Relativistische Quntenmechanik

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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Kein GFDL Der Artikel Relativistische Quntenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
Relativistische Quntenmechanik Relativistische Quntenmechanik

Inhaltsverzeichnis
  1. Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie
  2. Klein- Gordon- Gleichung
  3. Dirac- Gleichung für Elektronen
  4. Der nichtrelativistische Grenzfall
  5. Das Wasserstoffatom (relativistsich)
  1. Schrödingsche Wellenmechanik
  2. Formalisierung der Quantenmechanik
  3. Drehimpuls
  4. Spin und Systeme identischer Teilchen
  5. Näherungsmethoden
  6. Streutheorie
  7. Relativistische Quntenmechanik

Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie


Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet (es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird!

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!!

Also: {{\bar{r}}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant!

Formalisierung

Der raumzeitliche Abstand

{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!)

Man kann {{\left( ds \right)}^{2}}

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

\begin{align} & {{x}^{0}}:=ct \\ & {{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\ \end{align}

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors \bar{r}

es schreibt sich

{{\left( ds \right)}^{2}}={{\left( d{{x}^{0}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{1}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( d{{x}^{3}} \right)}^{2}}

Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

\begin{align} & {{x}_{0}}:={{x}^{0}} \\ & {{x}_{\alpha }}:=-{{x}^{\alpha }}\alpha =1,2,3 \\ \end{align}

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums \tilde{V}

\tilde{V}

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

\tilde{V}=\left\{ lineareFunktionale\quad l:V->R \right\}

es schreibt sich

{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben (kontravariant) und ein Index unten (kovariant) steht.

Verallgemeinerung

Für beliebige 4- Vektoren ai

gilt:

\begin{align} & {{a}_{0}}={{a}^{0}} \\ & {{a}_{\alpha }}=-{{a}^{\alpha }}\quad \alpha =1,2,3 \\ \end{align}

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt aiai

schreiben:

Der d´Alemebert-Operator
\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}

Mit

\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }_{i}}

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=\left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \right)=:{{\partial }^{i}}

kontravariant

→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

Also:

\Rightarrow \ \#=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}

Vierergeschwindigkeit

\begin{align} & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds} \\ & ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( {{c}^{2}}d{{t}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left[ 1-{{\left( \frac{1}{c}\frac{d\bar{r}}{dt} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}}dt \\ & ds:={{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}dt=\frac{c}{\gamma }dt \\ \end{align}

Dabei gilt:

\begin{align} & \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left| \frac{d\bar{r}}{dt} \right| \\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\ \end{align}

Also:

\begin{align} & {{u}^{0}}=\gamma \\ & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\ \end{align}

Mit der Eigenzeit

d\tau =\frac{dt}{\gamma }

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen!

{{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{d{{s}^{2}}}=1

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant!

Viererimpuls
\begin{align} & {{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}} \\ & \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\ & {{p}^{0}}=\frac{{{m}_{0}}c}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v)c={{p}_{0}} \\ & {{p}^{\alpha }}=\frac{{{m}_{0}}{{v}^{\alpha }}}{\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}}}=m(v){{v}^{\alpha }}=-{{p}_{\alpha }} \\ \end{align}

Physikalische Bedeutung von p0

Mit der 4-er Kraft: {{k}^{i}}:=\frac{d}{d\tau }{{p}^{i}}

folgt die Leistungsbilanz:

{{k}^{i}}{{u}_{i}}=\left[ \frac{d}{d\tau }\left( {{m}_{0}}c{{u}^{i}} \right) \right]{{u}_{i}}

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

\begin{align} & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{{{m}_{0}}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left( {{u}^{i}}{{u}_{i}} \right)=0 \\ & {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\ \end{align}

also lorentzinvariant!

Außerdem gilt:

\begin{align} & {{k}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right){{u}_{0}}+{{k}^{\alpha }}{{u}_{\alpha }}=\gamma \frac{d}{d\tau }\left( {{p}^{0}} \right)+\frac{\gamma }{c}{{k}^{\alpha }}{{v}_{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}\left[ \frac{d}{d\tau }\left( c{{p}^{0}} \right)-\bar{k}\bar{v} \right]=0 \\ & \left( c{{p}^{0}} \right)=Energie \\ & \bar{k}\bar{v}=Leistung \\ \end{align}

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an \left( {{p}^{0}} \right)=\frac{E}{c} , 

also E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}}

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant \begin{align} & {{p}^{i}}{{p}_{i}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{c}^{2}}}-{{{\bar{p}}}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\ & \bar{p}=\frac{{{m}_{0}}\bar{v}}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\ \end{align}

Also folgt an die Energie:

{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: \begin{align} & {{A}^{ik}} \\ & {{A}^{i}}_{k} \\ & {{A}_{i}}^{k} \\ & {{A}_{ik}} \\ \end{align}

Es gilt:

\begin{align} & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\ & {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\ & {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\ & usw... \\ \end{align}

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

spA={{A}^{i}}_{i}={{A}_{i}}^{i}
- er Einheitstensor
{{\delta }^{k}}_{i}={{\delta }_{i}}^{k}

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

\begin{align} & {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{k}}={{a}^{i}} \\ & {{\delta }_{i}}^{k}{{a}^{kl}}={{a}^{il}} \\ \end{align}

usw..

