Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Spezielle Verteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Durch Angabe eines Satzes der
⟨
M
n
⟩
{\displaystyle \left\langle {{M}^{n}}\right\rangle }
oder des Satzes der intensiven Parameter
λ
n
{\displaystyle {{\lambda }_{n}}}
ist die Verteilung vollständig festgelegt.
Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ("großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:
kanonische Verteilung
Datei:Wärmeaustausch.svg Wärmeaustausch, System im Wärmebad
ρ
=
Z
−
1
e
−
β
H
Z
=
t
r
(
e
−
β
H
)
=
e
−
Ψ
β
=
1
k
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho ={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}\\&Z=tr\left({{e}^{-\beta H}}\right)={{e}^{-\Psi }}\\&\beta ={\frac {1}{kT}}\\\end{aligned}}}
Entropie :
S
(
U
)
=
−
k
I
(
U
)
=
k
[
β
U
−
Ψ
(
β
)
]
{\displaystyle S(U)=-kI\left(U\right)=k\left[\beta U-\Psi \left(\beta \right)\right]}
Vergleiche
mit
β
=
β
(
U
)
{\displaystyle \beta =\beta \left(U\right)}
wegen
U
=
t
r
(
H
e
−
β
H
)
t
r
(
e
−
β
H
)
{\displaystyle U={\frac {tr\left(H{{e}^{-\beta H}}\right)}{tr\left({{e}^{-\beta H}}\right)}}}
und
∂
Ψ
∂
β
=
U
{\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial \beta }}=U}
folgt:
d
S
(
U
)
=
1
T
d
U
⇒
∂
S
∂
U
=
1
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&dS(U)={\frac {1}{T}}dU\\&\Rightarrow {\frac {\partial S}{\partial U}}={\frac {1}{T}}\\\end{aligned}}}
Merke:
I
(
U
)
{\displaystyle I(U)}
ist Legendre- Transformierte von
Ψ
(
β
)
{\displaystyle \Psi \left(\beta \right)}
Energie
U
(
S
)
=
T
S
+
k
T
Ψ
(
β
)
{\displaystyle U(S)=TS+kT\Psi \left(\beta \right)}
Legendre- Transformation von
U
(
S
)
{\displaystyle U(S)}
mit
d
U
(
S
)
=
T
d
S
⇒
∂
U
∂
S
=
T
{\displaystyle dU(S)=TdS\Rightarrow {\frac {\partial U}{\partial S}}=T}
Energieform
F
(
T
)
=
U
−
T
S
=
k
T
Ψ
(
β
)
=
−
k
T
ln
(
t
r
(
e
−
β
H
)
)
=
−
k
T
ln
Z
{\displaystyle F(T)=U-TS=kT\Psi \left(\beta \right)=-kT\ln \left(tr\left({{e}^{-\beta H}}\right)\right)=-kT\ln Z}
Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie
Druck - Ensemble
Datei:DruckEnsemble.svg Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt
Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt
ρ
=
e
Ψ
−
β
(
H
+
p
V
)
Z
=
t
r
(
e
−
β
(
H
+
p
V
)
)
=
e
−
Ψ
β
=
1
k
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho ={{e}^{\Psi -\beta \left(H+pV\right)}}\\&Z=tr\left({{e}^{-\beta \left(H+pV\right)}}\right)={{e}^{-\Psi }}\\&\beta ={\frac {1}{kT}}\\\end{aligned}}}
Entropie
S
(
U
,
V
)
=
k
[
β
(
U
+
p
V
)
−
Ψ
(
T
,
p
)
]
m
i
t
β
=
β
(
U
,
V
)
=
1
k
T
p
=
p
(
U
,
V
)
(
∂
Ψ
∂
β
)
p
=
U
(
∂
Ψ
∂
(
p
k
T
)
)
β
=
V
{\displaystyle {\begin{aligned}&S(U,V)=k\left[\beta \left(U+pV\right)-\Psi \left(T,p\right)\right]\\&mit\\&\beta =\beta \left(U,V\right)={\frac {1}{kT}}\\&p=p\left(U,V\right)\\&{{\left({\frac {\partial \Psi }{\partial \beta }}\right)}_{p}}=U\\&{{\left({\frac {\partial \Psi }{\partial \left({\frac {p}{kT}}\right)}}\right)}_{\beta }}=V\\\end{aligned}}}
Gibbsche Fundamnetalgleichung
d
S
(
U
,
V
)
=
1
T
d
U
+
p
T
d
V
(
∂
S
∂
U
)
V
=
1
T
(
∂
S
∂
V
)
U
=
p
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&dS(U,V)={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)}_{V}}={\frac {1}{T}}\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)}_{U}}={\frac {p}{T}}\\\end{aligned}}}
Energie
U
(
S
,
V
)
=
T
S
−
p
V
+
k
T
Ψ
(
T
,
p
)
d
U
(
S
,
V
)
