p\to 0 \\ \end{matrix}\left| \bar{p},\Delta \bar{p} \right\rangle \\ \end{align}$ (vergleiche Fick, S. 114)

→ sogenannte Dirac- Zustände! Entartung (Unter Entartung versteht man, dass zum selben Eigenwert verschiedene Eigenzustände existieren) Dadurch können beispielsweise verschiedene Elektronen den gleichen Energiewert annehmen oder verschiedene Teilchen mit der exakt identisch gleichen Energie auftreten!

$\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle$ n=0,1,2,3,...

α = 1,2,3,.., = α n

, der sogenannte Entartungsindex. Man spricht von

α n

- facher Entartung

Aus $\hat{F}\left| n,\alpha \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n,\alpha \right\rangle$ folgt bereits: $\left( {{F}_{n}}-{{F}_{m}} \right)\left\langle m,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle =0\Rightarrow \left\langle m,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}$ Somit also müssen nur die HAUPTQUANTENZAHLEN, wie man sagt, der Zustände gleich sein. Möglich wäre $\left\langle n,\alpha | n,\alpha \acute{\ } \right\rangle \ne 0$ für $\alpha \ne \alpha \acute{\ }$ . Also müssen miteinander entartete Zustände eines bestimmten Hauptniveaus nicht orthogonal sein. Jedoch kann man im Unterraum der Entarteten Zustände Transformationen durchführen. Dies ist der Eigenraum zum Eigenwert Fn. In diesem Eigenraum kann man die entarteten Zustände durch eine lineare Transformation in orthonormierte Eigenzustände $\left| n,\beta \right\rangle$ überführen:

$\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\alpha =1}^{{{\alpha }_{n}}}{\left| n,\alpha \right\rangle }{{c}_{\alpha \beta }}$

Eine geeignete Trafo wäre beispielsweise das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren: Also gilt dann:

$\left\langle n,\beta | m,\beta \acute{\ } \right\rangle ={{\delta }_{mn}}{{\delta }_{\beta \beta \acute{\ }}}$

Theorem 3: Zwei hermitesche Operatoren $\hat{F}$ und $\hat{G}$ kommutieren genau dann, wenn sie ein gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen: Beweis:

Sei $\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0$ und $\hat{F}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\left| n \right\rangle$ $\Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle =\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle -{{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle =0$ $\Rightarrow \hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}\hat{G}\left| n \right\rangle$ Also ist $\hat{G}\left| n \right\rangle$ Eigenzustand zum Operator $\hat{F}$ mit Eigenwert $F n$ Ist $F n$ nicht entartet, so folgt $\hat{G}\left| n \right\rangle \tilde{\ }\left| n \right\rangle$ , also ist $\left| n \right\rangle$ auch Eigenzustand zu $\hat{G}$ Ist $F n$ entartet, so kann, explizit berechenbar durch Schmidtsche Orthogonalisierung, der Eigenraum E von $\hat{F}$ zum Eigenwert $F n$ durch orthonormierte $\left| n,\beta \right\rangle \quad \beta =1,...,s$ aufgespannt werden. Dann kann der Eigenvektor $\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle$ entwickelt werden, gemäß $\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}^{{}}{\left| n,\beta \right\rangle {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}}$ Die Matrix ${{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}:=\left\langle n\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =c{{*}_{\beta \beta \acute{\ }}}$ ist hermitesch, kann also durch eine unitäre Transformation U diagonalisiert werden:

$\left| n,\gamma \right\rangle =\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}}\left| n,\beta \right\rangle$

Mit $\sum\limits_{\beta }{{{U}_{\gamma \beta }}{{U}_{\beta \gamma \acute{\ }}}}={{\delta }_{\gamma \gamma \acute{\ }}}$ (" Drehung der Basis") Somit

$\begin{align} & {{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}=\left\langle n,\beta \acute{\ } \right|\hat{G}\left| n,\beta \right\rangle ={{G}_{n\beta }}{{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ & \hat{G}\left| n,\beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta \acute{\ }}{\left| n,\beta \acute{\ } \right\rangle }{{c}_{\beta \acute{\ }\beta }}={{G}_{n\beta }}\left| n,\beta \right\rangle \\ \end{align}$