Der metrische Tensor

\begin{align} & {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}={{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=0 \\ & {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=-{{\delta }^{i}}_{k}\quad f\ddot{u}r\ k=1,2,3 \\ & {{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left( \begin{matrix} 1 & {} & {} & {} \\ {} & -1 & {} & {} \\ {} & {} & -1 & {} \\ {} & {} & {} & -1 \\ \end{matrix} \right)={{g}_{ik}} \\ & {{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}_{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0\Rightarrow {{a}_{i}}={{a}^{i}} \\ & {{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}=-{{a}_{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=1,2,3\Rightarrow -{{a}_{i}}={{a}^{i}} \\ \end{align}

Also:

{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{\delta }^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}\quad f\ddot{u}r\ i=0,1,2,3

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik!

Lorentz- Trnsformationen (linear, homogen) \Sigma \to \Sigma \acute{\ }
\begin{align} & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\ & {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}

für v | | x1

Somit:

{{U}^{k}}_{i}=\left( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Wobei {{\gamma }^{2}}=\frac{1}{1-{{\beta }^{2}}}

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

\begin{align} & a{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{a}^{k}} \\ & b{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{b}^{k}}\Rightarrow b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}_{ik}}{{b}^{k}}={{U}_{i}}^{k}{{b}_{k}} \\ & a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}=!={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\ & also\Rightarrow : \\ & {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}={{\delta }_{k}}^{l} \\ \end{align}

U ist also eine orthogonale Trafo

Umkehr- Transformation:

\begin{align} & {{a}^{i}}={{U}_{k}}^{i}a{{\acute{\ }}^{k}} \\ & {{a}_{i}}={{U}^{k}}_{i}a{{\acute{\ }}_{k}} \\ \end{align}

Denn:

{{U}_{k}}^{i}{{U}^{k}}_{l}{{a}^{l}}={{\delta }^{i}}_{l}{{a}^{l}}={{a}^{i}}

In Matrizenschreibweise:

\begin{align} & {{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\quad \quad {{U}^{k}}_{l}=\left( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{U}^{i}}_{k}{{U}^{k}}_{l}=\left( \begin{matrix} {{\gamma }^{2}}-{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -{{\beta }^{2}}{{\gamma }^{2}}+{{\gamma }^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)={{\delta }^{i}}_{l} \\ \end{align}
Transformationsverhalten des Vierergradienten
\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}:={{\partial }_{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}={{U}^{k}}_{i}\partial {{\acute{\ }}_{k}}

Mit der Identität

\frac{\partial x{{\acute{\ }}^{k}}}{\partial {{x}^{i}}}={{U}^{k}}_{i}

Das heißt jedoch

\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}

transformiert sich wie ai , 

also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}:={{\partial }^{i}}=\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}\frac{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}={{U}_{k}}^{i}\frac{\partial }{\partial x{{\acute{\ }}_{k}}}
\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}

transformiert sich wie ai ,

also kontravariant. (PRÜFEN!)

Klein- Gordon- Gleichung


nichrelativistische Schrödingergleichung

Die nichrelativistische Schrödingergleichung

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi

folgt aus der nicht relativistischen Energie- Impuls- Beziehung

H=\frac{{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}}{2m}+V

über die Ersetzung p\to \frac{\hbar }{i}\nabla in der Ortsdarstellung.

Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:

  1. Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen Ψ(q,t) wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.
  2. {{\left| \Psi (q,t) \right|}^{2}} ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
  3. Die Dynamik ist linear: LΨ(q,t) = 0 wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn Ψ1,Ψ2 Lösung der SGL, dann auch a1Ψ1 + a2Ψ2 für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
  4. Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit Ψ(q,t)eindeutig aus der Anfangsbedingung Ψ(q,0) über i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi bestimmt ist.
  5. Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
  6. Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: A\left| a \right\rangle =a\left| a \right\rangle
  7. Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen: \left\langle \Psi \right|A\left| \Psi \right\rangle
  8. Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren {{\hat{A}}_{i}} mit gemeinsamen Eigenzuständen \left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle

Also:

{{\hat{A}}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle

Mit Orthonormierung:

\left\langle {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... | {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}

Mit Vollständigkeit:

\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right|=1

Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:

\left| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle

Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand \left| \Psi (t) \right\rangle die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:

{{\left| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. | \Psi (t) \right\rangle \right|}^{2}}

Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:

E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}}}

liefert mit E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t} und p\to \frac{\hbar }{i}\nabla

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi (t) \right\rangle =\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }\left| \Psi (t) \right\rangle

Das bedeutet: Heuristisches Vorgehen: Ersetze alle Variablen, die im relativistischen Ausdruck für die Gesamtenergie vorkommen durch die nötigen Operatoren und behandele diesen Ausdruck als neuen Hamiltonian:

\hat{H}=''\hat{E}''

Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da \sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta } eine nicht analytische Funktion eines Operators ist! Ausweg:

{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}

liefert

{{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \right)}^{2}}\left| \Psi (t) \right\rangle =\left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta \right)\left| \Psi (t) \right\rangle

Also:

\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\Box\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi

Klein- Gordon- Gleichung

Ist Lorentz- Invariant, falls Ψ ein Lorentz- Skalar ist. Dies liegt einfach daran, dass \Box={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}} Lorentz- invariant ist (Skalarprodukt eines Vierervektors) Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung: der Spin (der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist!) kann nicht berücksichtigt werden! Denn: Der Zusatz \hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B} ist nicht mehr Lorentz- invariant! Klar! \hat{\bar{\mu }}\bar{B} läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen! Durch die schwierige Interpretation von \sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta } ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen \begin{align} & \Psi (\bar{r},0) \\ & \frac{{{\partial }^{{}}}}{\partial t}\Psi (\bar{r},0) \\ \end{align}

nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen! Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist!: Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung (Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:

