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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Schrödingsche Wellenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Schrödingsche Wellenmechanik

Schrödingsche Wellenmechanik

Inhaltsverzeichnis

1 Historischer Abriß
2 Kräftefreie Schrödingergleichung
- 2.1 Kräftefreie Schrödingergleichung
  - 2.1.1 Zeitumkehrinvarianz
- 2.2 Wellenpakete
  - 2.2.1 Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:
    - 2.2.1.1 Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)
3 Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen
4 Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)
5 Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände
- 5.1 Ehrenfest- Theorem
- 5.2 Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
6 Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände
7 Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

Historischer Abriß

bis 1900: Klassische Physik
Eine Erweiterung der klassischen Physik wurde notwendig, da einige experimentelle Fakten nicht zu verstehen sind

1900: Planck

Hohlraum- Strahlungsformel

Dabei erste Quantenhypothese: Energie Austausch zwischen Materie und Strahlung im thermodynamischen Gleichgewicht erfolgt in Quanten mit Energie  $E = h ν$  mit    Plancksches Wirkungsquantum)

1905: Einstein

Photoeffekt: Photonen als Lichtquanten mit der Energie $E = h ν$ und dem Impuls $p=\hbar k$ (Compton 1925)

Beim Photoelektrischen Effekt werden trotz eintreffender Photonen zunächst gar keine Elektronen emittiert. Erst ab einer gewissen Schwellfrequenz des eingestrahlten Lichtes, nicht jedoch ab einer gewissen Schwellintensität kommt es dann zur Emission von Elektronen. Deren kinetische Energie steigt jedoch nicht mit der Intensität der eingestrahlten Photonen sondern hängt lediglich von der Frequenz des eingestrahlten Lichtes ab.

1912/13: N. Bohr

Energieterme des Atoms
Rutherford zeigt 1911 durch Streuung von $α$ - Teilchen die Existenz von positiv geladenen Atomkernen mit sehr kleinem Radius.
Modell: Elektronen kreisen um den Kern. Klassische Elektrodynamik fordert jedoch die Abstrahlung von Energie bei beschleunigten Ladungen. Dann müssten die Elektronen spiralförmig in den Kern stürzen.
Bohrs ad hoc Postulat: Stabile Bahnen mit diskreten Energien sind möglich:

Energie: $E n$
Strahlung: $h ν = E 2 - E 1$ bei Übergang ${{E}_{2}}\to {{E}_{1}}$
Quantenbedingung: $\oint\limits_{{}}{pdq}=2\pi {{p}_{\phi }}=nh$ , n aus ganzen Zahlen

Wir erinnern uns: Dies entspricht einer Transformation der klassischen Hamiltonfunktion auf Wirkungsvariablen!

Man bekommt eine Quantisierungsbedingung, wenn man fordert, dass der Drehimpuls auf den Bahnen quantisiert ist! Dies war das eigentliche ad- hoc- Postulat von Bohr.

Seine Metapher war: Es existieren nur Bahnen, auf denen ein halbzahliges Vielfaches der Elektronenwellenlänge untergebracht werden kann, um die Elektronenwelle auf der Bahn stetig schließen zu können! (dazu existieren schöne, veranschaulichende Bildchen mit ganzen Wellen auf den äußeren Bahnen!)

Aus den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt dann aus dieser Quantisierungsbedingung für den Drehimpuls eine Quantisierungbedingung an die Energie:

${{E}_{n}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{{{a}_{B}}2{{n}^{2}}}$

mit dem Bohrschen Radius

${{a}_{B}}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{{{m}_{e}}{{e}^{2}}}$

Wir stellen analog zur Darstellung der kinetischen Energie in der Hamiltonschen Mechanik fest: Der Hamiltonoperator kann dargestellt werden:

$H=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( r \right)=\frac{{{{\hat{L}}}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+\frac{{{{\hat{p}}}_{r}}^{2}}{2m}+V\left( r \right)$

1924 L. de Broglie: Materiewellen

Beliebigen, freien Teilchen wird mittels der Beziehungen $E = h ν$ und $\bar{p}=\hbar \bar{k}$ eine Frequenz $ω = 2πν$ und über $\left| {\bar{k}} \right|=\frac{2\pi }{\lambda }$ eine Wellenlänge (De-Broglie-Wellenlänge) zugeordnet.

Ganz in Analogie zum Licht.

Dispersionsbeziehung der De- Broglie Welle

Beschriftung
nichtrelativistisch	relativistisch
$E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\hbar \omega \left( {\bar{k}} \right)$	$E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{p}^{2}}}$
$\omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}$	$\omega (\bar{k})=\frac{1}{\hbar }\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}$

Mit der Teilchengeschwindigkeit v ergibt sich:

p = m v

$p=\frac{{{m}_{0}}v}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}$

$E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}$

Phasengeschwindigkeit der de Broglie Welle:

${{v}_{ph}}:=\frac{\omega }{k}=\frac{\hbar k}{2m}=\frac{v}{2}$

${{v}_{ph}}:=\frac{\omega }{k}=\frac{E}{p}=\frac{{{c}^{2}}}{v}>c$

v p h = v = c

für Photonen im Vakuum

Gruppengeschwindigkeit:

${{v}_{Gr}}:=\frac{d\omega }{dk}=\frac{\hbar k}{m}=v$

${{v}_{Gr}}:=\frac{d\omega }{dk}=\frac{{{c}^{2}}k}{\omega }=\frac{{{c}^{2}}}{{{v}_{ph}}}=v$

Die Gruppengeschwindigkeit der De- Broglie- Wellen ist also gleich der Teilchengeschwindigkeit

Für ebene Wellen gilt:

${{v}_{Gr}}:=\frac{d\omega }{dk}=\frac{\omega }{k}={{v}_{ph}}$

für ebene Wellen im Vakuum ist die Frequenz also linear von der Wellenzahl abhängig! Dies gilt nicht mehr im Medium!

Experimenteller Nachweis

Elektronenstrahlen zeigen Interferenz, also eindeutige Welleneigenschaften (Davisson, Germer, 1927, Rupp 1928)

Aus einer Glühkathode mit Beschleunigungsspannung fliegen die Elektronen auf die Probe, eine Metallfolie mit Gitterkonstante a. Dabei zeigen sich Bereiche konstruktiver Interferenz auf dem Fluoreszenzschirm.

Die Bedingung für konstruktive Interferenz (Nebenmaxima) ist:

$a\sin \vartheta =n\lambda$

Anwendung: Elektronenmikroskopie

Doppelspaltexperiment:

Fall a,b enstprechen dem 1. Spalt, Fall c entspricht dem Doppelspalt

Im Fall a) und b) wird nur ein Spalt freigegeben.

