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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Relativistische Formulierung der Elektrodynamik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 0) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Elektrodynamik Schöll

Inhaltsverzeichnis

1 Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie
2 Transformationsverhalten der Ströme und Felder
3 Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum
4 Relativistisches Hamiltonprinzip
5 Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Elektrostatik
Stationäre Ströme und Magnetfeld
Die Maxwell-Gleichungen
Elektromagnetische Wellen
Materie in elektrischen und magnetischen Feldern
Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!

Kugelwellen sind
→ Lorentz- Invariant, also:
${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}$

Für Lorentz- Transformationen!

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :

$\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man

${{\left( ds \right)}^{2}}$

als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

$\begin{align} & {{x}^{i}} \\ & {{x}^{1}}:=ct \\ & {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\ \end{align}$

als Komponenten des Ortsvektors

$\bar{r}$

kovariante Komponenten

$\begin{align} & {{x}_{i}}: \\ & {{x}_{0}}:=ct \\ & {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\ \end{align}$

kovarianter Vektor

$\in \tilde{V}$ ,

dualer Vektorraum zu V!

Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten →

$\in \tilde{V}$

als Raum der linearen Funktionale l:

$V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

Schreibe

${{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}$

Mit: Summenkonvention! über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt

a i a i

schreiben!

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{align} & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\ & mit \\ & ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\ & \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\ & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\ & {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\ & \beta :=\frac{v}{c} \\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\ \end{align}$

Physikalische Interpretation

$\begin{align} & {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\ & d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\ \end{align}$

Viererimpuls

p i : = m 0 c u i

mit der Ruhemasse m0

Also:

$\begin{align} & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\ & {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\ & \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\ & {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\ & {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\ & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\ \end{align}$

Mit der Energie

E = m (v) c 2

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

$\begin{align} & {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\ & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\ & {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\ & {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\ \end{align}$

Der metrische Tensor

${{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix} {{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0 \\ -{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3 \\ \end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}$

${{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

g i k a k = a i

Wichtig fürs Skalarprodukt:

d s 2 = g i k d x i d x k = g i k d x i d x k

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

$\begin{align} & \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}, & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} ct, & x, & y, & z \\ \end{matrix} \right) \\ & d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\ \end{align}$

Nämlich:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} {{x}_{0}}\acute{\ } \\ {{x}_{1}}\acute{\ } \\ {{x}_{2}}\acute{\ } \\ {{x}_{3}}\acute{\ } \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{x}_{0}} \\ {{x}_{1}} \\ {{x}_{2}} \\ {{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right) \\ & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\ \end{align}$

Mit

${{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

für

v | | x 1

Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

$\begin{align} & {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\ & \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\ \end{align}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

Umkehr- Transformation:

${{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}$

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

$\begin{align} & div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\ & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\ \end{align}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}$

ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten! →

j μ = 0

muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Lorentz- invariant ist!:

$\begin{align} & {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\ & {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\ & {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\ & {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\ \end{align}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

$\begin{align} & {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\ & {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\ & {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\ & {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\ \end{align}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale

$\Phi ,\bar{A}$

sind in der Lorentz- Eichung

$\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Lösungen von

$\begin{align} & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ & \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\ & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\ & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\ & \alpha =1,2,3 \\ \end{align}$

$\begin{align} & \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\ & \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\ \end{align}$

Zusammen:

$\begin{align} & -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\ & {{\Phi }^{0}}:=\phi \\ & {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\ \end{align}$

Da

j μ

Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch

Φ μ

wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}$

lorentz- invariant!:

$\begin{align} & {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\ & {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\ \end{align}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Lorentz- Eichung ↔ Lorentz- Invarianz

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$

(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0$

Umeichung:

$\begin{align} & \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\ & \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\ & \Leftrightarrow \\ & c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\ & {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\ \end{align}$

Also:

${{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF$

Felder E und B:

$\begin{align} & \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\ & \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ & \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\ \end{align}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

$\begin{align} & c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\ & c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\ \end{align}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

$\begin{align} & \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\ \frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\ {{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\ {{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\ {{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Wegen der Antisymmetrie hat

F μν

nur 6 unabhängige Komponenten!

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot\bar{A}=\bar{B}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

$\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}$

erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit

$\bar{v}$

bewegtes System K´ gilt:

${{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}$

${{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder

$\bar{E}$ und $rot\bar{A}=\bar{B}$

berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

$\begin{align} & E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\ & ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\ & {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\ & \\ & E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\ \end{align}$

$E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)$

$\begin{align} & B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\ & B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\ \end{align}$

$B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)$

Zusammenfassung

$\begin{align} & {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\ & {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\ & {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\ & {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\ & {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\ & {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\ \end{align}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

Umeichung:

${{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi$

Somit:

$\begin{align} & {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\ & ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\ \end{align}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

$\begin{align} & \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\ & \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\ & \\ \end{align}$

Mit

$\begin{align} & {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\ & {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\ & \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\ & \\ \end{align}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}$

Komponente

${{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0$

$\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0$

und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

F i k = - F k i

liefert:

$\begin{align} & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\ & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\ \end{align}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0$

${{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$
transformiert unter Lorentz- Trafo

$\begin{align} & {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\ & =\left| \begin{matrix} {{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\ {{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\ {{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\ {{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\ \end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\ & \left( \det U \right)=\pm 1 \\ \end{align}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$ ,

muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor!