{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0

Mit der Vierersstromdichte Ji

Mittels \begin{align} & {{\partial }_{0}}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{0}}}=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \\ & {{\partial }_{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \\ \end{align} schreibt sichs:

\begin{align} & \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0 \\ & {{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=div\bar{J} \\ \end{align}

Dadurch ist jedoch \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0 eine Kontinuitätsgleichung. Also hat J0 die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte!! Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:

{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi

folgt durch c.c.:

{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *

Dabei kann man {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi mit Ψ * und {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi * mitΨ multipliziert werden. Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält:

\Psi *{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\left( \Psi *\Psi -\Psi \Psi * \right)=0

Somit kann man folgern:

{{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)=0

Also ist zulässig:

\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right):={{J}^{i}}\to {{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)={{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0

Also

\left( \Psi *{{\partial }^{0}}\Psi -\Psi {{\partial }^{0}}\Psi * \right)={{J}^{0}}=\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)

Aber \frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right) kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, da J0 negativ werden kann! Statt dessen kann man, bzw. muss man J0 als eine Ladungsdichte ansehen!

Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen!

Ansatz: ebene Welle:

\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}

In Viererschreibweise:

\bar{k}\bar{r}-\omega t=-\left( \frac{\omega }{c}ct-\bar{k}\bar{r} \right)=-{{k}_{j}}{{x}^{j}}=-{{k}^{j}}{{x}_{j}}

mit \begin{align} & {{k}^{0}}=\frac{\omega }{c}={{k}_{0}} \\ & {{k}^{\alpha }}=-{{k}_{\alpha }} \\ \end{align}

Wenn man derart die ebene Welle in die Klein- Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:

\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}={{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}^{j}}{{x}_{j}} \right\}

eingesetzt in

\begin{align} & -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi \\ & \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\ \end{align}

Also kann man die Energie (Eigenwert) angeben zu

E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}

Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:

E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[{{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]

Gute Näherung für \hbar k<<{{m}_{0}}c

Grafisch:

E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie m0c2

E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie − m0c2. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse! Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind. Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum! Die Einstrahlung einer Energie E > 2m0c2 ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!

Aus dem Vakuum!

Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!

Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums! Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit m < 0 und der Ladung q. Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse m > 0 und der Ladung -q: Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee

reicht die Energie nicht aus, also E < 2m0c2, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.

Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit (Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung!

Dirac- Gleichung für Elektronen


Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand \Psi (\bar{r},0)

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in \frac{\partial }{\partial x}

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

\hat{H}=c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta =\frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\cdot \nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi

mit

\bar{\alpha }\cdot \nabla ={{\alpha }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\alpha }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\alpha }^{3}}{{\partial }_{3}}={{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}
i\hbar {{\partial }_{0}}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi

Aufgrund der Isotropie des Raumes können α1,α2,α3

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind α1,α2,α3

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch β

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können \bar{\alpha }

und β

nicht auf die Bahnvariable \bar{r}

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

\Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ . .. \\ {{\Psi }_{n}} \\ \end{matrix} \right)
α1,α2,α3

und somit auch β

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die α1,α2,α3

mit dem Impuls:

\left[ \bar{\alpha },\bar{p} \right]=0

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: \Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ . .. \\ {{\Psi }_{n}} \\ \end{matrix} \right)

Hermitizität

\hat{H},\hat{\bar{p}}

sind hermitesch

{{\hat{H}}^{+}}=c{{\bar{p}}^{+}}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c\bar{p}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{{\bar{\alpha }}^{+}}\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=H

Somit sind auch α1,α2,α3

und somit auch β

hermitesch:

\begin{align} & {{{\bar{\alpha }}}^{+}}=\bar{\alpha } \\ & {{\beta }^{+}}=\beta \\ \end{align}

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators \sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta } . 

Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von \bar{\alpha },\beta

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\ & -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \right)\Psi \\ & \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\left( \bar{\alpha }\bar{p}\beta +\beta \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi \\ & \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi \\ \end{align}

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

\begin{align} & -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi \\ & \Rightarrow \left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi \\ \end{align}

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

\begin{align} & \sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)={{p}^{2}} \\ & \Rightarrow {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1 \\ & \ {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu \\ & {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0 \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ \end{align}

Dabei gilt insbesondere obige Relation αμβ + βαμ = 0

und {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von α , 

also αμundαν

antikommutieren, wie auch αμundβ

\left\{ {{\alpha }^{\mu }},{{\alpha }^{\nu }} \right\}=0
\left\{ {{\alpha }^{\mu }},\beta \right\}=0

Matrizendarstellung von αμundβ

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von αμundβ

sind\pm 1

vμ = cαμ

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von αμundβ

sind\pm 1

αμv = λv

mit \lambda \in R

\begin{align} & {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}v={{\lambda }^{2}}v \\ & {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\lambda }^{2}}=1 \\ & \Rightarrow \lambda =\pm 1 \\ \end{align}

Weiter gilt: tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta \right)=0

Beweis:

tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta \right)=tr\left( \beta (-\beta {{\alpha }^{\mu }}) \right)=-tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=-tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=0

Weitere Einschränkungen:

\begin{align} & tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{\lambda }_{i}}=0 \\ & {{\lambda }_{i}}=\pm 1 \\ \end{align}