Also ist $\left| n,\beta \right\rangle$ auch Eigenvektor zu $\hat{G}$ Nebenbemerkung: Im Allgemeinen wird dadurch die Entartung aufgehoben! Leicht: Umkehrung: Sei $\left\{ \left| n \right\rangle \right\}$ ein vollständiges System von Eigenvektoren zu $\hat{F},\hat{G}$ $\hat{F}\hat{G}\left| n \right\rangle ={{F}_{n}}{{G}_{n}}\left| n \right\rangle ={{G}_{n}}{{F}_{n}}\left| n \right\rangle =\hat{G}\hat{F}\left| n \right\rangle \Rightarrow \left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0$ Definition Ein Operator $U:H\to H$ heißt UNITÄR, falls $U + U = U U + = 1$ Daraus folgt: $U + = U - 1$ Mit $\begin{align} & \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|:=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}} \\ \end{align}$ folgt für beliebige $Ψ,Φ$ $\left\langle \Phi \acute{\ } | \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}U\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle$ Das heißt, das Skalarprodukt ist bei unitären Transformationen invariant. Umgekehrt: Will man nur Trafos zulassen, für die das Skalarprodukt invariant bleibt (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit), so sind dies die unitären! Unitäre Operatoren transformieren das quantenmechanische System ganz grundsätzlich von einer Basis in eine andere. dabei dürfen sich natürlich Aufenthalts- und Übergangswahrscheinlichkeiten (die Skalarprodukte) nicht ändern Nur unitäre Transformationen sind erlaubt! Insbesondere: Transformationen in die Eigenbasis eines OperatorsParser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} = Diagonalisierung vonParser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \begin{align} & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle :=\left\langle \Phi \right|{{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U\left| \Psi \right\rangle \\ & \left| \Psi \right\rangle ={{U}^{+}}\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle \\ & {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} \\ & \left\langle \Phi \acute{\ } \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }\left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =\left\langle \Phi \right|\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\left| \Psi \right\rangle ={{F}_{\Psi }}{{\delta }_{\Psi \Phi }} \\ \end{align}

Wobei letzte Relation natürlich nur gilt, falls $\left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \in Eigenbasis$ mit $F Ψ$ als Eigenwert

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): {{U}^{+}}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}\acute{\ }U=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F}

diagonal!

Operatoren im Hilbertraum

Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung

In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls (klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable:

$\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla$

Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet:

$\frac{\hbar }{i}\nabla \left( \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\bar{p}\bar{r}}} \right)=\frac{\hbar }{i}\nabla \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle$

Multiplikation mit $\left| {\bar{r}} \right\rangle$ und Aufintegration liefert:

$\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} | {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle$

Also:

$\hat{\bar{p}}\left| {\bar{p}} \right\rangle =\bar{p}\left| {\bar{p}} \right\rangle$ mit dem ABSTRAKTEN (Darstellungsfreien) Impulsoperator: $\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|$

Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt (einen vollständigen Projektor!)

→ Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator $\hat{\bar{p}}:=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)\left\langle {\bar{r}} \right|$ ist in dieser Weise darstellungsfrei!

Verallgemeinerung

Sei $F(\bar{r},\bar{p})$ eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls,...),

so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:

$F(\bar{r},\bar{p})\to \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )$

Der abstrakte (darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen (Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):

$\hat{F}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\hat{\bar{r}},\tfrac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} \right|$

Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist:

$\left| \Phi \right\rangle :=\hat{F}\left| \Psi \right\rangle$

So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes

$\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|=}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } | \Psi \right\rangle }$

Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.

Somit aber:

$\Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\Psi (\bar{r}\acute{\ })$

Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN (nichtlokal!)

Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell

$\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{F}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )$ (lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)

Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.

Ortsoperator:

$\begin{align} & \hat{\bar{r}}\Psi (\bar{r})=\bar{r}\Psi (\bar{r}) \\ & \hat{\bar{r}}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ \end{align}$

Dabei ist $\hat{\bar{r}}$ der Operator, $\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle$ die Eigenfunktion und $\bar{r}$ der Eigenwert.

