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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Materie in elektrischen und magnetischen Feldern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 0) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Materie in elektrischen und magnetischen Feldern

Materie in elektrischen und magnetischen Feldern

Elektrodynamik Schöll

Inhaltsverzeichnis

1 Polarisation
2 Magnetisierung
3 Maxwell- Gleichungen in Materie
4 Grenzbedingungen für Felder
5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit
6 Wellenausbreitung in Materie
7 Brechung und Reflexion

Elektrostatik
Stationäre Ströme und Magnetfeld
Die Maxwell-Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Materie in elektrischen und magnetischen Feldern
Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Polarisation

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

$\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]$

elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
$σ$

gebundene Ladungen (In Isolatoren)

Polarisierung im E- Feld

Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

$\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0$

nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld

$\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

gemäß

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

$\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

Mit der freien Ladungsdichte

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho$

Also:

${{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

$\begin{align} & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\ & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\ \end{align}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

$\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\nabla \cdot \bar{D}=\rho$

Wir bezeichnen mit

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

$\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}$

= Polarisationsladung, die V verläßt!

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)$

(mikroskopische Ladungsdichte)

${{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)$

(mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen

Δ V :

${{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<$

Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

(makroskopische Ladungsdichte)

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

$\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\ & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}$

Wobei

$\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Die makroskopische Ladungsdichte ist!

$\begin{align} & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${{\bar{p}}_{i}}$

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)$

Analog:

${{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

$\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ \end{align}$

Umformung:

${{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

$\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\ \end{align}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)$

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte

$\bar{P}$

mit der durch

$\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}$

bzw.

$\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}$

definierten Polarisation identifizieren.

Magnetisierung

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente

$\bar{m}$

a) Für

$\bar{B}=0$

vorhandene, permanente magnetische Momente

$\bar{m}$

werden zur Minimierung der potenziellen Energie

${{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}$

vorzugsweise (entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

paramagnetisches Verhalten

durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

diamagnetisches Verhalten!

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

$\begin{align} & {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\ & {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\ \end{align}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen

Δ V

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

und den effektiven Feldern

$\bar{B}$

in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte

${{\bar{j}}_{M}}$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}$

bzw.

$\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}$

effektive Gesamtinduktion (im stationären Fall):

$\begin{align} & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\ & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\ \end{align}$

Also: Erzeugung des B- Feldes (Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

$\begin{align} & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\ & \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\ & \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\ \end{align}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

$\begin{align} & {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\ & {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\ & \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ \end{align}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

und der magnetischen Dipoldichte

${{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

$\begin{align} & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ \end{align}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind (vergleiche oben)

Umformung liefert:

$\begin{align} & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\ & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\ & =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\ & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\ & \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\ \end{align}$

Definition

$\begin{align} & \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\ & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\ \end{align}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

$\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt!

es gilt der Erhaltungssatz:

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\ & \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\ \end{align}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung!

Maxwell- Gleichungen in Materie

Die vollständigen Potenziale enthalten

die freie Ladungs- und Stromdichten
$\rho ,\bar{j}$
die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
${{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}$

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

$\begin{align} & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ & \\ \end{align}$

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

$\begin{align} & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\ & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\ & \\ \end{align}$

Für die Felder in Materie folgt:

$\begin{align} & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

Wie im Vakuum

$\begin{align} & 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\ & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\ \end{align}$

In Lorentz Eichung!

$\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)$

per Definition von

ρ p

.

$\begin{align} & \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ & \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

$\begin{align} & \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi \\ & \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\ & ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\ & {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\ & {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\ & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \Rightarrow 4) \\ & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\ & \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\ & \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\ \end{align}$

Mit dem Magnetfeld

$H\left( \bar{r},t \right)$ ,

welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}$

Dabei beschreibt

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{align} & \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{align} & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}$

$\begin{align} & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ \end{align}$

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

isotrope Materie:

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

und für paramagnetische Stoffe

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

für diamagnetische Stoffe:

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)$ ,

also ein skalarer Zusammenhang

bei nicht zu hohen Feldern:

$\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}$

$\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}$

also ein linearer Zusammenhang

ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

$\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)$

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

Dann kann man schreiben:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)$

$\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)$

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

χ e

und der magnetischen Suszeptibilität

χ M

(Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

$\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)$ mit $\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)$ ,

der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)