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

\begin{align} & {{\sigma }^{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\sigma }^{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\sigma }^{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right) \\ & tr{{\sigma }^{\mu }}=0 \\ \end{align}

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im {{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

\begin{align} & {{\alpha }^{\mu }}=\left( \begin{matrix} 0 & {{\sigma }^{\mu }} \\ {{\sigma }^{\mu }} & 0 \\ \end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\ & \beta =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\ \end{align}

Also schreibt sich der Zustand

\begin{align} & \Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ {{\Psi }_{2}} \\ {{\Psi }_{3}} \\ {{\Psi }_{4}} \\ \end{matrix} \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}(\bar{r},t){{{\bar{e}}}_{s}} \\ & {{{\bar{e}}}_{s}}:=\left( \begin{matrix} 0 \\ . .. \\ 1 \\ . .. \\ \end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\ \end{align}

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

Kontinuitätsgleichung

\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }=-i\hbar c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi \\ & -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}=i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi \right)}^{+}} \\ & {{\left( \beta \Psi \right)}^{+}}={{\Psi }^{+}}\beta \\ & {{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}=\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }} \\ \end{align}

Durch Linksmultiplikation mit Ψ +

bzw. Rechtsmultiplikation mit Ψ

gewinnt man :

\begin{align} & i\hbar {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }=-i\hbar c{{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }^{+}}\beta \Psi \\ & -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi =i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi \right)}^{+}}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi \right)}^{+}}\Psi \\ \end{align}

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

\begin{align} & i\hbar \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \right)=-i\hbar c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right) \\ & \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi \right)=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right) \\ & \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)={{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)+c{{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=0 \\ & \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\rho \\ & \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=\frac{{{j}^{\mu }}}{c} \\ \end{align}

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte {{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\quad \mu =1,2,3

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

{{\partial }_{k}}{{j}^{k}}=0

mit

\begin{align} & {{j}^{0}}=c{{\Psi }^{+}}\Psi =c\sum\limits_{s=1}^{4}{{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}=c\rho } \\ & {{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)=c\sum\limits_{s,s\acute{\ }}^{{}}{{}}{{\Psi }_{S}}*{{\alpha }_{SS\acute{\ }}}^{\mu }{{\Psi }_{S\acute{\ }}}\quad \mu =1,2,3 \\ \end{align}

Der nichtrelativistische Grenzfall


Lösung der Diracgleichung im Ruhesystem:

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi

nur Ruheenergie

\begin{align} & H={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \begin{matrix} 1 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & -1 & {} \\ {} & {} & {} & -1 \\ \end{matrix} \right) \\ & \Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ {{\Psi }_{2}} \\ {{\Psi }_{3}} \\ {{\Psi }_{4}} \\ \end{matrix} \right)\Rightarrow \beta \Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{1}} \\ {{\Psi }_{2}} \\ -{{\Psi }_{3}} \\ -{{\Psi }_{4}} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}

Also lassen sich die folgenden Differentialgleichungen ableiten:

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi ={{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi
\begin{align} & \Rightarrow i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{1,2}}={{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{1,2}} \\ & \Rightarrow i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{3,4}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }_{3,4}} \\ & \\ \end{align}

Die Richtung der Vektoren ist dabei leicht lösbar:

\begin{align} & {{\Psi }_{1,2}}\propto {{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}} \\ & {{\Psi }_{3,4}}\propto {{e}^{\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}} \\ \end{align}

Das heißt, es lassen sich 4 unabhängige Lösungen angeben, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

\begin{align} & {{\Psi }_{1}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{1}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie>0 \\ & {{\Psi }_{2}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{2}}\quad Spin:\downarrow \quad Ruheenergie>0 \\ & {{\Psi }_{3}}={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{3}}\quad Spin:\uparrow \quad Ruheenergie<0 \\ & {{\Psi }_{4}}={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{m}_{0}}{{c}^{2}}t}}{{e}_{4}}\quad Spin:\downarrow \quad Ruheenergie<0 \\ \end{align}

Ankopplung an das elektromagnetische Feld:

Die Ankopplung erfolgt über die Potenziale \bar{A},\Phi

über die Ladung e

Klassisch wissen wir:

\begin{align} & \bar{p}\to \bar{p}-e\bar{A} \\ & H\to H+e\Phi \\ \end{align}

In der Diracgleichung können wir nun so einfach die bereits angegebene Energie, den Hamiltonoperator erweitern und angeben:

i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\beta +e\Phi \right)\Psi

Dabei setzen wir für

\bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla

den kanonischen Impuls und führen den kinetischen Impuls ein gemäß

\bar{\pi }={{p}_{kin}}=\bar{p}-e\bar{A}

Als Lösungsansatz wählen wir

\Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a}} \\ {{\Psi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)

Wobei Ψa zwei Komponenten haben sollte und ein Teilchen mit E\ge 0 bezeichnet.

Auch Ψb besitzt 2 Komponenten für die "Antiteilchen" mit E\le 0:

Damit zerfällt die Dirac-Gleichung in zwei gekoppelte und jeweils zweikomponentige Gleichungen:

\begin{align} & i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{b}}+\left( {{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{a}} \\ & i\hbar {{{\dot{\Psi }}}_{b}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\Psi }_{a}}+\left( -{{m}_{0}}{{c}^{2}}+e\Phi \right){{\Psi }_{b}} \\ \end{align}

Als Ansatz wählen wir

\Psi =\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a}} \\ {{\Psi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)={{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}\frac{t}{\hbar }}}\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)

für E\ge 0.

