Prüfungsfragen:Statistische Physik

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Inhaltsverzeichnis

Warum betreibt man statistische Physik

Vorlage:Frage

  • Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
  • Mangel an Informationen → Mangel an Fragen


Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände Ψi)

BILD

Gν als Funktion von λν,hα auffassen

Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand siehe auch [1]

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information I \left[ p_\alpha \right] :=\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha [2]

  • I \left[ p_\alpha \right] \le 0
  • {{p}_{\alpha }}=0\to I\left[ {{p}_{\alpha }} \right]=0 maximal bei scharfer Verteilung

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21

λ = − (Ψ + 1)

Variation unter NB

∑pα = 1
α

ist eine Observable Annahme N_m andere Observable


D[x Log[x], x]=Log[x]+1


0=\sum_\alpha \delta p_\alpha \left( \operatorname{ln} p_\alpha +1 + \sum_{n=1}^{N_M}\lambda_n A_\alpha^n \right)[3]
p_\alpha=exp(\Psi-\lambda_n A_\alpha^n)
Ψ = − 1 − λ0

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

  • E hängt von V ab

--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion

--> größeres Volumen mehr zustände --> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links

Entropie

Über negative Shannon Info *k

S:=-k I \left[ p_\alpha \right]=-k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha [4]

Über Dichtematrix/operator

S:=-k \left\langle \operatorname{ln} \rho \right\rangle =-k \operatorname{Tr} \left(\operatorname{ln} \rho \right\rangle= -k\sum_\alpha p_\alpha \operatorname{ln} p_\alpha

Minimum bei reinen Zuständen?

S(\rho) \ge 0

TD

dS=\frac{dQ}{T}

Bose-Einstein-Kondensation

Dichteoperator f kanonisches Ensemble

ρ = ∑lphapαketbraαα
a

\alpha Eigenstate

p_\alpha=\frac{1}{Z}exp(-\beta \epsilon_\alpha)

Z Zustandssumme

Bose-Verteilung

\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}-1},\beta=\frac{1}{kT}

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

File:Bose-einstein-fermi-dirac.png

Fermi-Verteilung

\left\langle n(E)\right\rangle =\frac{1}{e^{\beta(E-\mu)}+1},\beta=\frac{1}{kT}

T=0 Fermi Energie µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet Bild:Fermi dirac distr.svg

Boltzmann-Verteilung

\langle n(E_i) \rangle = \frac {1}{e^{\beta (E_i - \mu)} }

Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

gilt bei hoher Energie und geringer dichte

photonen haben kein ch potential

Wärmekapazität

Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X

?Elektronen

  • T³

?Photonen

  • schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³

?klassisch

  • Tiefemperatur
  • sättigung
Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme


Zustandssumme

kanonische Verteilung Z=e^\psi=e^{1+\lambda_0}=\sum_\alpha e^{-\lambda_n A_\alpha^n}[5]

\begin{align} Z_k(N,V,T) &= \sum_i\mathrm{e}^{-\beta E_i}.\\ Z_{gk}(\mu, V, T) &= \sum_i\mathrm{e}^{-\beta( E_i - \mu N_i)}\\ Z_\mathrm{m}(U,N,V) &= \sum_{ E_{\psi} (N,V) \le U } 1\\ Z_\mathrm{m}(U,N,V) &= \int\limits_{ H(p,q,N,V) \le U} \!\!\!\frac{d^{3N}p\; d^{3N} q}{h^{3N} N!} \end{align}

Wie kann man Potentiale berechnen?

\begin{align} S(N,V,E) &= k_\mathrm{B} \,\log Z_m(N,V,E)\\ F(N,V,T) &= - k_\mathrm{B}T \,\log Z_k(N,V,T)\\ \Omega(\mu, V, T) &= - k_\mathrm{B}T \,\log Z_g(\mu, V, T) \end{align}

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

  • kalorisch

leite P

  • thermisch

leite Potential nach Volumen ab --> p

  • chemisch

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren.

D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \text{mit} \qquad V=L_\mathrm{x}\cdot L_\mathrm{y}\cdot L_\mathrm{z}\quad.

[2]

Enthalpie

H:=U+pV:=U(S,V,N)-\frac{\partial U}{\partial V}_{S,N}V

[6] [7]

dH = TdS + Vdp + μdN

dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Freie Energie

Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme F(T,V,N)-kT \operatorname{ln} Z_k

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential


  • partielle Ableitung?

Großkanonisches Potential

[3]

\Omega := \ F - \mu N = U - T S - \mu N 
   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas \lambda=\frac{h}{\sqrt{2 \pi m h T}} , E= \pi h T?

Temperatur

T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

Dichtematrixgleichung

Gleichgewicht Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat anschaulich keine Übergänge finden statt

herleitung

Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule

Mittelwert

\left\langle f\left( X \right) \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{dxp\left( x \right)f\left( x \right)}}

mit delta verknüpft für das normalerweise gilt

\underset{\varepsilon ->0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\varepsilon }p\left( \frac{x}{\varepsilon } \right)=\delta \left( x \right)

[8]

Ensemble Theorie

Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV →F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen

Hohlraumstrahlung

Plancksche Strahlungsformel

-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian spin der Photonen beachten (polarisationszustand) Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V

Potentialtopf

\epsilon_n =\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}
{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right) mit
{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}
\begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ \end{align}

Quantentheoretischer Zugang

Druck

p=\frac{\partial F} {\partial V}

isoliertes System:

p=-\frac{\partial E} {\partial V} [9] Energie,Volumen

kanonisches Ensemble

Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest

\mu = \frac{1}{\beta} \partial_N ln Z

Energieeigenmwerte \epsilon_r

Z = ∑exp( − βεr)
r

mikrokanonisches Ensemble (Definition)

  • Konstanz der Gesamtenergie

Übergang Stat M zu Thermodyn

1/T=dS/dE

von Neumann Gleichung

Mastergleichung

statistischer Operator

  • Entropiedefinition
  • Interpreation

Großkanonischer Operator

Was kann man damit bereichen Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir

siehe auch

  1. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, (Kap 5.2)
  2. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.4.5) (S 45)
  3. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46)
  4. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.5.7) (S 48)
  5. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.15 (S47)
  6. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 3.6.1 (S27)
  7. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.5.2 (S9)
  8. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.3.8
  9. ↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.2.1 (S4)
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