Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

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Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann
Kein GFDL Der Artikel Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 5.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.
Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

Inhaltsverzeichnis
  1. Kernphysik Einleitung
  2. Kernradien
  3. Bindungsenergien
  4. Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
  5. Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
  6. Messung von Kernmomenten
  7. Das Schalenmodell des Kerns
  8. Kernkräfte
  9. Kernzerfälle, Strahlenschutz
  10. Abschirmung radioaktiver Strahlung
  11. Alpha-Zerfall
  12. Beta-Zerfall
  13. Gamma-Zerfall
  14. Neutrinoexperimente
  15. Paritätsverletzung beim beta-Zerfall
  16. Schwache Zerfälle von Pionen und Myonen
  17. Synchrotron- und Laserstrahlung



Der Kerndrehimpuls I setzt sich aus den Bahndrehimpulsen li und Spins si der elnzelnen Nukleonen zusammen.

\vec I = \sum \vec l_i + \vec s_i.

Bahndrehimpulse li als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential V = V(r) voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin, daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße" gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.


Bahndrehimpuls l = r \times p

'Vektor'-Modell

Operatorenzuordnung p \to \frac{\hbar}{i} \nabla, Separation der Wellenfunktionen ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ,φ) in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen Ylm(θ,φ) sind die Eigenfunktionen von l2 und lz mit den Eigenwerten l(l+1)\hbar^2 und m\hbar. 

l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
    s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung

l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = (l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\phi) 

m = -l, ... 0, ... +l
\to 2l+1 Einstellmöglichkeiten


l_z Y_{lm}(\theta,\phi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\phi)

Spin

Spin-Darstellung

Spin \vec s ,s =\dfrac{1}{2}

Ergebnis der relat. Quantenmechanik (Diractheorie). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten (Pauli-Prinzip). Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen, (z.B. d, α, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.

Gesamtdrehimpuls

Gesamtdrehimpuls j = l \pm \dfrac{1}{2} "parallel" oder"antiparallel"

Gesamtdrehimpuls \vec j = \vec l + \vec s eines einzelnen Nukleons j = l \pm \dfrac{1}{2} ~ "parallel" oder"antiparallel"


Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten, wie beispielsweise in der Atomphysik die

LS-Kopplung mit \vec L = \sum \vec l_i, \quad \vec S= \sum \vec s_i, \quad \vec L+ \vec S= \vec I oder die
jj-Kopplung mit \vec l_i+ \vec s_i= \vec j_i, \quad \sum \vec j = \vec I.


Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I: 

         (g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
         (u, u)   = 0, 1, 2, 3, ...


Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit \vec j_{p_i}+ \vec j_{p_k} = 0 bzw. \vec j_{n_i}+ \vec j_{n_k} = 0 zu kompensieren.

Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne \vec I(u, g) = \vec I(g,g-\textrm{Rumpf}) + \vec j_P \to \vec I(u, g) = \vec j_p

d. h. I(u, g) = Einzeldrehimpuls \vec j_p des letzten ungepaarten Protons Entsprechend 1(g,u) = jn Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten Neutrons.

Magnetisches Kerndipolmoment µI

Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.

Bahn

magnetisches Dipolmoment

magn. Dipolmoment = c − 1 Strome Fläche

\mu_l=\frac{e\hbar}{2mc}\vec l=\frac{1}{c}\frac{e v}{2 \pi r} \pi r^2 mit \hbar l = mrv
Bohrsches Magneton
m = m0 Elektron \frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0,927\times 10^{-23} J/T
Kernmagneton
m = mp Proton \frac{e\hbar}{2m_p c} = \mu_K = 0,505\times10^{-26} J/T

Spin

Für s = \tfrac{1}{2}-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag

\mu_s=\frac{e\hbar}{2 m c} s , s=\dfrac{1}{2} Falsch!

Experimentell gilt allgemein

\mu_s=g \frac{e\hbar}{2 m c} s g-Faktor

Dabei ist für das Elektron g = − 2 nach der Diractheorie bis auf kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton und Neutron erwartet man deshalb gp = 2 und gn = 0 (wegen fehlender Ladung). Die gemessenen Werte

gp = 5,586 und
gn = − 3,826 zeigen jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" sind.

Die magnetischen Kerndipolmomente μI für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).

ANMERKUNG Schubotz: g-Faktor auch Lande Faktor gibt theoretisch für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls

Elektrisches Kernquadrupolmoment Q

Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder

Potential φ für p im Außenraum Δφ = 0

\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)

Legendre Polynome P0 = 1

P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta
Kugelgestalt des Kerns

Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten an erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für e = 0 und Koeffizientenvergleich:

\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1

oder direkt berechnet

\phi(r,\theta=0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')d\tau}{|r-r'|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')r'^{n}}{r^{n+1}}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)d\tau mit \frac{1}{|r-r'|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}a_{n}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha).
a_n=\int {\rho(r')r'^{n}}P_{n}\cos(\alpha) d \tau
n=0
a_0=\int \rho(r') d \tau= Z e Punktladung
n=1
a_1=\int \rho(r')r'\cos(\alpha) d \tau =0 elektrisches Dipolmoment in z = r'cos(α)-Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
n=2
a_{2}=\int\rho(r')r'^{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos^{2}\alpha\right)=\frac{1}{2}\int\rho(r')(3z^{2}-r'^{2})d\tau\equiv\frac{1}{2}eQ


Bei konstanter Ladungsverteilung \rho = \frac{Ze}{V} ist deshalb Q=\frac{Z}{V}\int(3z^2-r'^{2})d \tau. Größenordnung: Q \approx \pi R^2 \approx 10^{-28} m^2 (lb) Vorzeichen:

Formen des Kernquadupolmoments

Ergänzende Infromationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

  • Äußere Eigenschaften eines Kerns
    • magnetische Momente (phänomenolog.), cl. Ladung und Multipolmomente -> empirische Befunde -> Modell inkopressibler Kernmaterie
  • Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
    • Drehimpulse + magnet. Momente von Kernen; was ist das + wie misst man das Modellvorstellung gg ,gu/ug, uu Experiment: Rabi Anwendung -> MRT
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FachbegriffKerndrehimpuls  +, Bahndrehimpuls  +, Spin  +, Fermionen im Grundzustand  +, Pauli-Prinzip  +, Diractheorie  +, Gesamtdrehimpuls  +, LS-Kopplung  +, Jj-Kopplung  +, G-Faktor  + und Legendre Polynome  +
IndexKerndrehimpuls  +, Bahndrehimpuls  +, Spin  +, Fermionen im Grundzustand  +, Pauli-Prinzip  +, Diractheorie  +, Gesamtdrehimpuls  +, LS-Kopplung  +, Jj-Kopplung  +, G-Faktor  + und Legendre Polynome  +
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