Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)	Schrödingsche Wellenmechanik
	Historischer Abriß Kräftefreie Schrödingergleichung Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

$\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ & V=e\Phi \\ \end{align}$

$\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ & =\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi \right]+V\Psi (\bar{r},t) \\ \end{align}$

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

$\bar{A}(\bar{r},t)$

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

$i\hbar \dot{\Psi }*(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)$

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\ & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\ \end{align}$

$\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\ & \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi *=0 \\ & \Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0 \\ & \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right) \\ & \left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right)=0 \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\nabla \left[ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \right] \\ \end{align}$

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

$\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

$\begin{align} & \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\ \end{align}$

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$ erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

$\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)$ als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm $-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)$ ergänzt wird

$\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right)* \right\}$

Mit dem kinetischen Impulsoperator

${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}$

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla$ , wobei klassisch ${{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}$ zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}$ zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}$ NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}$ und $\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}$

Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$ mit $\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right)* \right\}$

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

$\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0$ mit $\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}$

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}$ wählen, da hier $\rho \cdot \hat{\bar{v}}$ oder $\hat{\bar{v}}\rho$ nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

In $\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot \bar{A}=0$ gilt:

$\begin{align} & \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\ & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ \end{align}$

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

$\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi$

Also in diesem Fall:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)$