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

${{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}$

Mit Pseudovektor

${{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}$

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

(Erregungsgleichungen)

$\begin{align} & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\ & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\ & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\ & wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\ & auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\ \end{align}$

$\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}$

Komponente

$\begin{align} & {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\ & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\ & \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\ & {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\ & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\ & wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\ \end{align}$

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms (Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

$\begin{align} & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\ & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\ \end{align}$

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors!

Bemerkungen

die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

$\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix} 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\ -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\ \end{matrix} \right)$

automatisch erfüllt:

$\begin{align} & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\ & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\ & da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\ & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\ & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\ \end{align}$

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}$

folgt mit Lorentz- Eichung

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$

$\begin{align} & {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\ & also: \\ \end{align}$

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}$

als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

$\begin{align} & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\ & {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\ \end{align}$

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null!!

Gauß- System:

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}$

Relativistisches Hamiltonprinzip

Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

$\begin{align} & \delta W=0 \\ & W=\int_{1}^{2}{{}}ds \\ \end{align}$

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig:

${{\left. \delta {{x}^{i}} \right|}_{1,2}}=0$

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

$W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds$

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

$\begin{align} & \left( {{\phi }^{i}} \right)({{x}^{j}}) \\ & \Rightarrow \\ \end{align}$

$W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}} \right\}$

mit den Lorentz- Invarianten

m 0 c d s

und

φ i d x i

Variation:

$\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c\delta \left( ds \right)-\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right) \right\}$

Nun:

$\begin{align} & \delta \left( ds \right)=\delta {{\left( d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\frac{\left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)}{ds} \\ & \left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\ & =\frac{d{{x}^{\mu }}}{ds}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)={{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\ \end{align}$

Außerdem:

$\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)$

Somit:

$\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}$

Weiter mit partieller Integration:

$\begin{align} & \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \\ & \left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0 \\ & \Rightarrow \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)ds \\ \end{align}$

Weiter:

$\int_{1}^{2}{{}}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=-\left[ {{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }} \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}d{{\phi }^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)$

Mit

$\begin{align} & d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\ & \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\ & \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\ \end{align}$

Einsetzen in

$\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}$

liefert:

$\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}$

Wegen

$\begin{align} & \delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}=0 \\ & {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }} \\ & {{f}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\ \end{align}$

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

$\begin{align} & {{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }} \\ & {{f}^{\mu \nu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\ & {{\phi }^{\mu }}=\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }} \\ & \frac{d}{ds}{{p}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right\}=0 \\ \end{align}$

Man bestimmt die Ortskomponenten

α = 1,2,3

über

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\bar{p}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right) \\ & \\ \end{align}$

überein, denn mit

$\begin{align} & {{u}^{0}}=\gamma \\ & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }} \\ \end{align}$

folgt dann:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}{{p}^{1}}=q\left( {{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}} \right) \\ & =q\left( {{F}^{10}}+{{F}^{21}}\frac{1}{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{1}{c}{{v}^{3}} \right) \\ & =\frac{q}{\gamma }\left( {{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{3}} \right)=\frac{q}{\gamma }{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }} \\ \end{align}$ mit $ds=\frac{c}{\gamma }dt$

$\frac{d}{ds}{{p}^{1}}=\frac{q}{c}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}$

Die zeitartige Komponente

μ = 0

gibt wegen

${{p}^{0}}=\frac{E}{c}$

$\begin{align} & \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{{{c}^{2}}}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}\left( {{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}} \right)= \\ & =\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( -{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}} \right)=\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( {{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}} \right) \\ & \frac{dE}{dt}=q\bar{E}\cdot \bar{v} \\ \end{align}$

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit

Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Wirkungsintegral:

$W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}$

Dabei:

${{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}$

(Teilchen)

$-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}$

(Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte

$m\left( {{x}^{\mu }} \right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte!!!

$\begin{align} & {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\ & d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\ \end{align}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum!!!

Bemerkungen:

$d Ω$
ist eine Lorentz- Invariante, da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${{U}^{\mu }}_{\nu }$

erhalten bleibt.

2) Aus

$d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=

$d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega$

${{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}$

ein Vier- Vektor ist, da

d m 0, d Ω

Lorentz- Skalare sind und natürlich

d x μ

selbst auch ein Vierervektor

${{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}$
ist Lorentz - Invariant.

Also

g μ g μ

ist Lorentz- Invariant. Also auch

$\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)$ .

Somit ist

W t

insgesamt Lorentz- Invariant!

Fakten zu Relativistische Formulierung der ElektrodynamikRDF-Feed

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Kapitel	6 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

Relativistisches Hamiltonprinzip

Eichinvarianz und Ladungserhaltung

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