Räumliche Isotropie

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Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Räumliche Isotropie

Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Inhaltsverzeichnis

1 Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel

φ = s

um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

${{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }=(x{{\acute{\ }}_{i}},y{{\acute{\ }}_{i}},z{{\acute{\ }}_{i}})$

Dabei gilt:

$\begin{align} & {{x}_{i}}\acute{\ }={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s \\ & {{y}_{i}}\acute{\ }={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s \\ & {{z}_{i}}\acute{\ }={{z}_{i}} \\ \end{align}$

Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:

Betrachten wir infinitesimale Transformationen (Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln

δφ = δ s

$\left( \begin{matrix} {{x}_{i}}\acute{\ } \\ {{y}_{i}}\acute{\ } \\ {{z}_{i}}\acute{\ } \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos s & \sin s & 0 \\ -\sin s & \cos s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{x}_{i}} \\ {{y}_{i}} \\ {{z}_{i}} \\ \end{matrix} \right)\approx \left[ \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0 & s & 0 \\ -s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right) \right]\left( \begin{matrix} {{x}_{i}} \\ {{y}_{i}} \\ {{z}_{i}} \\ \end{matrix} \right)$

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

$\left( \begin{matrix} 0 & s & 0 \\ -s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}$ Mit ${{\bar{\bar{J}}}_{z}}$

als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

$\left( \begin{matrix} {{x}_{i}}\acute{\ } \\ {{y}_{i}}\acute{\ } \\ {{z}_{i}}\acute{\ } \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} {{x}_{i}} \\ {{y}_{i}} \\ {{z}_{i}} \\ \end{matrix} \right)+s\left( \begin{matrix} {{y}_{i}} \\ -{{x}_{i}} \\ 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} {{x}_{i}} \\ {{y}_{i}} \\ {{z}_{i}} \\ \end{matrix} \right)+s\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)$

Formal schreibt man:

${{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})$ mit ${{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}$

Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

$T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}$

ist rotationsinvariant, da nur von

$\left| {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right|$

abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

(Drehungen sind orthogonale Transformationen).

${{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right){{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\bar{F}}}_{i}}({{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}})}}$

wegen:

$\begin{align} & \left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right)=-{{{\bar{F}}}_{i}} \\ & {{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}={{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}} \\ \end{align}$

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

${{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}$ Mit $\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}$

als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

$-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}={{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=0$

Interpretation nach dem Noetherschen Theorem

$I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}\cdot {{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\cdot \left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\bar{l}=-{{l}_{z}}$

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

Andere Betrachtungsweise

Wähle

q 1 = φ = s

als verallgemeinerte Koordinate

Trafo:

${{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)$ mit $\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}$

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

Invarianz Erhaltungssätze

${{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

${{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const$

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu

q 1 = φ = s

,

so ergibt sich:

${{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}$ wegen $\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}$

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit

$\tilde{\phi }=-\phi$ .

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

Beispiel:

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

$V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)$ mit ${{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|$

Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:

$\frac{\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }=\sum\limits_{i,j}{\frac{\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=0}$

für beliebige Achsen, da

$\begin{align} & \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=\frac{\partial }{\partial \phi }{{\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]}^{1/2}}=\frac{1}{{{r}_{ij}}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\frac{\partial }{\partial \phi }\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \\ & \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{k}} \\ & \Rightarrow \frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times {{{\bar{e}}}_{k}} \right]=\frac{1}{{{r}_{ij}}}{{{\bar{e}}}_{k}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]=0 \\ \end{align}$

Also ist der resultierende Drehimpuls

$\bar{l}$

eine Erhaltungsgröße

Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

${{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})=(\bar{\bar{1}}-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}){{\bar{r}}_{i}}$

Mit der Erzeugenden

${{\bar{\bar{J}}}_{z}}=\left( \begin{matrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel

φ

gilt:

${{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi ){{\bar{r}}_{i}}=\left( \begin{matrix} \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right){{\bar{r}}_{i}}$

Es gilt:

${{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)$

mit Definition

$\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right):=\bar{\bar{1}}+\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)+\frac{1}{2}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+\frac{1}{k!}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}$

Beweis:

Für

$\begin{align} & \bar{\bar{M}}=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\Rightarrow {{{\bar{\bar{M}}}}^{2}}=-\bar{\bar{1}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{3}}=-\bar{\bar{M}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{4}}=\bar{\bar{1}} \\ & {{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{1}} \\ & {{{\bar{\bar{M}}}}^{(2n+1)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{M}} \\ \end{align}$

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \\ \end{matrix} \right)=\bar{\bar{1}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n \right)!}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n+1 \right)!}{{\phi }^{2n+1}}} \\ & =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n+1 \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}} \\ & =\exp \left( -\bar{\bar{M}}\phi \right) \\ \end{align}$

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

${{\bar{\bar{J}}}_{x}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar{\bar{R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}}\phi \right)$

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

${{\bar{\bar{J}}}_{y}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar{\bar{R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}}\phi \right)$

Beliebige Drehungen um den Winkel

φ

mit der Drehachse

$\bar{n}$

${{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)$ mit $\bar{\phi }:=\phi \bar{n}$

Die Drehmatrizen

${{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)$

bilden nun eine 3- parametrige

$\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)$ ,

stetige, diffbare

$\left( in\phi \right)$

und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

$SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}$ Mit ${{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1$

als Orthogonalitätsbedingung, so dass

$|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|$ und $\det \bar{\bar{R}}=1$

zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden

${{\bar{\bar{J}}}_{i}}$

der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

$\left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{i}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{k}} \right]={{\bar{\bar{J}}}_{i}}{{\bar{\bar{J}}}_{k}}-{{\bar{\bar{J}}}_{k}}{{\bar{\bar{J}}}_{i}}$

i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab!:

$\begin{align} & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{x}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \\ & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{z}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \\ & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\ \end{align}$

→ zyklische Permutation des Lieschen Produktes

Fakten zu Räumliche IsotropieRDF-Feed

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