$\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } | \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\bar{r}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\ \end{align}$

In der Impulsdarstellung:

$\begin{align} & \Phi :=\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\ & \Phi (\bar{p})\equiv \left\langle {\bar{p}} | \Phi \right\rangle =\left\langle {\bar{p}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\ & \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle \\ & \left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \\ & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\bar{r}\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \\ & \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{r}}\left| \Psi \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\bar{r}\Psi (\bar{r})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \\ & \bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left( {{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}} \right) \\ & {{\nabla }_{p}}:=\left( \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial {{p}_{x}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{y}}}, & \frac{\partial }{\partial {{p}_{z}}} \\ \end{matrix} \right) \\ & \Rightarrow \Phi (\bar{p})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\bar{r}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}\Psi (\bar{r}) \right] \\ & \frac{1}{{{\left( 2\pi \hbar \right)}^{\tfrac{3}{2}}}}{{e}^{-i\frac{\bar{p}\bar{r}}{\hbar }}}=\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \Phi (\bar{p})=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\left[ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle {\bar{p}} | {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle } \right]=-\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}\tilde{\Psi }(\bar{p}) \\ \end{align}$

Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt:

$\hat{\bar{r}}\to -\frac{\hbar }{i}{{\nabla }_{p}}$

Energiedarstellung

Sei in der Ortsdarstellung

$\hat{H}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}}{d{{x}^{2}}}+V(x)$ der eindimensionale Hamiltonoperator

Dazu die Eigenfunktionen:

$\hat{H}{{\phi }_{n}}(x)={{E}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)$ , n=0,1,2,...

Mit ${{\phi }_{n}}(x):=\left\langle x | n \right\rangle$

$\hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left\langle x | n \right\rangle$

Ergibt sich:

$\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x | n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle$

Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator $\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left| x \right\rangle \hat{H}\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right)\left\langle x \right|$

Die Orthonormierung verlangt:

$\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\phi {{*}_{m}}(x){{\phi }_{n}}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }{dx}\left\langle m | x \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle =\left\langle m | n \right\rangle ={{\delta }_{mn}}$

Bei diskreten Eigenfunktionen.

Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung:

$\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\delta (\bar{r}\acute{\ }-\bar{r}) \\ & \left\langle \bar{p}\acute{\ } | {\bar{p}} \right\rangle =\delta (\bar{p}-\bar{p}\acute{\ }) \\ \end{align}$

Häufig (aber nicht immer!!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG (sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):

$\begin{align} & \left\langle x | \Psi \right\rangle =\Psi (x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left\langle n | \Psi \right\rangle \left\langle x | n \right\rangle \\ & \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=1\ \\ \end{align}$

Vollständigkeitsrelation!

Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:

$\hat{H}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{\hat{H}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{E}_{n}}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|$

Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

$\left| n \right\rangle \left\langle n \right|$ ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.

Allgemein gilt:

Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: $\hat{F}:H\to H$ .

Bei reellen Observablen, besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein

$\begin{align} & \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\psi }_{2}} \right\rangle \\ & {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}\in C \\ \end{align}$

Definition:

Der zu $\hat{F}:H\to H$ adjungierte Operator ${{\hat{F}}^{+}}$ ist definiert durch:

$\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{\hat{F}}^{+}}=\left\langle \Phi \right|$

Adjungierte Operatoren wirken also nach links

In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus:

$\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H$

Integraldarstellung in Ortsdarstellung:

$\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( {{{\hat{F}}}^{+}}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r}) \right)\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)$

Def.: ein linearer Operator $\hat{F}$ heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: $\hat{F}={{\hat{F}}^{+}}$

$\left( {{\Psi }_{1}},\hat{F}{{\Psi }_{2}} \right)=\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}} \right)\quad \forall {{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}\in H$

$\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\Psi }_{1}}*(\bar{r})\left( \hat{F}{{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \hat{F}{{\Psi }_{1}}(\bar{r}) \right)*\left( {{\Psi }_{2}}(\bar{r}) \right)$

Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch:

$\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)\left| \Psi \right\rangle =\hat{F}\cdot \left( \hat{G}\left| \Psi \right\rangle \right)$

Mit dem Einheitsoperator 1:

$1\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 1=\hat{F}$

Nulloperator 0:

$0\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 0=0$

und dem Kommutator:

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]:=\hat{F}\cdot \hat{G}-\hat{G}\cdot \hat{F}$

Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann:

${{\left( \hat{F}\cdot \hat{G} \right)}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}$

${{\hat{F}}^{++}}=\hat{F}$

Für zusammengesetzte Zustände:

$\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \hat{F}\left( {{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \right)={{\lambda }_{1}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ \end{align}$ Linearität

und

$\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{1}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle +{{\lambda }_{2}}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|{{{\hat{F}}}^{+}}={{\lambda }_{1}}*\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}+{{\lambda }_{2}}*\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}} \\ \end{align}$ Antilinearität

Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor!