Die Intensität der Schwärzung:

$\rho (\bar{x},t)\tilde{\ }{{\left| \Psi (\bar{x},t) \right|}^{2}}$

folgt einer Gaußverteilung. Der Aufbau wird derart realisiert, dass jedes Elektron einen lokalisierten Lichtblitz erzeugt.

$\rho (\bar{x},t)$ ist also nicht als Materiedichte sondern als WSK- Dichte, das Teilchen am Ort $\bar{x}$ zur Zeit t anzutreffen, zu interpretieren.

Die Häufigkeitsverteilung de Auftreffens ergibt dann das Beugungsbild. Dies ist wesentlich. Es handelt sich eben nicht um Interferenz gleichzeitig propagierender Elektronen. Selbst mit einzelnen Elektronen ergibt sich das gezeigte Bild. Im Fall c), wenn beide Spalte offen sind, kommt es gerade zu der angesprochenen interferierenden Verteilung. Dabei gilt:

$\rho (\bar{x},t)\tilde{\ }{{\left| {{\Psi }_{A}}(\bar{x},t)+{{\Psi }_{B}}(\bar{x},t) \right|}^{2}}$

Dies ist das Superpositionsprinzip mit der Interpretation des Betragsquadrats als Wahrscheinlichkeit. Aus diesen beiden Axiomen folgt die Interferenz der Quantenmechanik! Das Superpositionsprinzip folgt aus der Linearität der Schrödingergleichung!

Zusammenfassung: Welle- Teilchen- Dualismus (ohne äußere Potenziale)

Wellenexperimente

Licht: klassisch als Welle verstanden:

$\begin{align} & \omega ,\bar{k} \\ & \omega =c\left| {\bar{k}} \right| \\ \end{align}$

Elektron: quantenmechanische Vorstellung einer Welle:

$\omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}\quad \omega =\frac{E}{\hbar }\quad \bar{k}=\frac{{\bar{p}}}{\hbar }$

Teilchenexperimente (Photoeffekt, Comptoneffekt)

nicht klassisch bei Licht:

$\begin{align} & E=\hbar \omega \\ & \bar{p}=\hbar \bar{k} \\ & E=cp \\ \end{align}$

klassisch bei Elektronen:

$E,\bar{p}$

wie bei Teilchen:

$E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$

(nichtrelativistisch)

Weitere Entwicklung

‘1925: Schrödinger E.: Wellen- Mechanik

Schrödingergleichung:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V(\bar{r})\Psi$

Dies entspricht einer nichtrelativistischen Wellengleichung für die Wellenfunktion $\Psi (\bar{r},t)$

‘1925: Heisenberg: Matrizenmechanik

Entwicklung der kanonischen Vertauschungsrelationen für die kanonische Variable $\bar{q}$ , entsprechend $\bar{q}=\bar{r}$ , Ort und $\bar{p}$ = Impuls:

$\left[ {{p}_{k}},{{q}_{l}} \right]:=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}$

Interpretation von p und q als unendlichdimensionale Matrizen (in der heutigen Sprache: lineare Operatoren im Hilbertraum).

Ab 1925: Quantentheorie (Kopenhagener Deutung)

‘1927: Max Born:

Statistische Interpretation der Wellenfunktion: Betragsquadrat ist Aufenthaltswahrscheinlichkeit

‘1932: J. v. Neumann:

Äquivalenz von Wellen- und Matrizenmechanik

Dirac, P.:

Relativistische Quantentheorie

R. Feynman:

Quantenelektrodynamik

Kräftefreie Schrödingergleichung

(Keine äußeren Potenziale)

Die Bewegungsgleichung für die Materiewellenfunktion

$\Psi (\bar{r},t)$

soll die folgenden Postulate erfüllen:

Sie soll eine DGL 1.Ordnung in der zeit sein, damit $\Psi (\bar{r},t)$ durch die Anfangsverteilung $\Psi (\bar{r},0)$ bestimmt ist ( der qm. Zustand ist vollständig durch $\Psi (\bar{r},t)$ festgelegt).
Sie soll linear in $\Psi (\bar{r},t)$ sein, damit das Superpositionsprinzip gilt.
Außerdem soll sie homogen sein.
Durch das Superpositionsprinzip sind Linearkombinationen von Lösungen wieder Lösungen. Damit werden die Interferenzeffekte mathematisch greifbar.
Die Gleichung soll keine speziellen Bewegungsgrößen wie $E,\bar{p}$ enthalten. Nur so können Wellenpakete durch Überlagerung verschiedener $\bar{p}$ Werte gebildet werden.
Ebene Wellen: $\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}$ mit $\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}$ sollen Lösung sein. Dabei gilt $\omega (k)=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m}$ wegen des Zusammenhangs $E=\hbar \omega ,p=\hbar k,E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$

Somit auch für Photonen:

$\begin{align} & E=pc=\hbar \omega ,p=\hbar k \\ & \Rightarrow \frac{\omega }{k}=c \\ \end{align}$

Also ergibt sich:

$\frac{\partial }{\partial t}\Psi =-i\omega \Psi =-i\hbar \frac{{{k}^{2}}}{2m}\Psi =\frac{i}{\hbar }\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi$

Also:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi$

Dies ist die freie, zeitabhängige Schrödingergleichung

Bemerkungen

Die physikalische Bedeutung der Wellenfunktion $\Psi (\bar{r},t)$ : ${{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r$ ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumen d³r am Ort $\bar{r}$ zu finden. $\Psi (\bar{r},t)=\left| \Psi (\bar{r},t) \right|{{e}^{i\phi (r,t)}}$ wird Wahrscheinlichkeitsamplitude genannt. Sie ist komplex und besteht aus Betrag und Phase. Dabei sind die relativen Phasen in Interferenzexperimenten beobachtbar. ${{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
Normierung: $\int_{V}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r=1$
Die Schrödingergleichung ist ZEITUMKEHRINVARIANT, das heißt zu jedem Bewegungsablauf ${{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}$ ist auch der zeitumgekehrte ${{\left| \Psi (\bar{r},-t) \right|}^{2}}$ ein physikalisch möglicher Vorgang:

Zeitumkehrinvarianz

Die Transformationsvorschrift lautet:

$\begin{align} & t->-t \\ & i->-i \\ \end{align}$

Also:

$\Psi (\bar{r},t)\to \Psi *(\bar{r},-t)$

Beweis:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi$ werde gelöst von $\Psi (\bar{r},t)$

Die ganze Gleichung kann natürlich komplex konjugiert werden:

$-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *$

Ersetzt man nun t durch -t, so folgt:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},-t)=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi *(\bar{r},-t)$

Also: Mit $\Psi (\bar{r},t)$ ist auch $\Psi *(\bar{r},-t)$ Lösung der Schrödingergleichung

Zu Punkt 3: Mathematisch bedeutet dies: Alle Transformationen müssen unitär sein ! Physikalisch sind nur unitäre Transformationen, weil man sonst durch Zeitumkehr nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkommt !

Wellenpakete

Ebene Wellen der Form

$\Psi (\bar{r},t)=C{{e}^{i(kx-\omega t)}}$

haben eine räumlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte |C|², falls dieser Vorfaktor nicht vom Ort abhängt ( im Gegensatz zu Kugelwellen). Die Phase verschwindet bei Betragsbildung völlig! Lokalisierte Zustände können grundsätzlich durch die Superposition ebener Wellen dargestellt werden:

$\begin{align} & \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{\tilde{\Psi }(\bar{k})}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}{{d}^{3}}k \\ & \omega (\bar{k})=\frac{\hbar {{k}^{2}}}{2m} \\ \end{align}$

Man kann sich derartige Wellenpakete veranschaulichen: eindimensional: Die Phase kx-w(k)t kann nun um k=ko entwickelt werden:

$\omega (\bar{k})=\omega ({{k}_{0}})+{{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}(k-{{k}_{0}})+....$

Dabei sei:

$\begin{align} & \omega ({{k}_{0}}):={{\omega }_{0}} \\ & (k-{{k}_{0}}):=k\acute{\ } \\ & {{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}={{v}_{g}} \\ \end{align}$

Somit folgt für obige Wellenfunktion ( unser Paketchen):

$\begin{align} & \Psi (\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{i\left[ ({{k}_{0}}+k\acute{\ })x-({{\omega }_{0}}+{{v}_{g}}k\acute{\ })t \right]}} \\ & \Psi (\bar{r},t)={{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}} \\ \end{align}$

Dabei stellt

${{e}^{i({{k}_{0}}x-{{\omega }_{0}}t)}}$

ein Trägerwelle mit der Phasengeschwindigkeit

${{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{{{k}_{0}}}$

dar und

$\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}$

repräsentiert eine Einhüllende A(x,t), die langsam zeit- und ortsveränderlich ist, da ja nur die Terme mit

$\left| k\acute{\ } \right|<<{{k}_{0}}$

nennenswerte Beiträge zum Integral liefern. Wegen der Taylorentwicklung ,macht dieser Schritt jedoch nur Sinn für Systeme, die um k0 lokalisiert sind ! Also für impulsmäßig lokalisierte Systeme ( endliche Farbbandbreite eines Lichtpulses etc...). Grafisch:

Bewegung der Einhüllenden: Setze:

$A(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}=const$

Dies gilt jedoch nur infinitesimal. Man kann jedoch das MAXIMUM von A(x,t) wählen:

$dA(x,t)=\frac{\partial A(x,t)}{\partial x}dx+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}dt$

$dA(x,t)=\int_{{}}^{{}}{dk\acute{\ }\tilde{\Psi }({{k}_{0}}+k\acute{\ })}{{e}^{ik\acute{\ }\left[ x-{{v}_{g}}t \right]}}\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0$

Dies jedoch bedingt:

$\left\{ ik\acute{\ }dx-ik\acute{\ }{{v}_{g}}dt \right\}=0$

Also:

$dx={{v}_{g}}dt\Rightarrow {{\left. \frac{dx}{dt} \right|}_{A=const}}={{v}_{g}}$

Jedenfalls bewegt sich der Schwerpunkt mit der Gruppengeschwindigkeit vg

${{v}_{g}}={{\left. \frac{d\omega }{dk} \right|}_{{{k}_{0}}}}=\frac{\hbar {{k}_{0}}}{m}=\frac{{{p}_{0}}}{m}=v$

als klassische Teilchengeschwindigkeit

Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:

Sei t=0

$\Psi (x,0)=\int_{-\infty }^{\infty }{dk\tilde{\Psi }(k)}{{e}^{ikx}}$

Dies ist gerade die Fourierdarstellung mit der Fourier- Transformierten

$\begin{align} & \Phi (k)=\sqrt{2\pi }\tilde{\Psi }(k): \\ & \Phi (k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{dx\Psi (x,0)}{{e}^{-ikx}} \\ \end{align}$

Interpretation der Unschärferelation: je schärfer lokalisiert im k- Raum das Wellenpaket ist, desto breiter ist es im x-Raum und umgekehrt. Dies ist jedoch eine ganz allgemeine Eigenschaft der Fouriertransformation.

Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)

$\tilde{\Psi }(k)=\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}{dx{{e}^{-ikx}}=}\frac{1}{2\pi }\left. \frac{{{e}^{-ikx}}}{-ik} \right|_{-\frac{\Delta x}{2}}^{\frac{\Delta x}{2}}=\frac{\Delta x}{2\pi }\frac{\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)}{k\frac{\Delta x}{2}}$

Die Fouriertransformierte der Rec- Funktion ist als die Sincfunktion mit der inversen Breite der Spaltfunktion. Denn:

$\sin \left( k\frac{\Delta x}{2} \right)$

moduliert im k- Raum entsprechend schnell, wenn die Konstante

Δ x

entsprechend groß ist !

Für t>0 zerfließt das Wellenpaket, da sich die einzelnen k- Komponenten verschieden schnell ausbreiten:

${{v}_{Ph}}=\frac{{{\omega }_{{}}}}{k}=\frac{\hbar k}{m}$

Grund ist die nichtlineare Dispersionsbeziehung

ω(k)

Das quantenmechanische Wellenpaket zeigt nun bereits im kräftefreien Fall Dispersion (Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen im Vakuum). Das heißt, beispielsweise ein lokalisiertes Gauß- Paket „zerfließt " bei Ausbreitung mit der Gruppengeschwindigkeit v_g. Dies muss im Sinne von Wahrscheinlichkeit interpretiert werden. (Interessantes Argument gegen Befürworter einer Theorie von Materiedichte: Das Auseinanderlaufen des Paketes wäre ein Widerspruch zur Stabilität der Materie !) Es handelt sich um eine Verbreiterung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit und nicht um ein Zerfließen von Materie !! Also: nicht die Materie ist hier diffus verteilt, sondern nur ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit !! Makroskopische Objekte zerfließen auf sehr langer Zeitskala! Auch hinsichtlich der Aufenthaltswahrscheinlichkeit!

Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen

Für $\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}$ als Lösung der kräftefreien Schrödingergleichung gilt:

$\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)=\hbar \bar{k}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)$

Mit $\bar{p}$ , dem Impuls des Elektrons nach De Broglie

Im kräftefreien Zustand $Ψ$ erhält man also den Meßwert des Impulses $\bar{p}$ durch die Anwendung des Impulsoperators $\frac{\hbar }{i}\nabla$ auf die Wellenfunktion

Die Gleichung $\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)=\hbar \bar{k}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)$ ist eine Eigenwertgleichung des Impulsoperators:

$\hat{\bar{p}}\Psi (\bar{r},t)=\bar{p}\Psi (\bar{r},t)$

Somit sehen wir im quantenmechanischen Formalismus folgende Zusammenhänge:

Zusand → beschrieben durch Wellenfunktion Psi (beschreibt den Zustand vollständig)
Observable → Beispiel: Impulsoperator $\frac{\hbar }{i}\nabla$
Meßwert: → Eigenwert eines Operators, beim Impuls: $\hbar \bar{k}=\bar{p}\quad \in {{R}^{3}}!$
Mittelwert vieler Messungen → Erwartungswert: $\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r$
Für einen Impuls- Eigenzustand: $\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\hat{\bar{p}}\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\bar{p}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Psi *}\Psi {{d}^{3}}r=\bar{p}$

Bemerkung:

Klassische Mechanik: Der Impuls ist Erhaltungsgröße, falls keine äußeren Kräfte wirken

Quantenmechanik: Der Impuls-Eigenzustand $\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\omega t)}}$ ist lediglich Lösung der FREIEN Schrödingergleichung

Operator der Energie/ Hamiltonoperator

Kinetische Energie: $T=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}\to \frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta =:\hat{H}$

Da die Energie erhalten bleibt gewinnt man eine stationäre Schrödingergleichung:

$\hat{H}\Psi =E\Psi$

Die Bewegung des Zustandes wird wieder durch die Schrödingergleichung beschrieben:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$

Diese ist jedoch die kräftefreie Schrödingergleichung.

Dies kann auf äußere Potenziale verallgemeinert werden: Wir ziehen die Analogie

Hamiltonfunktion—à Hamiltonoperator:

$H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\frac{1}{2m}{{p}^{2}}+V(\bar{q})\to \hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}+V(\hat{\bar{r}})=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}})$

Die verallgemeinerte Koordinate q wird dabei durch den Orts- OPERATOR ersetzt.

also folgt:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)=\hat{H}\Psi (\bar{r},t)=\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\hat{\bar{r}}) \right)\Psi (\bar{r},t)$

Dies ist die Schrödinger- Gleichung, ein Postulat, durch einen Analogieschluss motiviert.

Vielelektronensysteme:

Die klassische Hamiltonfunktion für ein System N gleicher Teilchen mit den Koordinaten

${{\bar{q}}_{1}},...,{{\bar{q}}_{N}}$ und den Impulsen ${{\bar{p}}_{1}},...,{{\bar{p}}_{N}}$ lautet:

$H(\bar{p},\bar{q})=T+V=\sum\limits_{i}{{}}\left( \frac{1}{2m}{{p}_{i}}^{2}+V({{{\bar{q}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{q}}}_{i}}-{{{\bar{q}}}_{j}})}$

W sei dabei der Wechselwirkungsoperator (noch unbekannt), so dass wir den Hamilton- Operator angeben können:

$\hat{H}=\sum\limits_{i}{{}}\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\Delta }_{i}}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}^{{}}{W({{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}})}$

Es ergibt sich die Schrödingergleichung:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$ , deren Eigenfunktionen die Vielteilchenwellenfunktionen

$\Psi ({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}},t)$ sind.

Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t das Elektron i=1 in d³r1,....usw... und das Elektron i=N in d³rN anzutreffen lautet:

${{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}{{r}_{1}}...{{d}^{3}}{{r}_{N}}$

Also wird damit ein Gleichzeitiges Ereignis aller Elektronen beschrieben:

i = 1

an ${{\bar{r}}_{1}}$ ....

i = N

an ${{\bar{r}}_{N}}$

Dabei wird jedoch die Ununterscheidbarkeit zunächst noch nicht berücksichtigt. Merke:

${{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}$ ist eine Funktion, die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen über dem Ort anzutreffen, an best. orten anzutreffen. Es macht keinen Sinn, davon zu reden, wie große die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort $\bar{r}$ anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer NULL!!!

Das Elektron im elektromagnetischen Feld

Die Klassische Lagrangefunktion lautet: $L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}+e\left[ \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right]$ Das elektrische Feld lautet:

$\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)$ elektrisches Feld mit dem skalaren Potenzial $\Phi (\bar{q},t)$

Das magnetische :

$\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)$ magnetische Induktion mit dem Vektorpotenzial $\bar{A}(\bar{q},t)$

und mit der Ladung e<0 im mks- System! (SI- Einheiten) Die klassische Hamiltonfunktion finden wir über die kanonisch konjugierten Impulse:

$\begin{align} & {{p}_{i}}=\frac{\partial L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=m{{{\dot{q}}}_{i}}+e{{A}_{i}}(\bar{q},t) \\ & \Leftrightarrow \dot{\bar{q}}=\frac{1}{m}\left( \bar{p}-e\bar{A} \right) \\ \end{align}$

Dabei bezeichnet $\bar{p}-e\bar{A}$ den kinetischen Impuls. $\bar{p}$ ist der kanonische Impuls (eine zum Ort kanonisch konjugierte Variable, kanonisch konjugiert ↔ erfüllt Poissonklammerformalismus → ist für den Hamiltonformalismus geeignet!)

