Klein Gordon und Relativität

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

Relativistische Quantenmechanik

Inhaltsverzeichnis

1 Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)
2 Lösungen der Klein Gordon Gleichung
3 Literatur

Einstein (SRT):

gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

Datei:Koordinatensysteme.svg

Geschwindigkeit v parallel zu x

Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left| r \right|=ct$ zurück.

${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad$

(in S)

(1.9)

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $\left( {\underline{r}}',{t}' \right)$ in S‘, für die gilt

${{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad$

(in S‘)

(1.10)

Die Transformation der Koordinaten^[1] erfolgt nach der Lorentz-Transformation

$\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)$

(1.11)

mit

$\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}$

Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)

$\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix} 1 & \beta \\ \beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

$\begin{align} & \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix} {{x}'} & c{t}' \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & {{x}'} \\ & c{t}' \\ \end{align} \right)={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix} x & ct \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right) \\ & ={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix} x & ct \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1-{{\beta }^{2}} & 0 \\ 0 & -1+{{\beta }^{2}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{align} & x \\ & ct \\ \end{align} \right)=\underline{{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}} \end{align}$

Unter Lorentz-Transformation bleibt $r 2 - c 2 t 2$ invariant.
Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges $\underline{r}$ .
Insbesondere bleiben die Lichtabstände $r 2 - c 2 t 2 = 0$ invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Wellengleichung für skalares klassisches Feld $\varphi \left( \underline{x},t \right)$

in S: $\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0$ in S': $\quad \quad \underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0$

(1.13)

mit ${{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $\square$ in ${\square }'$ übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

$\begin{align} & {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\ & \partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\}\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\} \\ & \partial _{t}^{2}\,\text{analog} \\ \end{align}$

AUFGABE

d’Alembert-Operator $\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ ist invariant unter LT
Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellen (und deren Überlagerungen):

$\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}$

(1.14)

mit

$\begin{align} & -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\ & +:\,\text{ postivive Energie -}\sqrt{{}} \\ \end{align}$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

↑ Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z

Fakten zu Klein Gordon und RelativitätRDF-Feed

Abschnitt	2 +
Fachbegriff	Lorentz-Transformation +, Lichtabstände +, Wellengleichung + und Ebene Wellen +
Index	Lorentz-Transformation +, Lichtabstände +, Wellengleichung + und Ebene Wellen +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. T. Brandes +

[0] Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z

[1]

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