Also Zerlegung in

{{e}^{-i{{m}_{0}}{{c}^{2}}\frac{t}{\hbar }}}

als schnelle zeitliche Oszillation und

\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)

als langsam zeitabhängige Funktion!

Es folgt:

\begin{align} & i\hbar {{{\dot{\phi }}}_{a}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{a}} \\ & i\hbar {{{\dot{\phi }}}_{b}}=c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{a}}-2{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\phi }_{b}}+e\Phi {{\phi }_{b}} \\ \end{align}

Nichtrelativistische Näherung:

\begin{align} & E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}<<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ & e\Phi <<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow e\Phi {{\phi }_{b}}\approx 0 \\ \end{align}
\begin{align} & {{{\dot{\phi }}}_{b}}\approx 0 \\ & e\Phi {{\phi }_{b}}\approx 0 \\ & \Rightarrow c\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}{{\sigma }^{\mu }}{{\pi }^{\mu }}{{\phi }_{a}}-2{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\phi }_{b}}\approx 0 \\ \end{align}
{{\phi }_{b}}\approx \frac{1}{2{{m}_{0}}c}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}

eingesetzt in

i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}+e\Phi {{\phi }_{a}}

Man kann zeigen:

\begin{align} & \left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)={{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \\ & \Rightarrow i\hbar {{{\dot{\phi }}}_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}} \\ \end{align}

Remember:

\begin{align} & \left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right){{\phi }_{a}}=\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)\times \left( \bar{p}-e\bar{A} \right){{\phi }_{a}} \\ & =\bar{p}\times \left( \bar{p}{{\phi }_{a}} \right)-e\left[ \bar{p}\times \left( \bar{A}{{\phi }_{a}} \right)+\bar{A}\times \bar{p}{{\phi }_{a}} \right]+{{e}^{2}}\left( \bar{A}\times \bar{A} \right)i{{\phi }_{a}} \\ & \bar{p}\times \left( \bar{p}{{\phi }_{a}} \right)=0 \\ & {{e}^{2}}\left( \bar{A}\times \bar{A} \right)i{{\phi }_{a}}=0 \\ & e\left[ \bar{p}\times \left( \bar{A}{{\phi }_{a}} \right)+\bar{A}\times \bar{p}{{\phi }_{a}} \right]=\frac{e\hbar }{i}\bar{B}{{\phi }_{a}} \\ & \\ & \Rightarrow \left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)\left( \bar{\sigma }\bar{\pi } \right)={{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right)={{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}-e\hbar \bar{\sigma }\bar{B} \\ \end{align}

Die verwendeten Identitäten sind dabei natürlich zu zeigen (Übungsaufgabe!)

Also folgt die Bewegungsgleichung für φa:

i\hbar {{\dot{\phi }}_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\bar{\pi }}}^{2}}+i\bar{\sigma }\left( \bar{\pi }\times \bar{\pi } \right) \right)+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}-\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }\bar{B}+e\Phi \right]{{\phi }_{a}}

dies ist die nichtrelativistische Pauli-Gleichung für Spin \pm \frac{\hbar }{2} (vergl. S. 102, Kapitel 4.3) mit dem richtigen gyromagnetischen Verhältnis g=2:

\frac{1}{2{{m}_{0}}}e\hbar \bar{\sigma }=\frac{e}{{{m}_{0}}}\frac{\hbar }{2}\bar{\sigma }=g\frac{e}{{{m}_{0}}}\bar{S}

Vergl. S. 94

Interpretation des vierkomponentigen Spinors:

Teilchen- Freiheitsgrad: {{\Psi }_{a}}=\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ {{\Psi }_{a\downarrow }}(\bar{r},t) \\ \end{matrix} \right)

Antiteilchen Freiheitsgrad: {{\Psi }_{b}}=\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{b\uparrow }}(\bar{r},t) \\ {{\Psi }_{b\downarrow }}(\bar{r},t) \\ \end{matrix} \right)

Spin- Eigenwertproblem in 2x2- Matrixdarstellung

{{\sigma }_{3}}{{\Psi }_{a}}={{\sigma }_{3}}\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ {{\Psi }_{a\downarrow }}(\bar{r},t) \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ {{\Psi }_{a\downarrow }}(\bar{r},t) \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a\uparrow }}(\bar{r},t) \\ -{{\Psi }_{a\downarrow }}(\bar{r},t) \\ \end{matrix} \right)

Spin- Operator in 4x4 Block- Matrix- Darstellung

\begin{align} & \tilde{\sigma }=\left( \begin{matrix} {\bar{\sigma }} & 0 \\ 0 & {\bar{\sigma }} \\ \end{matrix} \right) \\ & \tilde{\sigma }\Psi =\left( \begin{matrix} {\bar{\sigma }} & 0 \\ 0 & {\bar{\sigma }} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a}} \\ {{\Psi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \bar{\sigma }{{\Psi }_{a}} \\ \bar{\sigma }{{\Psi }_{b}} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}

Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung für \bar{A}=0 und symmetrisches V(r):

Bahn- Drehimpuls:

\bar{L}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Mit \bar{r}\times \bar{p} aus dem Bahn-Raum und \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

aus dem Spinor-Raum.