Weitere Relationen:

${{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}^{+}}={{\hat{G}}^{+}}\cdot {{\hat{F}}^{+}}-{{\hat{F}}^{+}}\cdot {{\hat{G}}^{+}}=\left[ {{{\hat{G}}}^{+}},{{{\hat{F}}}^{+}} \right]$

Falls $\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{F} \right]=\left[ \left[ \hat{F},\hat{G} \right],\hat{G} \right]=0$ gilt, so folgt:

$\begin{align} & {{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{{\hat{G}}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{\left[ \hat{F},\hat{G} \right]}} \\ & {{e}^{\hat{G}+\hat{F}}}={{e}^{{\hat{G}}}}{{e}^{{\hat{F}}}}{{e}^{-\tfrac{1}{2}\left[ \hat{G},\hat{F} \right]}} \\ \end{align}$

Außerdem:

$\left[ \hat{F}\hat{G},\hat{H} \right]=\hat{F}\left[ \hat{G},\hat{H} \right]+\left[ \hat{F},\hat{H} \right]\hat{G}$

Sowie die Baker- Hausdorff- Identität:

${{e}^{{\hat{F}}}}\hat{G}{{e}^{-\hat{F}}}=\hat{G}+\left[ \hat{F},\hat{G} \right]+\frac{1}{2!}\left[ \hat{F},\left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right]+....$ Mit ${{e}^{{\hat{F}}}}\equiv \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( {\hat{F}} \right)}^{n}}}{n!}}$

Matrixelemente

$\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle$ heißt Matrixelement von $\hat{F}$ mit dem Bra $\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|$ und dem Ket $\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle$

Mit

$\begin{align} & \hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle :=\left| \Phi \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}=\left\langle \Phi \right| \\ & \Rightarrow \left\langle {{\Psi }_{1}} | \Phi \right\rangle =\left\langle \Phi | {{\Psi }_{1}} \right\rangle *=\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{{\hat{F}}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle * \\ \end{align}$

Also:

$\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|{{\hat{F}}^{+}}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *$

Für hermitesche Operatoren gilt:

$\left\langle {{\Psi }_{1}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{2}} \right|\hat{F}\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle *$

Erwartungswerte

$\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\Psi (\bar{r})}$ in Ortsdartellung

$\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle \Psi | {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle }=\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle$

Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell:

$\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi \right\rangle *$

Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch! (im Allgemeinen).

Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen

Die Quantisierung

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x\to \hat{x}$

Geschwindigkeit: $\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: $\hat{P}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch $\begin{align} & \hat{P}\Psi (\bar{r})=\Psi (-\bar{r}) \\ & \hat{P}\left| {\bar{r}} \right\rangle =\left| -\bar{r} \right\rangle \\ \end{align}$

Dies kann jedoch bedeuten: $\hat{P}\left| \Psi \right\rangle =\pm \left| \Psi \right\rangle$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt:

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$

?

Der Projektionsoperator lautet:

${{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|$

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}$

Die Wirkung:

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle 1=\left| \Psi \right\rangle$

Eigenwert +1

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =0$

Eigenwert 0, falls $\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle$

Befindet sich ein Zustand $\left| \Phi \right\rangle$

teilweise im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$ ,

so gilt:

${{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =c\left| \Psi \right\rangle$

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $\left| \Psi \right\rangle$

in $\left| \Phi \right\rangle$ ,

also die Wurzel des Anteils von

in $\left| \Psi \right\rangle$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow$

$\hat{F}$

und $\hat{G}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

$\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow$

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\ & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{x}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=0 \\ \end{align}$

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

$\begin{align} & \left[ \hat{p},T \right]=? \\ & \left[ F,{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{p}_{k}}} \\ & \left[ F,{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{x}_{k}}} \\ \end{align}$

Berechnung in der Ortsdarstellung:

$\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi$

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

$\left| \Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle$

und F´´in $\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$ .

Forderung: F´ = F ´´

→ $F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}$

(Eigenwert)

$\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle$

= $\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle$

= $\left| n \right\rangle$

Eigenzustand zu $\hat{F}$

Also: $\left| \Phi \right\rangle \to \left| n \right\rangle$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $\left| -1 \right\rangle$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $\left| \Psi \right\rangle$

$\begin{align} & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } | \Psi \right\rangle } \\ & \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}} \\ \end{align}$

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $\left| \Psi \right\rangle$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

$p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

$p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}$

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

${{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle$

Wow! Great thinknig! JK

Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Betrachte die zeitabhängigen Zustände ${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