Es ergibt sich die klassische Hamiltonfunktion:

$H(\bar{p},\bar{q})=\bar{p}\dot{\bar{q}}-L=T+V=\left( m\dot{\bar{q}}+e\bar{A} \right)\dot{\bar{q}}-\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}-e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}-\Phi \right)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\Phi =\frac{1}{2m}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+e\Phi$ Also können wir auch hier analog den Hamiltonoperator finden:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+e\Phi (\hat{\bar{r}},t)$

Wir identifizieren:

$e\Phi (\hat{\bar{r}},t)=V(\bar{r},t)$

Dies ist ein schönes Ergebnis, weil eben, wie in der klassischen Hamiltonfunktion die Kräfte als Gradienten der Potenziale folgen:

$\begin{align} & {{{\bar{F}}}_{el.}}=-e\nabla \Phi (\hat{\bar{r}},t) \\ & {{{\bar{F}}}_{mag.}}(Lorentz)=q\bar{v}\times \bar{B} \\ \end{align}$

Diese Gleichung gilt natürlich nur für nichtrelativistische Elektronen,. Die Potenziale $\Phi ,\bar{A}$ werden von außen vorgegeben. und sind nicht quantisiert

Eichtransformation:

$\begin{align} & \bar{A}\acute{\ }(\bar{r},t)=\bar{A}(\bar{r},t)+\nabla G(\bar{r},t) \\ & \Phi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Phi (\bar{r},t)-\dot{G}(\bar{r},t) \\ \end{align}$

Dies ist eine zulässige Umeichung mit einer beliebigen, zweifach stetig diffbaren Funktion $G(\bar{r},t)$ Durch Einsetzen in

$\bar{E}=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\dot{\bar{A}}(\bar{q},t)$

$\bar{B}=\nabla x\bar{A}(\bar{q},t)$

zeigt sich

$\bar{E}=\bar{E}\acute{\ }$

$\bar{B}=\bar{B}\acute{\ }$

Jedoch muss die Wellenfunktion auch umgeeicht werden:

$\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}$

Die Beschränkung der Eichung auf Phasenfaktoren geschieht wegen der Eichinvarianz der Wahrscheinlichkeitsdichte:

${{\left| \Psi \acute{\ }(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}$

Beweis: Zeige: $i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }=\hat{H}\acute{\ }\Psi \acute{\ }\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\hat{H}\Psi$

$\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\frac{\hbar }{i}\nabla \left\{ \Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}} \right\}={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla \Psi (\bar{r},t)+e(\nabla G(\bar{r},t))\Psi (\bar{r},t) \right\}$
$\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e(\bar{A}\acute{\ }-\nabla G(\bar{r},t)) \right\}\Psi (\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right\}\Psi (\bar{r},t)$
${{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}{{\left\{ \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right\}}^{2}}\Psi (\bar{r},t)$
$\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}{{\left\{ \frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)+e\Phi -e\dot{G}(\bar{r},t) \right\}}^{2}}\Psi (\bar{r},t)$

dabei:

$\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}\acute{\ } \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\hat{H}\acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)$

$\left( \frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)+e\Phi \right)\Psi (\bar{r},t)=\hat{H}\Psi (\bar{r},t)$

Schritt 4 repräsentiert die linke Seite der Schrödingergleichung. Gleichzeitig:

$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\{ \Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}} \right\}={{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}\left\{ i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)+e\dot{G}\Psi (\bar{r},t) \right\}$

Da Gleichung4) und 5) gleich sein müssen folgt als Bedingung

$\hat{H}\Psi (\bar{r},t)=i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)$

Was ja gerade die nicht umgeeichte Schrödingergleichung ist. Fazit: Die Schrödingergleichung ist eichinvariant, falls die Wellenfunktion gemäß $\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }G(\bar{r},t)}}$ umgeeicht wird.

Aharanov- Bohm- Effekt

Zunächst werde ein Magnetfeld $\bar{B}(\bar{r})$ im Inneren einer langen Spule erzeugt. Außerhalb der Spule sei B=0

Die Spule werde von einem zeitlich konstanten Strom durchflossen, so dass $\bar{B}(\bar{r})$ zeitunabhängig wird. Außerhalb der Spule ist B=0, jedoch muss das Vektorpotenzial nicht notwendigerweise verschwinden. Es darf nur keine Wirbel aufweisen. Außerhalb der Spule gilt:

$\begin{align} & \bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0 \\ & \Rightarrow \bar{A}=\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ \end{align}$

Das Vektorpotenzial muss sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen (im Außenraum). Betrachten wir den Bereich $\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0$ Wir können das magnetostatische Potenzial $\Lambda (\bar{r})$ retour aus dem Vektorpotenzial gewinnen:

$\begin{align} & \Lambda (\bar{r})=\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}} \\ & \Rightarrow \nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0 \\ \end{align}$

Wegen $\nabla \Lambda (\bar{r})\ne 0$ ist das System integrabel → Lösbar durch Integration! Für einen beliebigen Weg innerhalb des einfach zusammenhängenden Gebietes mit $\bar{B}(\bar{r})=\nabla x\bar{A}=0$ Unsere Wellenfunktion gehorcht der Gleichung:

$\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+e\Phi \Psi (\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)$

Wir führen die Eichtransformation durch:

$\bar{A}\acute{\ }=\bar{A}-\nabla \Lambda (\bar{r}):=\bar{A}+\nabla G(\bar{r})=0$

Wie oben gezeigt wurde, gehorcht nun die Wellenfunktion

$\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\Lambda (\bar{r},t)}}$

der Gleichung $\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla \right)}^{2}}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)+e\Phi \acute{\ }\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)$ Ansatz: Umeichung der Wellenfunktion bei der Eichtransformation der Potenziale!

Also:

$\Psi \acute{\ }(\bar{r},t)=\Psi (\bar{r},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Der Phasenterm ist also wegabhängig! Es kommt zu Interferenzen! Dabei gilt:

$\Psi (\bar{r},t):\bar{A}\ne 0$

und für

$\Psi \acute{\ }(\bar{r},t):\bar{A}\acute{\ }=0$

Elektroneninterferenzexperiment:

Neben der geschilderten Spule führe man ein Elektroneninterferenzexperiment durch: Das Elektron bewegt sich dabei nur in Gebieten mit B=0 (die Spule ist durch einen unendlich hohen Potenzialwall abgeschirmt). Falls nur Spalt 1 offen ist, so gilt:

${{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Falls nur Spalt 2, so gilt:

${{\Psi }_{2}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Mit $\begin{align} & {{\Psi }_{i}}({{{\bar{r}}}_{s}})\to \bar{A}\ne 0 \\ & {{\Psi }_{2}}\acute{\ }\to \bar{A}\acute{\ }=0 \\ \end{align}$ Sind beide Spalte offen:

$\Psi ({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}({{\bar{r}}_{s}})+{{\Psi }_{2}}({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Es gilt:

$\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}-\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=\oint\limits_{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=\int\limits_{{}}^{{}}{d\bar{f}\ rot\bar{A}}=\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}={{\Phi }_{B}}}$

Dies ist der EINGESCHLOSSENE magnetische Fluss, also der magnetische Fluss innerhalb der Spule. Damit folgt:

$\Psi ({{\bar{r}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Denn:

$\begin{align} & \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}})={{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\ & =\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\oint\limits_{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{}}^{{}}{d\bar{f}\ rot\bar{A}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\ & =\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\left( {{\Psi }_{1}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }({{{\bar{r}}}_{s}},t) \right){{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \\ \end{align}$

Das bedeutet, die relative Phase zwischen $Ψ 1$ und $Ψ 2$ und damit auch das Interferenzbild ändert sich, wenn sich der eingeschlossene magnetische Fluss $\int\limits_{{}}^{{}}{\bar{B}d\bar{f}={{\Phi }_{B}}}$ verschiebt, obgleich die Elektronenwellen ausschließlich im FELDFREIEN Gebiet $\bar{B}=0$ verlaufen:

${{\left| \Psi ({{{\bar{r}}}_{s}}) \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{1}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}+{{\Psi }_{2}}\acute{\ }{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }\int\limits_{2}^{{}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{1}}\acute{\ } \right|}^{2}}+{{\left| {{\Psi }_{2}}\acute{\ } \right|}^{2}}+2\operatorname{Re}\left[ {{\Psi }_{1}}\acute{\ }{{\Psi }_{2}}\acute{\ }*{{e}^{-i\frac{e}{\hbar }{{\Phi }_{B}}}} \right]$

Flußquantisierung in Supraleitern

bei T<Tc (kritische = Sprungtemperatur) werden viele Materialien supraleitend. Die Elektronen bilden Cooper- Paare (Ladung 2e). Meißner- Effekt: Magnetfeld wird aus dem Supraleiter verdrängt (Supraleiter 1. Art) Betrachten wir einen supraleitenden Hohlzylinder: Die Wellenfunktion der Cooperpaare (eines Cooperpaares) lautet:

$\Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\int\limits_{{{{\bar{r}}}_{0}}}^{{\bar{r}}}{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}$

Das heißt für ${{\bar{r}}_{0}}=\bar{r}\Rightarrow \Psi (\bar{r})=\Psi \acute{\ }(\bar{r})$ Für einen geschlossenen Weg um den Zylinder gilt:

$\Psi ({{\bar{r}}_{0}})=\Psi \acute{\ }({{\bar{r}}_{0}}){{e}^{i\frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}}}=\Psi \acute{\ }({{\bar{r}}_{0}})$

Wegen der Eindeutigkeit der Wellenfunktion folgt daraus aber:

$\begin{align} & \frac{2e}{\hbar }\oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}=2\pi n \\ & \oint{\bar{A}(\bar{s})d\bar{s}}={{\Phi }_{B}} \\ \end{align}$ (Die Wellenfunktion muss sich schließen!)

Also ist der eingeschlossene Fluß quantisiert!:

Φ B = n Φ 0

mit dem magnetischen Flußquantum

${{\Phi }_{0}}:=\frac{\hbar \pi }{e}=\frac{h}{2e}=2,07\cdot {{10}^{-15}}Vs$

Also: Wir haben zwei Beispiele für beobachtbare Folgen aus der Invarianz:

Aharanov- Bohm - Effekt
Flussquantisierung in Supraleitern!
Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

$\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ & V=e\Phi \\ \end{align}$

$\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\ & =\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi \right]+V\Psi (\bar{r},t) \\ \end{align}$

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

$\bar{A}(\bar{r},t)$

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

$i\hbar \dot{\Psi }*(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)$

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\ & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\ \end{align}$

$\begin{align} & i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\ & \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi *=0 \\ & \Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0 \\ & \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right) \\ & \left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right)=0 \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\nabla \left[ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \right] \\ \end{align}$

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

$\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

$\begin{align} & \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\ & =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\ \end{align}$

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$ erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

$\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)$ als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm $-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)$ ergänzt wird

$\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right)* \right\}$

Mit dem kinetischen Impulsoperator

${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}$

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla$ , wobei klassisch ${{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}$ zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}$ zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}$ NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}$ und $\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}$

Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0$ mit $\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right)* \right\}$

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

$\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0$ mit $\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}$

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}$ wählen, da hier $\rho \cdot \hat{\bar{v}}$ oder $\hat{\bar{v}}\rho$ nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

In $\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot \bar{A}=0$ gilt:

$\begin{align} & \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\ & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ \end{align}$

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

$\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi$

Also in diesem Fall:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)$

Merke: Die Coulombeichung bringt $\bar{A}$ und $\hat{p}$ zum Vertauschen!

Im Gaußschen Maßsystem gilt:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}$

Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände

$i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi$ ist (Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator $\hat{H}$

Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:

Die Anfangsbedingung $\Psi (\bar{r},0)$ ist gegeben.

Aus der Normierbarkeit folgt:

$\begin{align} & \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\ & \Rightarrow \left| \Psi (\bar{r},t) \right|\to 0\quad f\ddot{u}r\quad \left| {\bar{r}} \right|\to \infty \\ \end{align}$

Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:

$\begin{align} & \Psi (\bar{r},t)=\phi (\bar{r})+T(t) \\ & i\hbar \phi \dot{T}=T\hat{H}\phi \\ & i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi } \\ \end{align}$

da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:

$i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi }=E=const.$

Also:

$\begin{align} & \dot{T}=-\frac{i}{\hbar }ET \\ & \hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r}) \\ \end{align}$

Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:

${{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}$ und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: $\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$

Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:

$\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$ die Energie- Eigenfunktionen ${{\phi }_{E}}(\bar{r})$ und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".

Die Energie- Eigenzustände lauten:

${{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})$

Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte

${{\left| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right|}^{2}}$ zeitunabhängig ist.

Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten!! (wegen Normierbarkeit!) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion ${{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})$ selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit

$\omega =\frac{E}{\hbar }$ oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial (mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt!)

Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen (nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte!) innerhalb von Eigenzuständen (und nur in diesen) zeitunabhängig:

$\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}*(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})$

Insbesondere gilt:

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Ehrenfest- Theorem

Nach dem Ehrenfestschen Theorem (Siehe III: Statistische Physik) gilt mit

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ \end{align}$

auch

$\begin{align} & \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ & \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators $\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+V$ sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt:

$\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}$

$\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}$

Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt:

$\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0$

Andererseits aber gilt:

$\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E$

$\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*$

Also folgt:

E = E *

Für ein komplexes E mit

E = E 1 + i E 2

wäre ${{\left| {{\Psi }_{E}} \right|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left| {{\phi }_{E}} \right|}^{2}}$ und würden für E2 <0 zerfallen (und für E2 > 0 explodieren!)

Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind!! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:

$\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E$ Erwartungswert= Eigenwert

Unschärfe: $\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0$ E und t sind wie $\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}$ zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig (also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt!, konstant!):

$\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}$ scharf

${{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1$ unabhängig von r

Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie (E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen à Eigenwertproblem!

Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen ${{\phi }_{n}}(\bar{r})$ entwickelt werden:

$\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})$

Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig!!

$\Psi (\bar{r},t)$ ist kein Energie- Eigenzustand!

Die Entwicklungskoeffizienten $c n$ lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:

$\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix} ! \\ = \\ {} \\ \end{matrix}{{\Psi }_{0}}(\bar{r})$

Falls $\left\{ {{\phi }_{n}}(\bar{r}) \right\}$ ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen ${{\phi }_{n}}(\bar{r})$ entwickelt werden: Orthonormierung: $\begin{align} & \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r={{\delta }_{nm}}\Rightarrow \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}{{\delta }_{nm}}={{c}_{m}} \\ & \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\Psi }_{0}}(\bar{r}){{\phi }_{m}}*(\bar{r}){{d}^{3}}r}={{c}_{m}} \\ \end{align}$ Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.

P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher!!

Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

$\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right]\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V

Annahme: $V(\bar{r})\to 0$ für $\left| {\bar{r}} \right|\to \infty$

außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.

Dann gilt:

E<0

Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.

Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit $E\ge {{V}_{\min }}$ möglich sind.

Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.

Wenn $\begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2+\delta }}}$ mit $δ > 0$ . Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.

Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als 1/r².

Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung $\left| V(\bar{r}) \right|\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{6}}}$ oder der rechteckige Potenzialtopf.

Bei sehr flachen Potenzialen (sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf (gar kein Eigenwert existiert).

In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.

Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben (Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu!

Eigenzustände zu E<0

Sind in jedem Fall Normierbar: $\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r}{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1$

$\begin{matrix} \lim \\ \bar{r}->\infty \\ \end{matrix}\phi (\bar{r})\to 0$ hinreichend rasch!. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden.

Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 (vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0)

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r) von Null verschieden: Klassisch: $\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V(\bar{r})=E$ Grund dafür ist die Unschärferelation: $\Delta p\Delta x\ge \frac{\hbar }{2}$ Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form $e i k x$ gilt dann wegen $k\tilde{\ }\sqrt{E-V\ }\in \operatorname{Im}$ , falls E < V somit ${{e}^{ikx}}={{e}^{-\operatorname{Re}}}$ → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere!

E>0

Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:

$\begin{matrix} \lim \\ \bar{r}->\infty \\ \end{matrix}\phi (\bar{r})\to const$ oder oszilliert.

Beispiel: Ebene Welle $\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ ist Lösung von

$-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})$ mit $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0$

$k\in R\Rightarrow {{e}^{ikr}}$ ist oszillierend!

$\phi (\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0

Es gibt keine Einschränkungen an $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}>0$ . Die Energie ist gleich der kinetischen Energie! Falls V=0 Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas! Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. (für " Energieeigenzustände") Bemerkungen

Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn $V(\bar{r})$ Punktsingularitäten hat, also auch beim $V(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{r}$ bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
In Bereichen mit $V(\bar{r})\to \infty$ gilt grundsätzlich $φ = 0$ . Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:

$\phi {{\left. {} \right|}_{Rand}}=0$

Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen $V(\bar{r})$ .Dies beobachtet man beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.

Eindimensionale stationäre Zustände

In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:

$V(\bar{r})={{V}_{1}}({{x}_{1}})+{{V}_{2}}({{x}_{2}})+{{V}_{3}}({{x}_{3}})$

Separation in kartesischen Koordinaten:

$\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})$

Die Schrödingergleichung lautet:

$\begin{align} & \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\left[ -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}_{i}}^{2}}+{{V}_{i}}({{x}_{i}}) \right]{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}})=E{{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{\phi }_{2}}({{x}_{2}}){{\phi }_{3}}({{x}_{3}}) \\ & \Rightarrow \frac{\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\phi }_{i}}\acute{\ }\acute{\ }({{x}_{i}})+{{V}_{i}}({{x}_{i}}){{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}{{{\phi }_{i}}({{x}_{i}})}={{E}^{(i)}} \\ \end{align}$

mit $E = E (1) + E (2) + E (3)$ Insbesondere (Beispiel): $V 2 + V 3 = 0$ → freie Bewegung in x2 und x3- Richtung

$\phi (\bar{r})={{\phi }_{1}}({{x}_{1}}){{e}^{i{{k}_{2}}{{x}_{2}}}}{{e}^{i{{k}_{3}}{{x}_{3}}}}$

$E={{E}^{(1)}}+\frac{{{k}_{2}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}+\frac{{{k}_{3}}^{2}{{\hbar }^{2}}}{2m}$

Beispiel: Quantentopf in Halbleitern (Quantum Well) Halbleiterschichtstruktur:

Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter. Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt. Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:

G a A s / A l 0,3 G a 0,7 A s

erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3 gebundene Zustände im Quantentopf.

Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der effektiven Masse $m *$ ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter. Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial Sei $V (r)$ kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an: $r,\vartheta ,\phi$ :

$\Phi (\bar{r})=R(r)+Y(\vartheta ,\phi )$

Beispiel: H- Atom mit Coulombpotenzial $V=-\frac{{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}$

Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

Stetigkeitsbedingung:

Bei stückweise stetigem Potenzial (Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind $\Phi (x),\Phi \acute{\ }(x)$ stetig.

Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

$\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]\phi (x)$

Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:

Wäre nun $\phi \acute{\ }(x)\tilde{\ }\Theta \left[ x-{{x}_{0}} \right]$ unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich: $\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)\tilde{\ }\delta \left[ x-{{x}_{0}} \right]$ . Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt (die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.

Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:

(Eigenableitung = logarithmische Ableitung):

$\frac{d}{dx}\ln \phi (x){{\left. {} \right|}_{x0}}=\frac{\phi \acute{\ }(x)}{\phi (x)}$

Für ein $δ$ - förmiges Potenzial gilt: $V (x) = δ(x - x 0)$ :

φ(x)

ist stetig

$\phi \acute{\ }(x)$ hat endlichen Sprung bei x₀

Charakterisierung des Energiespektrums

Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit ${{V}_{+}}\le {{V}_{-}}\le \infty$ Für den Bereich $E < V (x)$ (klassische verboten), gilt:

$\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left( V(x)-E \right)>0$

Also für den Fall $\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)>0$ ist die Krümmung konvex und für $\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)<0$ (zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav. Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent": Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:

Im Bereich $E > V (x)$ gilt: $\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=<0$ . Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend: Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren: 1) $E < V min (x)$ : Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials → $φ(x)$ divergiert nach $\infty$ . Keine Lösung existiert!