=
T
d
S
−
p
d
V
{\displaystyle {\begin{aligned}&U\left(S,V\right)=TS-pV+kT\Psi \left(T,p\right)\\&dU\left(S,V\right)=TdS-pdV\\\end{aligned}}}
Legendre- Transformation bezüglich
T
=
(
∂
U
∂
S
)
V
{\displaystyle T={{\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)}_{V}}}
und
p
=
−
(
∂
U
∂
V
)
S
{\displaystyle p=-{{\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)}_{S}}}
G
(
T
,
p
)
=
U
−
T
S
+
p
V
=
k
T
Ψ
(
T
,
p
)
=
−
k
T
ln
[
t
r
(
e
−
β
(
H
+
p
V
)
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&G\left(T,p\right)=U-TS+pV=kT\Psi \left(T,p\right)\\&=-kT\ln \left[tr\left({{e}^{-\beta \left(H+pV\right)}}\right)\right]\\\end{aligned}}}
G
(
T
,
p
)
=
−
k
T
ln
[
t
r
(
e
−
β
(
H
+
p
V
)
)
]
{\displaystyle G\left(T,p\right)=-kT\ln \left[tr\left({{e}^{-\beta \left(H+pV\right)}}\right)\right]}
Gibbsche Freie Energie
Magnetfeld - Ensemble
Datei:MagnetFeldEnsemble.svg Wärmeaustausch+ Magnetisierungsarbeit
δ
W
=
B
¯
d
M
¯
{\displaystyle \delta W={\bar {B}}d{\bar {M}}}
Mit der magnetischen Induktion
B
¯
{\displaystyle {\bar {B}}}
und der Magnetisierung
M
¯
{\displaystyle {\bar {M}}}
.
⟨
H
⟩
=
U
⟨
M
¯
^
⟩
=
M
¯
λ
¯
=
−
B
¯
k
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle H\right\rangle =U\\&\left\langle {\hat {\bar {M}}}\right\rangle ={\bar {M}}\\&{\bar {\lambda }}=-{\frac {\bar {B}}{kT}}\\\end{aligned}}}
ρ
=
e
Ψ
−
β
(
H
−
B
¯
M
¯
)
{\displaystyle \rho ={{e}^{\Psi -\beta \left(H-{\bar {B}}{\bar {M}}\right)}}}
e
−
Ψ
=
t
r
(
e
−
β
(
H
−
B
¯
M
¯
)
)
{\displaystyle {{e}^{-\Psi }}=tr\left({{e}^{-\beta \left(H-{\bar {B}}{\bar {M}}\right)}}\right)}
Gibbsche Fundmanetalgleichung
d
S
(
U
,
V
)
=
1
T
d
U
−
B
¯
d
M
¯
T
(
∂
S
∂
U
)
M
¯
=
1
T
(
∂
S
∂
M
i
)
U
=
−
B
i
T
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&dS(U,V)={\frac {1}{T}}dU-{\frac {{\bar {B}}d{\bar {M}}}{T}}\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)}_{\bar {M}}}={\frac {1}{T}}\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial {{M}_{i}}}}\right)}_{U}}=-{\frac {{B}_{i}}{T}}\quad i=1,2,3\\\end{aligned}}}
Entropie:
S
(
U
,
M
)
=
k
[
β
(
U
−
B
¯
M
¯
)
−
Ψ
(
β
,
B
¯
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&S(U,M)=k\left[\beta \left(U-{\bar {B}}{\bar {M}}\right)-\Psi \left(\beta ,{\bar {B}}\right)\right]\\&\\\end{aligned}}}
U
(
S
,
M
¯
)
=
T
S
+
B
¯
M
¯
+
k
T
Ψ
(
β
,
B
¯
)
d
U
=
T
d
S
+
B
¯
d
M
¯
T
d
S
=
δ
Q
B
¯
d
M
¯
=
δ
W
{\displaystyle {\begin{aligned}&U\left(S,{\bar {M}}\right)=TS+{\bar {B}}{\bar {M}}+kT\Psi \left(\beta ,{\bar {B}}\right)\\&dU=TdS+{\bar {B}}d{\bar {M}}\\&TdS=\delta Q\\&{\bar {B}}d{\bar {M}}=\delta W\\\end{aligned}}}
Legendre- Transformation bezüglich
T
=
(
∂
U
∂
S
)
M
¯
{\displaystyle T={{\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)}_{\bar {M}}}}
und
(
∂
U
∂
M
i
)
S
=
B
i
{\displaystyle {{\left({\frac {\partial U}{\partial {{M}_{i}}}}\right)}_{S}}={{B}_{i}}}
G
(
T
,
B
¯
)
=
U
−
T
S
−
B
¯
M
¯
=
k
T
Ψ
(
β
,
B
¯
)
{\displaystyle G\left(T,{\bar {B}}\right)=U-TS-{\bar {B}}{\bar {M}}=kT\Psi \left(\beta ,{\bar {B}}\right)}
Gibbsche Freie Energie
Großkanonische Verteilung
Datei:GrosskanonischesEnsemble.svg Wärmeaustausch Teilchenaustausch (z.B chem. Reaktion)
⟨
H
⟩
=
U
⟨
N
α
⟩
=
N
¯
α
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle H\right\rangle =U\\&\left\langle {{N}^{\alpha }}\right\rangle ={{\bar {N}}^{\alpha }}\\\end{aligned}}}
Teilchenzahlen der Sorte
α
{\displaystyle \alpha }
.