$U(t,0)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t \right)}^{n}}$

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

Klar: $\begin{align} & {{H}^{+}}=H \\ & \Rightarrow {{U}^{+}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{{\hat{H}}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1 \\ \end{align}$

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}$

Mit der formalen Lösung:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)$

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über $\bar{A}(t)$ ergibt sich für

$\hat{F}=\hat{F}\left( \hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}},t \right)$

$\left\langle {\hat{F}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)\frac{d}{dt}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right) \\ & \left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)=-\frac{1}{i\hbar }{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}$

Also:

$\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:

$\left[ \hat{H},\hat{F} \right]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =0$

Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei $F(\bar{q},\bar{p},t)$ eine klassische Observable und $H(\bar{q},\bar{p})$ die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)} \\ & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\left\{ H,F \right\} \\ \end{align}$

Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:

$\left\{ H,F \right\}\to \frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]$

Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von $F(\bar{q},\bar{p},t)$ " als Operator:

$\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]$

Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für $\hat{F}$ ,

da im Allgemeinen:

$\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}$

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:

$\left\langle \hat{F}{}^\circ \right\rangle =\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle$

Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{r}} \right] \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{p}} \right] \\ \end{align}$

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):

$\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}$

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich

$\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})$

folgt:

$\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}} \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m} \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =-\nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \\ \end{align}$

Denn:

$\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{x}}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{{\hat{x}}}^{\circ }}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{{\hat{p}}}{m} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}}\Rightarrow {{{\hat{p}}}^{\circ }}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\nabla V\left( {\hat{x}} \right) \\ \end{align}$

Merke:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{r}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{p}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ \end{align}$

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\frac{1}{m}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =-\left\langle \nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \right\rangle \\ \end{align}$

da ja: $\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}$

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen

Bilder

Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:

$\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi \right\rangle \\ & \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\ \end{align}$

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte $\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0$ ,

also keine explizite Zeitabhängigkeit!

Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!

Schrödingerbild:

Operatoren ${{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})$ zeitunabhängig Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left| \Psi \right\rangle$ zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

Veranschaulichung im $R 2$

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im $R 2$ entspricht ${{\hat{F}}_{S}}$ einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$

Das Heisenbergbild

$\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\ & {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\ \end{align}$

In diesem Bild sind die Operatoren ${{\hat{F}}_{H}}(t)$ zeitabhängig und damit Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}$ zeitunabhängig: Veranschaulichung im $R 2$

Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus

${{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}$

folgt:

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}$

Also:

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]$

(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild:

$\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]$

Insbesondere gilt:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0$

also die bildunabhängige Darstellung

${{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}$

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.

Wechselwirkungsbild

Sei $\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}$

mit dem ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat{H}}^{0}}$ und der Störung ${{\hat{H}}^{1}}$ .

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:

${{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}$

Somit gilt wieder die Relation

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]$

Also:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0$

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian ${{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}$ bildunabhängig. Aber:

$\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0$

im Allgemeinen

$\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\ & wegen \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

Aber:

${{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}$

$\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}$

$\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]$

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)$

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren ${{\hat{F}}_{W}}(t)$ zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat{H}}^{0}}$

und damit Eigenvektoren $\left| n \right\rangle$ zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: ${{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}$

zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator ${{\hat{H}}_{W}}^{1}$ .

Der harmonische Oszillator

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

$\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}$

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

$\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}$

Besser:

$\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}$

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}

Ebenso:

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}

Somit:

$\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)$

Merke dazu:

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]

Somit:

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

${{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega$

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

$\begin{align} & \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\ & =a\left( {{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{\hbar \omega }a\hat{H}-\frac{1}{2}a \\ & \Rightarrow \left[ a,\hat{H} \right]=a\hat{H}-\hat{H}a=\hbar \omega a \\ \end{align}$

Ebenso die adjungierteVersion:

$-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}$

Verallgemeinerung

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 $\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{1}} \right]=1$

Sei $\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}$

für $n\ge 1$

$\begin{align} & \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\ & \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left[ a,{{a}^{+}} \right] \\ & \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}} \\ & \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}=\left( n+1 \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \\ \end{align}$

Adjungierte Version:

$\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}$

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

$\begin{align} & \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\ & \left[ {{a}^{+}},f\left( a \right) \right]=-\frac{\partial }{\partial a}f\left( a \right) \\ \end{align}$

Eigenwerte von H

Sei $\left| E \right\rangle$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H}\left| E \right\rangle =E\left| E \right\rangle$