$\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}$ mit $\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu$ ,

der relativen Permeabilität

$\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}$

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für

$\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0$

diamagnetisch für

$\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0$

paramagnetisch:

${{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1$ diamagnetisch $0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1$

Bemerkungen

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0$

beschreibt kein Ferroelektrikum

$\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0$

kein Ferromagnet

Es gilt stets

χ e > 0

(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

${{\chi }_{M}}\begin{matrix} > \\ < \\ \end{matrix}0$

Para- ODER Diamagnet

Ein Term

$\tilde{\ }\bar{B}$ in $\bar{P}$ oder $\tilde{\ }\bar{E}$ in $\bar{M}$

kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

$\bar{E}$

ist polarer Vektor,

$\bar{B}$

ist axialer Vektor!

${{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)$

ist ein Skalar

${{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}$

ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle :

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}$

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor

${{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}$ .

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)$

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

$\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)$

(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

$\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)$

Grenzbedingungen für Felder

_ Frage ist: Wie verhalten sich

$\bar{B},\bar{H},\bar{D},\bar{E}$

an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien (Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)$

$\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h → 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte

σ

trägt:

$\begin{align} & \rho \left( \bar{r},t \right)=\sigma \left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\ & {{{\bar{e}}}_{z}}\equiv \bar{n} \\ & \Rightarrow \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\ \end{align}$

$\begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{B}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

$\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0$

$\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\sigma \left( x,y,t \right)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}$

$\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}$

$\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)$

Auch hier: h→ 0

$\begin{align} & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right) \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right) \\ \end{align}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=-\begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\ \end{align}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte

$\begin{align} & {\bar{g}} \\ & \Rightarrow \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}\left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\ \end{align}$

wie es bei metallen der Fall ist!, dann:

$\begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\bar{j}=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}$

Weiter:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\ \end{align}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn

$\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}$

Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

$\bar{B},\bar{D}$ und $\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}$

sind beschränkt:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=0 \\ & \begin{matrix} \lim \\ h->0 \\ \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\ & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\ & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\ \end{align}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

$\begin{align} & \bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\ & \bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\bar{g}(x,y,t) \\ \end{align}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte!

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D (wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig!

Zusammenfassung:

$\delta \bar{E}:=\left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

$\begin{align} & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta \bar{E}=0 \\ & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{B}=0 \\ \end{align}$

$3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\sigma$

$4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta H\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte (Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt (Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

$\begin{align} & {{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}} \\ & \sigma =0 \\ \end{align}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin!

$\begin{align} & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\ & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)} \\ \end{align}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte!

$\begin{align} & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\ & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)} \\ & \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)} \\ & \tan {{\alpha }_{1}}=\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}} \\ \end{align}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

Grenzfläche zwischen Vakuum (Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell

$\bar{B}\bot$

Grenzfläche (z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso!)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist

$\bar{B}$

grundsätzlich stetig! B ist eh immer grundsätzlich stetig! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer (wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

Paramagnetisch:

$\begin{align} & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\ & \bar{M}\uparrow \uparrow \bar{H} \\ \end{align}$

Paramagnetisch:

$\begin{align} & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\ & \bar{M}\uparrow \downarrow \bar{H} \\ \end{align}$

2.2 Sei speziell

$\bar{B}||$

Grenzfläche (z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso!)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen (E und H):

In diesem Fall ist

$\bar{H}$

stetig für

$\bar{g}=0$

(kein Oberflächenstrom)

Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

χ e

aus einfachen mikroskopischen Modellen Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte

$\bar{P}$

für ein gegebenes Feld

$\bar{E}$ .

Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

Klassisches Atommodell:

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung

Q e = - Z e < 0

Außerdem ein punktförmiger Kern mit

Q k = + Z e > 0

am Ort

${{\bar{r}}_{k}}$

Merke:

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes

${{\bar{E}}_{el.}}\left( {\bar{r}} \right)$

der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz

$\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)$

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen

Wichtig! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig, aber hier homogen verteilt!→ einfache Integration.