λ
α
=
−
μ
α
k
T
{\displaystyle {{\lambda }_{\alpha }}=-{\frac {{\mu }_{\alpha }}{kT}}}
mit
μ
α
{\displaystyle {{\mu }_{\alpha }}}
als chemisches Potenzial der Species
α
{\displaystyle \alpha }
.
großkanonische Verteilung:
Wärmeaustausch und Teilchenaustausch möglich (z.B. chemische Reaktion, etc...)
ρ
=
Y
−
1
e
−
β
(
H
−
μ
α
N
α
)
{\displaystyle \rho ={{Y}^{-1}}{{e}^{-\beta \left(H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }}\right)}}}
hängt parametrisch von V (FEST) ab
mit der großkanonischen Zustandssumme
Y
=
t
r
(
e
−
β
(
H
−
μ
α
N
α
)
)
=
e
−
Ψ
(
β
,
μ
α
,
V
)
{\displaystyle Y=tr\left({{e}^{-\beta \left(H-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }}\right)}}\right)={{e}^{-\Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)}}}
S
(
U
,
V
,
N
α
)
=
k
[
β
(
U
−
μ
α
N
α
)
−
Ψ
(
β
,
μ
α
,
V
)
]
{\displaystyle S\left(U,V,{{N}^{\alpha }}\right)=k\left[\beta \left(U-{{\mu }_{\alpha }}{{N}^{\alpha }}\right)-\Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)\right]}
Also:
d
S
(
U
,
V
,
N
α
)
=
1
T
d
U
−
μ
α
T
d
N
¯
α
{\displaystyle dS\left(U,V,{{N}^{\alpha }}\right)={\frac {1}{T}}dU-{\frac {{\mu }_{\alpha }}{T}}d{{\bar {N}}^{\alpha }}}
Gibbsche Fundamentalgleichung für dV=0 mit
(
∂
S
∂
U
)
N
¯
α
,
V
=
1
T
(
∂
S
∂
N
¯
α
)
U
,
V
=
−
μ
α
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)}_{{{\bar {N}}^{\alpha }},V}}={\frac {1}{T}}\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial {{\bar {N}}^{\alpha }}}}\right)}_{U,V}}=-{\frac {{\mu }_{\alpha }}{T}}\\\end{aligned}}}
Definition des chemischen Potenzials!!
Also gilt für die innere Energie:
U
(
S
,
V
,
N
¯
α
)
=
T
S
+
μ
α
N
¯
α
+
k
T
Ψ
(
β
,
μ
α
,
V
)
{\displaystyle U\left(S,V,{{\bar {N}}^{\alpha }}\right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar {N}}^{\alpha }}+kT\Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)}
Vergleich mit der phänomenologischen Relation des Energiesatzes:
U
(
S
,
V
,
N
¯
α
)
=
T
S
+
μ
α
N
¯
α
−
p
V
{\displaystyle U\left(S,V,{{\bar {N}}^{\alpha }}\right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar {N}}^{\alpha }}-pV}
ergibt:
k
T
Ψ
(
β
,
μ
α
,
V
)
=
−
p
V
⇒
Ψ
(
β
,
μ
α
,
V
)
=
−
ln
Y
=
−
p
V
k
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&kT\Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)=-pV\\&\Rightarrow \Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)=-\ln Y={\frac {-pV}{kT}}\\\end{aligned}}}
Experiment:
2 Gefäße sind miteinander verbunden, tragen die Teilchenzahlen
N
¯
´
{\displaystyle {\bar {N}}{\acute {\ }}}
und
N
¯
´
´
{\displaystyle {\bar {N}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}
Vor Einstellung des Gleichgewichts gilt:
μ
´
≠
μ
´
´
{\displaystyle \mu {\acute {\ }}\neq \mu {\acute {\ }}{\acute {\ }}}
für konstantes U,V und
d
N
¯
=
d
N
¯
´
+
d
N
¯
´
´
=
0
{\displaystyle d{\bar {N}}=d{\bar {N}}{\acute {\ }}+d{\bar {N}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}=0}
(Die Teilchen können nur von dem einen Gefäß ins andere)
folgt aus
d
S
≥:
0
⇒
−
(
μ
´
−
μ
´
´
)
d
N
¯
´
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&dS\geq :0\\&\Rightarrow -\left(\mu {\acute {\ }}-\mu {\acute {\ }}{\acute {\ }}\right)d{\bar {N}}{\acute {\ }}\geq 0\\\end{aligned}}}
Also: Der Teilchenstrom erfolgt vom höheren z.B.