$V min (x) < E < V + (x)$ : Es existieren gebundene Zustände;

bei symmetrischem (vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand $φ 0 (x)$ → eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch! → es existiert immer ein gebundener Zustand.

Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind!

Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: $E 0 < E 1 < ...$

entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen!

Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert $E n$ gehörende Eigenfunktion $φ n (x)$ hat n Knoten (Nullstellen im Inneren des Definitionsbereichs).

Beweis des Knotensatzes

Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung $φ E (x)$ der Gleichung $\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)$ mit $\begin{matrix} \lim \\ x\to -\infty \\ \end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0$ (Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen). Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall! Wie er unter 2) für $V min (x) < E < V + (x)$ der Fall ist! Nun ist dann aber im Allgemeinen $\begin{matrix} \lim \\ x\to +\infty \\ \end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)\ne 0$ . Verschiebt man nun E so, dass auch $\begin{matrix} \lim \\ x\to +\infty \\ \end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0$ → dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren. Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:

Beweis: Sei $x 0 (E)$ eine Nullstelle von $φ E (x)$ . Nun bilde man die Wronski- Determinante von $φ E (x)$ und von $z(x):=\frac{\partial {{\phi }_{E}}(x)}{\partial E}$ Es gilt:

$\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}$

Dabei:

$\begin{align} & \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})z\acute{\ }({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )z(-\infty )+{{\phi }_{E}}(-\infty )z\acute{\ }(-\infty ) \\ & {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})={{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )=0 \\ & \Rightarrow \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}}) \\ \end{align}$

Außerdem:

$\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)={{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z+{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ }$

Aus der Schrödingergleichung $\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)$ folgt durch Differenziation nach der Energie:

$z\acute{\ }\acute{\ }=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]z-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}{{\phi }_{E}}(x)$

Kombiniert man dies mit $\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)$ und $\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}$ so folgt:

${{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0$ Mit $\begin{align} & 0=\frac{d}{dE}{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})=\frac{\partial {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})}{\partial E}+{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})\frac{\partial {{x}_{0}}}{\partial E} \\ & \frac{\partial {{\phi }_{E}}}{\partial E}=z \\ \end{align}$

folgt schließlich:

$0=\frac{d{{x}_{0}}}{dE}=-\frac{z({{x}_{0}})}{{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})}=-z{{({{x}_{0}})}^{2}}{{\left[ \int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx} \right]}^{-1}}<0$

Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei $\infty$ . Für $E = V min$ hat $φ E (x)$ KEINE endliche Nullstelle mehr: Sonst wäre für $-\infty <{{x}_{0}}(E)<+\infty$ :

$\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}} \right)dx}=-\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}}\acute{\ } \right)dx}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}(V-E)\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0$

Also ein Widerspruch!

Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:

Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf. Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion. Das zugehörige Potenzial $V(x)\to \infty$ für $x\to a,b$ . Also KEIN Parabelpotenzial! Die Randbedingungen seien $φ(a) = φ(b) = 0$ . Die Forderung $φ(a) = 0$ kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen. Im Allgemeinen ist dann jedoch

$\phi (b)\ne 0$ . Verschiebt man E so, dass auch

φ(b) = 0

, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.

Speziell: Symmetrische Potenziale:

Bei symmetrischen Potenzialen: $V (x) = V ( - x)$ sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch: $φ(x) = φ( - x)$ und antisymmetrisch (von ungerader Parität): $φ(x) = - φ( - x)$ . Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.

$V + < E < V -$ In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen (nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:

Beispiel mit Potenzialstufe: Linke Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{align} & \phi (x)\tilde{\ }{{e}^{\pm Mx}} \\ & {{M}^{2}}={{V}_{-}}-E \\ \end{align}$ Aber: $\phi (x)\tilde{\ }{{e}^{+Mx}}$ divergiert und ist somit unphysikalisch:

$\phi (x)\tilde{\ }{{e}^{-Mx}}$

Rechte Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{align} & \phi (x)\tilde{\ }{{e}^{\pm ikx}} \\ & {{k}^{2}}=E-{{V}_{+}} \\ \end{align}$ Die Lösung oszilliert also asymptotisch.

$E > V -$ : Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen (2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren!

Zeige Nicht entartete Eigenfunktionen sind (bis auf einen trivialen Faktor) reell!

Abschnitt	0 +
Fachbegriff	Plancksches Wirkungsquantum + und De-Broglie-Wellenlänge +
Index	Plancksches Wirkungsquantum + und De-Broglie-Wellenlänge +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	1 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Schrödingsche Wellenmechanik

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Historischer Abriß

1900: Planck

1905: Einstein

1912/13: N. Bohr

1924 L. de Broglie: Materiewellen

Dispersionsbeziehung der De- Broglie Welle

Phasengeschwindigkeit der de Broglie Welle:

Gruppengeschwindigkeit:

Experimenteller Nachweis

Doppelspaltexperiment:

Zusammenfassung: Welle- Teilchen- Dualismus (ohne äußere Potenziale)

Wellenexperimente

Teilchenexperimente (Photoeffekt, Comptoneffekt)

Weitere Entwicklung

‘1925: Schrödinger E.: Wellen- Mechanik

‘1925: Heisenberg: Matrizenmechanik

Ab 1925: Quantentheorie (Kopenhagener Deutung)

‘1927: Max Born:

‘1932: J. v. Neumann:

Dirac, P.:

R. Feynman:

Kräftefreie Schrödingergleichung

Kräftefreie Schrödingergleichung

Zeitumkehrinvarianz

Wellenpakete

Zeitliche Entwicklung der Einhüllenden:

Beispiel: Stufenfunktion ( rec-Func)

Schrödingergleichung mit äußeren Potenzialen

Vielelektronensysteme:

Das Elektron im elektromagnetischen Feld

Eichtransformation:

Aharanov- Bohm- Effekt

Elektroneninterferenzexperiment:

Flußquantisierung in Supraleitern

Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände

Ehrenfest- Theorem

Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

Eigenzustände zu E<0

E>0

Eindimensionale stationäre Zustände

Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

Stetigkeitsbedingung:

Charakterisierung des Energiespektrums

Beweis des Knotensatzes

Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:

Speziell: Symmetrische Potenziale:

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