Gesamt- Drehimpuls

\begin{align} & \bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \\ & \bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} 1 & {} & {} & {} \\ {} & 1 & {} & {} \\ {} & {} & 1 & {} \\ {} & {} & {} & 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}

Dabei ist

\bar{J}:=\bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}=\bar{r}\times \bar{p}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }}

eine Erhaltungsgröße. Denn es kann gezeigt werden:

\begin{align} & \left[ \bar{J},H \right]=\left[ \bar{L},H \right]+\frac{\hbar }{2}\left[ \tilde{\bar{\sigma }},H \right]=0 \\ & \left[ \bar{L},H \right]=i\hbar c\bar{\alpha }\times \bar{p} \\ & \left[ \tilde{\bar{\sigma }},H \right]=-2c\bar{\alpha }\times \bar{p} \\ \end{align}

Dies ist leicht zu zeigen!

Wichtig: {{\bar{L}}^{\mu }}

ist keine Konstante der Bewegung

Entwicklung der Dirac- Gleichung für E\ge 0

bis zur ersten Ordnung in \frac{\varepsilon -V}{2{{m}_{0}}{{c}^{2}}}

mit \varepsilon :=E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}

liefert mit \left( \begin{matrix} {{\Psi }_{a}} \\ {{\Psi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)

(Vergl. Schwabl Seite 215 ff.)

\varepsilon {{\phi }_{a}}=\left( \frac{{{p}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)-\frac{{{p}^{4}}}{8{{m}_{0}}^{3}{{c}^{2}}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L} \right){{\phi }_{a}}

Also eine Spin-Bahn-Kopplung von

{{H}_{SB}}=\frac{\hbar }{4{{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}}\frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\bar{\sigma }\cdot \bar{L}

Das Wasserstoffatom (relativistsich)


In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:

\begin{align} & H=\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right) \\ & {{p}_{r}}:=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ & {{\alpha }_{r}}:=\frac{1}{r}\bar{\alpha }\bar{r} \\ & \hbar Q:=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \\ \end{align}

Dabei sind {{p}_{r}},{{\alpha }_{r}},\hbar Q

hermitesche Operatoren

Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:

H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)

Beweis:

\begin{align} & {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q={{\alpha }_{r}}\left[ \frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right)+\frac{i}{r}{{\beta }^{2}}\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \right] \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ & =\frac{{{\alpha }_{r}}}{r}\left( \bar{r}\bar{p}+i\tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)+i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right) \right] \\ & i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)=i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)-i{{r}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right) \\ & \Rightarrow {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{r}\bar{p} \right)+i\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right) \right]=\bar{\alpha }\bar{p} \\ \end{align}

Es gilt weiter:

\left[ \hbar Q,H \right]=0

. 

Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu H

und \hbar Q

Eigenwerte von \hbar Q

\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)={{\beta }^{2}}{{\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)}^{2}} \\ & \left[ \beta ,\tilde{\bar{\sigma }} \right]=0=\left( \begin{matrix} \left[ 1,\tilde{\bar{\sigma }} \right] & {} \\ {} & -\left[ 1,\tilde{\bar{\sigma }} \right] \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\beta }^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)+2\hbar \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)+{{\hbar }^{2}} \\ & \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)={{L}^{2}}+i\tilde{\bar{\sigma }}\left( \bar{L}\times \bar{L} \right) \\ & \left( \bar{L}\times \bar{L} \right)=i\hbar \bar{L} \\ & \Rightarrow \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L} \right)={{L}^{2}}-\hbar \tilde{\bar{\sigma }}(\bar{L}) \\ \end{align}

Somit:

\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+{{\hbar }^{2}}={{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \\ & mit\ {{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}{{{\tilde{\bar{\sigma }}}}^{2}} \\ & {{{\tilde{\bar{\sigma }}}}^{2}}=3 \\ & \left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)=\bar{J} \\ \end{align}

Schließlich also

{{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{\bar{J}}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}

Die Eigenwerte von {{\bar{J}}^{2}}

sind jedoch bekannt, nämlich \hbar j\left( j+1 \right)

mit j=l\pm s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...

\begin{align} & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}\left| j \right\rangle =\left( {{\hbar }^{2}}j(j+1)+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \right)\left| j \right\rangle ={{\hbar }^{2}}{{(j+\frac{1}{2})}^{2}}\left| j \right\rangle \\ & {{(j+\frac{1}{2})}^{2}}:={{q}^{2}} \\ \end{align}

Somit:

\begin{align} & \left( \hbar Q \right)\left| j \right\rangle =\left( \hbar q \right)\left| j \right\rangle \\ & q=\pm 1,\pm 2,... \\ \end{align}

Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für

H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)

Geeignete Darstellung für αr

\begin{align} & {{\left( {{\alpha }_{r}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right){{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }} \\ & \left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right)=2{{\delta }^{\mu \nu }} \\ & \frac{1}{2{{r}^{2}}}2{{x}^{\mu }}{{x}^{\mu }}=\frac{{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}}=1 \\ & {{\alpha }_{r}}\beta +\beta {{\alpha }_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)\bar{r} \\ & \left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)=0\Rightarrow \frac{1}{r}\left( \bar{\alpha }\beta +\beta \bar{\alpha } \right)\bar{r}=0 \\ \end{align}

Für

\beta =\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)

kann dies durch die Darstellung {{\alpha }_{r}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)

mit {{\alpha }_{r}}={{\alpha }_{r}}^{+}

erfüllt werden:

\begin{align} & {{\alpha }_{r}}\beta =\left( \begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \beta {{\alpha }_{r}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ -i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}