So gilt:

$\begin{align} & \hbar \omega \left\langle E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\ & \left\langle E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle \ge 0 \\ \end{align}$

Das bedeutet:

$\begin{align} & E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\ & E\ge \frac{\hbar \omega }{2}\Leftrightarrow a\left| E \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

$a\left| E \right\rangle$

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E-\hbar \omega$

Also: $\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle$

Beweis:

$\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle$

Dabei gilt

$\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega \right)a\left| E \right\rangle$

wegen

$\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a$

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $\left| E \right\rangle \ne 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E\ge \frac{\hbar \omega }{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m\in N$

so dass ${{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0$

aber ${{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle \ne 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

$\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle$

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

$\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle$

wegen

$a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0$

Also:

$\begin{align} & {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\ & a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Weiter:

$\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle$

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

$\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}$

Das heißt nun aber, dass ${{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3\hbar \omega }{2}$

ist.

Vollständige Induktion

$\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle$

Dann:

$\begin{align} & \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\ & \left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\ & \Rightarrow \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+1+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle \\ \end{align}$

Normierung der Eigenzustände

${{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle$

Der Grundzustand sei normiert:

$\left\langle 0 | 0 \right\rangle =1$

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

$\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle$

mit Normierungsfaktor $α n$

$\begin{align} & 1=!=\left\langle n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle \\ & \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle \\ \end{align}$

wegen

$\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}$

Somit:

$\begin{align} & \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle \\ & \left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\ & \Rightarrow n\left\langle 0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}a\left| 0 \right\rangle =n\left( n-1 \right)\left\langle 0 \right|{{a}^{n-2}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-2}}a\left| 0 \right\rangle \Rightarrow ...\Rightarrow \\ \end{align}$

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

$\Rightarrow \left\langle 0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle 0 | 0 \right\rangle =n!$

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

$\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle$

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

$\begin{align} & {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\ & \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle \\ \end{align}$

Quantensprechweise:

${{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega$

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!

$\left| n \right\rangle$

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz $ω$

a

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

a +

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

$\begin{align} & a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle \\ & {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle \\ \end{align}$

Teilchenzahloperator

$\begin{align} & N:={{a}^{+}}a \\ & N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle \\ \end{align}$

In Übereinstimmung mit

$\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle$

Veranschaulichung

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände ${{\left| \phi (x) \right|}^{2}}$ dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für $\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}$ ,

also mit einem ,
wobei

das $σ$ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das $\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}$ für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit ${{\phi }_{n}}(x)=\left\langle x | n \right\rangle$ und Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}

gilt:

Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \lower): a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)

$\begin{align} & \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\ \end{align}$

$\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )$

Dabei gilt: $\begin{align} & \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\ \end{align}$ sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In $\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )$ wird über $\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)$ der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz $a\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0$ mit $\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left| 0 \right\rangle$

Wegen $a\left| 0 \right\rangle =0$ folgt für n=0:

$\begin{align} & 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\ & \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi \\ \end{align}$

Somit ergibt sich:

$\begin{align} & {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\ & {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ \end{align}$

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in $ξ$ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

$\begin{align} & {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\ & \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\ & {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ \end{align}$

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:

$\begin{align} & {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\ & \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\ & {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\ & {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\ \end{align}$

Dabei kann $\frac{1}{{{i}^{n}}}$ als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und $H n$ bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

$\begin{align} & {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\ & \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\ \end{align}$

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

$\begin{align} & {{H}_{0}}(\xi )=1 \\ & {{H}_{1}}(\xi )=2\xi \\ & {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\ & {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi \\ \end{align}$

Letztendlich bezeichnet

${{\left( -1 \right)}^{n}}$

die Parität von $φ n$

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:

Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen ${{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )$ .

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet $r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}$ das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

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Formalisierung der Quantenmechanik

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Inhaltsverzeichnis

Zustandsvektoren im Hilbertraum

Axiome des Hilbertraums H:

Dual:

Skalarprodukt:

Norm:

Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren

Operatoren im Hilbertraum

Verallgemeinerung

Energiedarstellung

Erwartungswerte

Die Quantisierung

Vertauschungsrelationen

Der Meßprozeß:

Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Bilder

Schrödingerbild:

Das Heisenbergbild

Wechselwirkungsbild

Der harmonische Oszillator

Verallgemeinerung

Eigenwerte von H

Normierung der Eigenzustände

Teilchenzahloperator

Veranschaulichung

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung

Ansichten

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