Master Gleichung

Aus PhysikWiki

Wechseln zu: Navigation, Suche

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators H = HS + HB + HI bestehend aus

  • System HS
  • Umgebung HB
  • WW HI

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

  • links {}^{L}{{H}_{B}}=\sum\limits_{k}{{}^{L}{{\varepsilon }_{k}}{}^{L}{{N}_{k}}}
  • und rechts {}^{R}{{H}_{B}}=\sum\limits_{k}{{}^{R}{{\varepsilon }_{k}}{}^{R}{{N}_{k}}} zuammen mit {}^{X}{{N}_{k}}={}^{X}a_{k}^{+}{}^{X}{{a}_{k}}


Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen {{H}_{I}}={}_{S}^{L}{{H}_{I}}+{}_{S}^{R}{{H}_{I}}+{}_{L}^{S}{{H}_{I}}+{}_{R}^{S}{{H}_{I}}

  • Von Links ins System {}_{S}^{L}{{H}_{I}}
  • Vor Rechts ins System {}_{S}^{R}{{H}_{I}}
  • Vom System nach Links {}_{L}^{S}{{H}_{I}}
  • Vom System nach Rechts {}_{R}^{S}{{H}_{I}} mit {}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}} und {}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}
ei erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
e_{i}^{\dagger } vernichtet ...

Inhaltsverzeichnis

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}

mit {{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right) und H0 = HS + HB

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung

\dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]

mit der Lösung

\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U

mit U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)

Beweis

{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU sowie {{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU

Dann ist

{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu



\begin{align} & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\ & =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\ & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\ & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho } \right] \\ \end{align}

Lösung

Integrieren

\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'

auf rechter Seite einsetzen

\begin{align} & {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\ & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\ & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}' \end{align}

System Dichteoperator

Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

{{\rho }_{S}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]


{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}


{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)

damit folgt für

\begin{align} & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}' \end{align}

Annahmen

  • WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
  • no korrelation beteween System and Bath at t=0

-->

{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}
  • Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.

-->

{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0
  • Dichtematrix zu t=0 Sperabel
  • Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
  • Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst
\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)

Bornsche Näherung

  • Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2
{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'

Markov Näherung

  • Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
ρS = ρ'S
Von „http://wiki.physikerwelt.de/wiki/Master_Gleichung“
Persönliche Werkzeuge