Es gilt:

\begin{align} & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ & \bar{r}\bar{p}=\frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r} \\ & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \frac{\hbar }{i}r\frac{\partial }{\partial r}-i\hbar \right)=-i\hbar \left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right) \\ \end{align}

Also

H=\hbar c\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r} \right)-\frac{c\hbar q}{r}\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)+V\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)

Ansatz für den Radialanteil

\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r}\left( \begin{matrix} F(r) \\ G(r) \\ \end{matrix} \right)

Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:

\left( \begin{matrix} {{\phi }_{a}} \\ {{\phi }_{b}} \\ \end{matrix} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r}\left( \begin{matrix} F(r) \\ G(r) \\ \end{matrix} \right)

folgt:

\begin{align} & -\frac{\hbar c}{r}\frac{dG}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}G+\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}F+\frac{V}{r}F=E\frac{F}{r} \\ & \frac{\hbar c}{r}\frac{dF}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}F-\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}G+\frac{V}{r}G=E\frac{G}{r} \\ & V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r} \\ \end{align}

Also:

\begin{align} & \left( E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)F+\hbar c\frac{dG}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}G=0 \\ & \left( E+{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)G-\hbar c\frac{dF}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}F=0 \\ & V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r} \\ \end{align}

Skalentransformation:

\begin{align} & {{a}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}+E}{\hbar c} \\ & {{a}_{2}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}-E}{\hbar c} \\ & a=\sqrt{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}=\frac{\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}}{\hbar c} \\ \end{align}

Führt man des weiteren ein:

\begin{align} & \rho :=ar \\ & \gamma :=\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hbar c}\approx \frac{1}{137} \\ \end{align}

Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,

wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:

\frac{V}{\hbar ca}=-\frac{\gamma }{\rho }
\begin{align} & \left( \frac{d}{d\rho }+\frac{q}{\rho } \right)G-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)F=0 \\ & \left( \frac{d}{d\rho }-\frac{q}{\rho } \right)F-\left( \frac{{{a}_{1}}}{a}+\frac{\gamma }{\rho } \right)G=0 \\ \end{align}

Randbedingung:

F(ρ),G(ρ)

regulär bei \rho \to 0

F(\rho ),G(\rho )\to 0

für \rho \to \infty

Betrachte \begin{align} & \left| E \right|<{{m}_{0}}{{c}^{2}}\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}}>0 \\ & a\in R \\ \end{align}

also gebundene Zustände

Asymptotisches Verhalten:

\begin{align} & \rho \to \infty \\ & \Rightarrow G\acute{\ }=\frac{{{a}_{2}}}{a}F\quad F\acute{\ }=\frac{{{a}_{1}}}{a}G \\ & \Rightarrow G\acute{\ }\acute{\ }=G,\quad F\acute{\ }\acute{\ }=F \\ & \Rightarrow G={{e}^{-\rho }}=F=G={{e}^{-\rho }} \\ \end{align}

Weil e + ρ

divergiert!

\begin{align} & \rho \to 0 \\ & \Rightarrow G\acute{\ }+\frac{q}{\rho }G+\frac{\gamma }{\rho }F=0 \\ & F\acute{\ }-\frac{q}{\rho }F-\frac{\gamma }{\rho }G=0 \\ \end{align}

Ansatz:

\begin{align} & F(\rho )={{f}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ & G(\rho )={{g}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ & \Rightarrow \left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0 \\ & \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ \end{align}

Es existieren nichttriviale Lösungen f0,g0 , 

falls \left( \lambda +q \right)\left( \lambda -q \right)+{{\gamma }^{2}}={{\lambda }^{2}}-{{q}^{2}}+{{\gamma }^{2}}=0

Also \lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0

und regulär bei \rho \to 0

Ansatz:

\begin{align} & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ & G(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}g\left( \rho \right) \\ & \Rightarrow g\acute{\ }-g+\frac{\lambda +q}{\rho }g-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)f=0 \\ & f\acute{\ }-f+\frac{\lambda -q}{\rho }f-\left( \frac{{{a}_{1}}}{a}+\frac{\gamma }{\rho } \right)g=0 \\ \end{align}

Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:

\begin{align} & f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow f\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{(k+1){{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ & g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow g\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{g}_{k}}{{\rho }^{k-1}}} \\ & \frac{f(\rho )}{\rho }=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}=}\frac{{{f}_{0}}}{\rho }+\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ \end{align}

usw... wird dies ebenfalls für g\acute{\ }(\rho ),\frac{g(\rho )}{\rho }

aufgestellt

Koeffizientenvergleich liefert:

\begin{align} & O\left( \frac{1}{\rho } \right):\left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0\quad \quad \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ & \Rightarrow {{f}_{0}},{{g}_{0}} \\ \end{align}

bis auf Normfaktor

\begin{align} & O\left( {{\rho }^{k}} \right):\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0 \\ & \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}}=0 \\ \end{align}

k=0,1,2,.... Rekursionsformel!!

\begin{align} & a\left[ \left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}} \right]-{{a}_{2}}\left[ \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}} \right]=0 \\ & \Rightarrow \left[ a\left( \lambda +q+k+1 \right)+{{a}_{2}}\gamma \right]{{g}_{k+1}}=\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+k+1 \right)-a\gamma \right]{{f}_{k+1}} \\ \end{align}

Verhalten für große k:

ak{{g}_{k+1}}\approx {{a}_{2}}k{{f}_{k+1}}\Rightarrow {{f}_{k}}\approx \frac{a}{{{a}_{2}}}{{g}_{k}}

Dies kann man einsetzen in

\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0

und es folgt:

\begin{align} & \left( k+1 \right){{g}_{k+1}}\approx 2{{g}_{k}} \\ & \Rightarrow \frac{{{g}_{k+1}}}{{{g}_{k}}}\approx \frac{2}{k+1}\Rightarrow {{g}_{k+1}}\approx \frac{{{2}^{k+1}}}{\left( k+1 \right)!}{{g}_{0}} \\ & \Rightarrow g(\rho )\tilde{\ }{{e}^{2\rho }} \\ & \Rightarrow f(\rho )\tilde{\ }{{e}^{2\rho }} \\ \end{align}

Falls die Potenzreihen

f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}},g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}

nicht abbrechen, so divergiert \begin{align} & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ & G(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}g\left( \rho \right) \\ \end{align}

exponentiell für \rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}

Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen!

Also muss es einen Abbruch bei k=n\acute{\ }\in N

geben:

{{f}_{n\acute{\ }+1}}={{g}_{n\acute{\ }+1}}=0

Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:

\begin{align} & -{{g}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow {{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}} \\ & -{{f}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow a{{f}_{n\acute{\ }}}=-{{a}_{1}}{{g}_{n\acute{\ }}} \\ \end{align}

Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da

\frac{{{a}_{2}}}{a}=\frac{a}{{{a}_{1}}}

Setzt man {{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}}

in \left[ a\left( \lambda +q+k+1 \right)+{{a}_{2}}\gamma \right]{{g}_{k+1}}=\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+k+1 \right)-a\gamma \right]{{f}_{k+1}}

ein, so folgt mit k+1=n\acute{\ }

\begin{align} & \frac{a\left( \lambda +q+n\acute{\ } \right)+{{a}_{2}}\gamma }{a}=-\frac{\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+n\acute{\ } \right)-a\gamma \right]}{{{a}_{2}}} \\ & \lambda +q+n\acute{\ }+\frac{{{a}_{2}}}{a}\gamma +\lambda -q+n\acute{\ }+\frac{a}{{{a}_{2}}}\gamma =0 \\ & 2a\left( \lambda +n\acute{\ } \right)=\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{a}_{2}}}-{{a}_{2}} \right)\gamma =\frac{2E}{\hbar c}\gamma \\ & \frac{{{a}^{2}}}{{{a}_{2}}}={{a}_{1}} \\ & {{a}^{2}}{{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}=\frac{{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}

Weiter gilt:

\begin{align} & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ & \Rightarrow \left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}} \right){{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}={{E}^{2}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}

Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel:

E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}}}

Mit der Feinstrukturkonstanten

\gamma \approx \frac{1}{137}
\begin{align} & \lambda =\sqrt{q} \\ & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ & \Rightarrow \left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}} \right){{\left( \lambda +n\acute{\ } \right)}^{2}}={{E}^{2}}{{\gamma }^{2}} \\ \end{align}
\begin{align} & \lambda =\sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}=\sqrt{{{\left( j+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\gamma }^{2}}} \\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n\acute{\ }\in {{N}_{0}} \\ & j=l\pm s \\ \end{align}

entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis O\left( {{\gamma }^{4}} \right) , 

so folgt:
E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]

mit

\lambda \left( \gamma \right)=|q|\sqrt{1-{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}}}=|q|\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}} \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)
\begin{align} & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\left[ n\acute{\ }+|q|-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|} \right) \right]}^{2}}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ & n=n\acute{\ }+\left| q \right| \\ & n\acute{\ }=0,1,2,... \\ & \left| q \right|=j+\frac{1}{2}=1,2,.... \\ & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left[ 1-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|n} \right) \right]}^{-2}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)=\frac{1}{{{n}^{2}}}\left[ 1+\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|n} \right) \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)=\frac{1}{{{n}^{2}}}+\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|{{n}^{3}}} \right)+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ & \left| q \right|=j+\frac{1}{2}=l\pm s+\frac{1}{2} \\ \end{align}

Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein, so folgt:

\begin{align} & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ & n=1,2,3 \\ & j=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...,n-\frac{1}{2},wegen\ n=n\acute{\ }+j+\frac{1}{2} \\ & j=l\pm s \\ \end{align}

Diskussion

O\left( {{\gamma }^{0}} \right):E={{m}_{0}}{{c}^{2}}

Ruheenergie

O\left( {{\gamma }^{2}} \right):\Delta {{E}^{(2)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)=-\frac{{{R}_{H}}}{{{n}^{2}}}

nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum

O\left( {{\gamma }^{4}} \right):\Delta {{E}^{(4)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)

Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung. Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die 2(2j + 1) - fache mj - Entartung+ Parität!

Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: nlj

n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}
\begin{array}{*{35}{l}} {} & n=2:\quad j=\frac{1}{2}:\ 2{{s}_{\frac{1}{2}}}\quad 2{{p}_{\frac{1}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=1 \\ {} & \quad \quad \quad \,j=\frac{3}{2}:\quad \quad \quad 2{{p}_{\frac{3}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=0 \\ \end{array}

n´=0. .

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IndexDiracgleichung  +, Ruheenergie  +, Kanonischen Impuls  +, Kinetischen Impuls  +, Antiteilchen  +, Dirac-Gleichung  +, Pauli-Gleichung  +, Spin-Bahn-Kopplung  +, Bahn-Raum  + und Spinor-Raum  +
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