Paramagnetismus

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Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander

Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung!

Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)!

Modell eines Paramagneten

N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls

im Magnetfeld der Induktion

Drehimpulsquantisierung:

Energie:

mit

= Bohrsches Magneton!

z.B. Spin:

Bahn:

Einteilchen- Zustandssumme

Beispiel: l = 1/2:

Als Einteilchenzustandssumme

Magnetisierung M (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen)

Brillouin- Funktion

z.B. l= 1/2:

(Lorgevin- Funktion)

Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung

Hohe Temperaturen

Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K

Entwicklung

linear in B!

speziell: l= 1/2:

Curie- Gesetz!!

magnetische Suszeptibilität

definiert durch

mit dem Magnetfeld

und

als absolute Permeabilität

Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:

Mit der Curie- Konstanten C!

(Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!)

Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:

für

Also:

Vollständige Ausrichtung aller Momente


Vergleich mit der klassischen rechnung

mit

fest (magnetisches Moment!) und

Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten!

Klassische Zustandssumme:

Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)

klassisch

im Gegensatz zu quantentheoretisch:

Also für x→ 0 (hohe Temperaturen):

(klassisch)

(quantentheoretisch!)

und für x →

(tiefe Temperaturen):

(klassisch)

(quantentheoretisch)

Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):

Abszisse: x = mB/(kT)

Ordinate: MV/Nm

Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab!

Vergleich für l>>1

quantentheoretisch:

und

Klassisch dann mit der Näherung

für

klassisch:

(klassische Brillouin- Funktion)

Für l=2 folgt:

Dabei ist die klassische Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist!

Für l=5:


und schließlich l=10:

Dabei wurde wieder

Abszisse: x = mB/(kT)

Ordinate: MV/Nm

Energie und Entropie

Entropie S für

N- Teilchen- Zustandssumme

Statistischer Operator für kanonische Verteilung:

(kalorische Zustandsgleichung )


Limes

Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:

Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt!

Adiabatische Entmagnetisierung

Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin)