Lagrangegleichungen 2. Art

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Inhaltsverzeichnis

1 Spezialfall konservative Kräfte
2 Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

Zwangsbedingungen und Zwangskräfte
Virtuelle Verrückungen
D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
Generalisierte Koordinaten
Lagrangegleichungen 2. Art
Normalschwingungen

Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}$

Linke Seite:

$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}$ Mit $\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$ und ${{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}$

Beweis für die letzte Deduktion:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\ & \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right\}=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\ \end{align}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie auszudrücken:

$T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}$

$\begin{align} & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\ & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\ \end{align}$

Somit folgt:

$\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}=\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right)-\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right) \right\}$

$\begin{align} & \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}} \\ & \Rightarrow \sum\limits_{j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}} \right\}\delta {{q}_{j}}=0} \\ \end{align}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in $q j$ völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes $q j$ ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}}=0 \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}} \\ \end{align}$

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f$ heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte

$\begin{align} & -\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}={{Q}_{j}} \\ & V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{{\vec{r}}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{{\vec{r}}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t)) \\ \end{align}$

Dies bedingt jedoch:

$\frac{\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)=T-V$

Es folgt:

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte!

Anmerkung:

die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
L=T-V ist nur eine mögliche Form
$\begin{align} & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\ & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\ \end{align}$
Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in

${{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

$\begin{align} & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}({{m}_{{{1}_{{}}}}}+{{m}_{2}}){{{\dot{q}}}^{2}} \\ & V(q,\dot{q},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g \\ & \frac{\partial L}{\partial q}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g \\ & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\dot{q} \\ & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\ddot{q}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0 \\ & \\ \end{align}$

Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel

φ

$\begin{align} & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\ & V(q,\dot{q},t)=0 \\ & L=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\ \end{align}$

Dahin kommt man im Übrigen aus:

$\begin{align} & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}) \\ & x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\ & \dot{x}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct)\dot{\phi }\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct)\dot{q}\sin q \\ & y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\ \end{align}$

$\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\ & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}}-2cm\dot{q}({{R}_{o}}^{{}}-ct) \\ & \Rightarrow \ddot{q}({{R}_{o}}-ct)=2c{{{\dot{q}}}^{{}}} \\ \end{align}$

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

$\begin{align} & \frac{{\dot{\omega }}}{\omega }=\frac{2c}{{{R}_{o}}-ct} \\ & \int{\frac{d\omega }{\omega }=2c\int{\frac{dt}{{{R}_{o}}-ct}}} \\ & \ln \omega =-2\ln ({{R}_{o}}-ct)+const \\ & \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\ & \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\ \end{align}$

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

$\begin{align} & \vec{L}=m\vec{v}\times \vec{r} \\ & {{{\vec{L}}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{{}}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}} \\ & andererseits: \\ & {{\omega }_{o}}=\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}})}^{2}}} \\ & \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m} \\ & \omega =\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}=\dot{q} \\ \end{align}$

Durch Integration gewinnt man:

$q={{q}_{o}}+\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{cm({{R}_{o}}-ct)}$

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)

Abschnitt	5 +
Definition	Lagrange- Gleichungen 2. Art +
Fachbegriff	Kinetische Energie + und Generalisierte Koordinaten +
Index	Kinetische Energie +, Lagrange- Gleichungen 2. Art + und Generalisierte Koordinaten +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

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