Auswertung liefert

$\begin{align} & {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V(r\acute{\ })}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V(r\acute{\ })}^{{}}{{}}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\ & \Rightarrow 4r{{\acute{\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\ & \Rightarrow \left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r\acute{\ }}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}Q \\ \end{align}$

Natürlich nur für

$r\acute{\ }\le R$

setzt man

$\bar{r}\acute{\ }=\bar{r}-{{\bar{r}}_{e}}$ ,

wobei

${{\bar{r}}_{e}}$

das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

$\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}$

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

${{\bar{F}}_{K}}={{Q}_{K}}\bar{E}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)$

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

${{\bar{F}}_{e}}=-{{\bar{F}}_{K}}$

Aufstellen der Bewegungsgleichungen (inklusive einem äußeren Feld

${{\bar{E}}_{a}}$ )

$\begin{align} & {{m}_{K}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}={{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\ & Z{{m}_{e}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-{{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)-Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\ \end{align}$

Also folgt für die Relativbewegung:

$\bar{r}={{\bar{r}}_{k}}-{{\bar{r}}_{e}}$

als relativer Abstand

$\begin{align} & \ddot{\bar{r}}={{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}-{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{Ze}{{{m}_{K}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\ & =-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right){{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\ & \left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\approx \frac{1}{Z{{m}_{e}}} \\ & \left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)=\bar{r} \\ & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}=-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}\bar{r}+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\ & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\ & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}+{{\omega }_{0}}^{2}\bar{r}=\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\ \end{align}$

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können!

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

$\bar{r}=\frac{e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{\bar{E}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)$

(Dynamik mit Dämpfung)

$\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left( \omega \right)$

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

$\begin{align} & \bar{p}=Ze\bar{r}=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{{\bar{E}}}_{a}} \\ & \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \\ & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\ & \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}} \\ \end{align}$

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter. Entsprechend:

$\begin{align} & \bar{p}=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }+Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\ & Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=Ze\bar{r} \\ & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ } \\ & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }=0 \\ \end{align}$

wegen Symmetrie

$\bar{p}=Ze\bar{r}$

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

$\bar{P}=n\bar{p}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar{E}}_{a}}$

mit der mittleren Atomdichte n

Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

Gedankenexperiment

Feld einer homogenen polarisierten Kugel:

Ansatz: homogen geladene Kugel:

${{\bar{E}}_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} \frac{{\bar{r}}}{{{a}^{3}}}r\le a \\ \frac{{\bar{r}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\ \end{matrix} \right.$

Also:

${{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} c-\frac{{{{\bar{r}}}^{2}}}{2{{a}^{3}}}r\le a \\ \frac{1}{r}r\ge a \\ \end{matrix} \right.$

Bestimmung der Integrationskonstanten:

$\begin{matrix} \lim \\ \varepsilon ->0 \\ \end{matrix}{{\Phi }_{0}}\left( a-\varepsilon \right)={{\Phi }_{0}}\left( a+\varepsilon \right)\Rightarrow c=\frac{3}{2a}$

die homogen polarisierte Kugel

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro → 0

Bilde:

$\begin{align} & {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)={{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}-\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right)-{{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}+\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right) \\ & \approx -{{{\bar{r}}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right) \\ & \nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=-{{{\bar{E}}}_{0}} \\ & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\ \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\ \end{matrix} \right.=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\ \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\ \end{matrix} \right. \\ & \bar{p}:=Q{{{\bar{r}}}_{0}} \\ \end{align}$

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet. Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation (eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

$\begin{align} & \bar{P}=\frac{{\bar{p}}}{\frac{4}{3}{{a}^{3}}\pi } \\ & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\ \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\ \end{matrix} \right.=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix} \frac{\bar{P}\bar{r}}{3}r\le a \\ \bar{P}\bar{r}\frac{{{a}^{3}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

${{\bar{E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{{\bar{P}}}{3}r\le a$

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel (homogen polarisiert).

Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:

das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden. Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel. Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld

Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

${{\bar{E}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}-{{\bar{E}}_{KUgel}}$

$\begin{align} & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right):Lokalfeld \\ & \bar{E}:makroskopisch \\ & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \\ \end{align}$

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

${{\bar{E}}_{a}}+{{\bar{E}}_{Kugel}}=\bar{E}$

sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel (wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld!

Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:

$\begin{align} & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{{\bar{E}}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left( \bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \right) \\ & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E} \\ & \Rightarrow {{\chi }_{e}}=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha } \\ & n\alpha =\frac{{{\chi }_{e}}}{1+\frac{1}{3}{{\chi }_{e}}}=\frac{\varepsilon -1}{1+\frac{\varepsilon -1}{3}}=3\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2} \\ \end{align}$

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel

Wellenausbreitung in Materie

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern

$\varepsilon ,\mu ,\sigma$

$\begin{align} & \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\ & \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\ & \bar{j}=\sigma \bar{E} \\ \end{align}$

(ohmsches Gesetz)

Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:

Das heißt:

$\varepsilon ,\mu ,\sigma$

nicht frequenzabhängig!

Sei

$\begin{align} & \rho =0 \\ & \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\ & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\ & \nabla \cdot \bar{E}=0 \\ & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\ & \\ & \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\ \end{align}$

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

$\begin{align} & \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\ & {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\ \end{align}$

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung!

Spezielle Lösung dieses Problems:

homogene, ebene Welle:

$\begin{align} & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\ \end{align}$

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter Durch die Dämpfung

σ

ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

$k\in C$

Setze:

$k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right)$

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

$\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)$

komplexer Brechungsindex! Somit:

${{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)$

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

$\begin{align} & {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\ & n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\ \end{align}$

Bestimmung von
$n,γ$
:

o.B.d.A.:

$\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}$

Ausschreiben der Welle:

$\begin{align} & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ & \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\ \end{align}$

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit

$\frac{c}{n}$

und dem Extinktionskoeffizienten

$\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }$

Lineare Polarisation:

${{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}$

$\begin{align} & {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\ & \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\ & \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\ \end{align}$

Somit existiert eine Phasenverschiebung

φ

zwischen E und B

Der Isolator

$\begin{align} & \sigma =0 \\ & \tau \to \infty \\ \end{align}$

Folgen:

γ = 0

keine Dämpfung

φ

=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B

kommt erst durch die Dämpfung!
i m Isolator schwingen E und B in Phase!

reeller Brechungsindex:

$n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1$

Phasengeschwindigkeit :
$\frac{c}{n}<c$

Nebenbemerkung: Nur OHNE DISPERSION ist

$\varepsilon$

reell

Metalle

$\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }$

für alle Frequenzen bis UV Somit:

$\begin{align} & {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\ & \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\ & n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\ & \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\ \end{align}$

Extinktionskoeffizient

$d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm$

für 100 Hz (hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

Dielektrische Dispersion

Annahme:

μ = 1

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

$\begin{align} & \hat{\chi }\left( \omega \right): \\ & \hat{\bar{P}}\left( \omega \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega \right) \\ \end{align}$

mit:

$\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}$

dynamische elektrische Suszeptibilität

Fourier- Trafo:

$\begin{align} & \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega \right){{e}^{-i\omega t}} \\ & \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\ & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\ \end{align}$

Betrachte:

$\begin{align} & \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\ & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\ \end{align}$

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral → Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:

$\begin{align} & \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\ & f\ddot{u}r \\ & t\acute{\ }>t \\ \end{align}$

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes

$\hat{\chi }\left( \omega \right)\in C$

Komplexe dielektrische Funktion:

$\begin{align} & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\ & \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\ \end{align}$

Aus:

$\begin{align} & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\ & \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\ & \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\ & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\ \end{align}$

Monochromatische ebene Welle:

$\begin{align} & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\ \end{align}$

Isolator (dispersives Dielektrikum)

$\begin{align} & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \tilde{n}\left( \omega \right)=n\left( \omega \right)+i\gamma \left( \omega \right) \\ & \tilde{n}{{\left( \omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\ & \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\ & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=2n\gamma \\ & \Rightarrow \left. \begin{matrix} \gamma \\ n \\ \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\ \end{align}$

Dabei

$\left. \begin{matrix} \gamma \\ n \\ \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}$

Als Absorptionskoeffizient

γ

(reeller Brechungsindex n)

Absorption

$\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}$

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon Also: für

$\varepsilon \acute{\ }>0$

→ ungedämpfte Welle

$\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0$

in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

$\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }$

heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption).

Dispersion

$\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )$

nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!)

Definition der Gruppengeschwindigkeit:

$\begin{align} & {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\ & {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega \right)}={{v}_{ph.}} \\ \end{align}$

Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):

Normale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }>0$

Stets im Transparenzgebiet, also wenn

$\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0$

v g < v p h .

Anormale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }<0$

bei Absorption!

Beziehung zwischen

$\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)$ und $\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)$

Kramers- Kronig- Relation

Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
$n\left( \omega \right)$
und Absorption
$\gamma \left( \omega \right)$
.
erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip!

Beweis (Funktionenthorie)

Für kausale Funktion gilt:

$\begin{align} & \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\ & \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & 0t<0 \\ & 1t\ge 0 \\ \end{align} \\ {} \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$

Heavyside

Fourier- Trafo:

$\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)$

$\begin{align} & \hat{\Theta }\left( \omega \right):=\begin{matrix} \lim \\ \sigma ->0+ \\ \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix} \lim \\ \sigma ->0+ \\ \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\ & \\ \end{align}$

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor

σ

Also:

$\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix} \lim \\ \sigma ->0+ \\ \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)$

Der Integrand hat einen Pol für

$\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma$

Also:

Äquivalenter Integrationsweg:

Zerlegung:

$\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix} \lim \\ \varepsilon ->{{0}^{+}} \\ \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)$

Man sagt:

$\begin{matrix} \lim \\ \varepsilon ->{{0}^{+}} \\ \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)$

= Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle!

$\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)$

Integral längs des Halbkreis mit Radius

$\varepsilon$

um den Pol!

$\begin{align} & \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\ & s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\ & f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\ \end{align}$

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

$\begin{align} & \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix} \lim \\ \sigma ->0+ \\ \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\ & =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega \right) \\ & \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\ \end{align}$

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

$\begin{align} & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1 \\ & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\ \end{align}$

Also:

$\begin{align} & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\ & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\ \end{align}$

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander!

Titchmask- Theorem:

$\hat{\chi }\left( z \right)$

sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene Somit:

$\hat{\chi }\left( z \right)\to 0$

für

$\operatorname{Im}z\to \infty$

Brechung und Reflexion

Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:

Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent →

${{\varepsilon }_{i}}\in R$

$\begin{align} & \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\ & {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\ & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\ \end{align}$

Einfallende Welle:

$\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}$

Reflektierte Welle:

$\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}$

Transmittierte Welle:

$\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}$

Grenzbedingungen für

$\bar{E}(\bar{r},t)$ .

Annahme: linear polarisiert:

${{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}$

→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

$\begin{align} & {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\ & \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\ & {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\ \end{align}$

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

${{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}$

Also:

${{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }$

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

$\begin{align} & \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\ & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\ \end{align}$

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

$\begin{align} & \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\ & \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\ \end{align}$

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

$\begin{align} & {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ \end{align}$

Für die Tangentialkomp.:

${{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }$

Mit

${{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix} -{{k}_{3}} \\ 0 \\ {{k}_{1}} \\ \end{matrix} \right)$

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

${{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }$

mit dem Reflexionsgesetz.

${{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }$

$\begin{align} & \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\ & \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\ \end{align}$

Man muss nun nur

${{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }$

über den Brechungswinkel

$\gamma \acute{\ }\acute{\ }$

ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

$\begin{align} & {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\ & \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\ & {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma \\ \end{align}$

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

$\begin{align} & \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ \end{align}$

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

$\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)$

Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)

$\begin{align} & {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \\ \end{align}$

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

${{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{R}_{\bot }}$

Polarisation von
$\bar{E}||$
Einfallsebene:

Dadurch:

$\bar{B}\bot$

Einfallsebene

Analoge Argumentation:

$\begin{align} & {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\ & {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\ \end{align}$

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

$\begin{align} & \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\ & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)} \\ \end{align}$

Ebenso:

$\begin{align} & {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{T}_{||}} \\ & \\ \end{align}$

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

$\begin{align} & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\ & ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\to \infty \\ & {{R}_{||}}=0 \\ \end{align}$

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)

Dies ist der Brewsterwinkel:
$\begin{align} * & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\ * & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\ * \end{align}$

Totalreflexion Sei

$\begin{align} & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\ & \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\ \end{align}$