μ
´
{\displaystyle \mu {\acute {\ }}}
zum tieferen, z.B.
μ
´
´
{\displaystyle \mu {\acute {\ }}{\acute {\ }}}
Potenzial, also:
d
N
¯
´
<
0
{\displaystyle d{\bar {N}}{\acute {\ }}<0}
abgelitten aus der Gibbschen Fundamentalrelation:
d
S
(
U
,
V
,
N
α
)
=
1
T
d
U
+
p
T
d
V
−
μ
T
d
N
¯
{\displaystyle dS\left(U,V,{{N}^{\alpha }}\right)={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV-{\frac {\mu }{T}}d{\bar {N}}}
Mikrokanonische Verteilung
Alle extensiven Größen sind scharf, also keine Zufallsgrößen. SOndern: feste Parameter der Verteilung
ρ
(
ξ
)
{\displaystyle \rho \left(\xi \right)}
:
Volumen V
Teilchenzahl N
innere Energie
U
−
Δ
U
≤
H
(
ξ
)
≤
U
{\displaystyle U-\Delta U\leq H\left(\xi \right)\leq U}
Die Messung des Hamiltonoperators ergibt eine Energie im Rahmen der Messunschärfe. Alle Größen sind festgelegt heisst: Es gibt kein Ensemble, das einen statistischen Mittelwert bildet, sondern: Die Energie ist so genau, wie die Energie eines Teilchens, nämlich an die Unschärfe gebunden!
Physikalisch:
Dünne Energieschale im Phasenraum, z.B.
H
(
ξ
)
=
∑
i
=
1
3
N
p
i
2
2
m
{\displaystyle H\left(\xi \right)=\sum \limits _{i=1}^{3N}{}{\frac {{{p}_{i}}^{2}}{2m}}}
(Kugelschale)
Nebenbemerkung:
Für
Δ
U
→
0
{\displaystyle \Delta U\to 0}
(scharfe Energiefläche)
ist die Normierung der Wahrscheinlichkeit
∫
Δ
Ω
d
ξ
ρ
(
ξ
)
=
1
{\displaystyle \int _{\Delta \Omega }^{}{d\xi \rho \left(\xi \right)}=1}
nicht mit endlichem
ρ
(
ξ
)
{\displaystyle \rho \left(\xi \right)}
zu erfüllen, da
Δ
Ω
→
0
{\displaystyle \Delta \Omega \to 0}
Vorurteilsfreie Schätzung
Gleichverteilung auf der Energieschale
Δ
Ω
{\displaystyle \Delta \Omega }
:
ρ
(
ξ
)
=
1
Δ
Ω
χ
Δ
Ω
(
ξ
)
χ
Δ
Ω
=
{
1
f
u
¨
r
ξ
∈
Δ
Ω
0
,
s
o
n
s
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left(\xi \right)={\frac {1}{\Delta \Omega }}{{\chi }_{\Delta \Omega }}\left(\xi \right)\\&{{\chi }_{\Delta \Omega }}=\left\{{\begin{matrix}1f{\ddot {u}}r\xi \in \Delta \Omega \\0,sonst\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}}
charakteristische Funktion!
für
Δ
Ω
→
0
:
{\displaystyle \Delta \Omega \to 0:}
ρ
(
ξ
)
=
1
ω
δ
(
U
−
H
(
ξ
)
)
{\displaystyle \rho \left(\xi \right)={\frac {1}{\omega }}\delta \left(U-H\left(\xi \right)\right)}
Mit der Normierung
ω
=
∫
d
ξ
δ
(
U
−
H
(
ξ
)
)
=
d
Ω
d
U
w
e
g
e
n
d
d
x
Θ
(
x
)
=
δ
(
x
)
⇒
Ω
(
U
)
=
∫
d
ξ
Θ
(
U
−
H
(
ξ
)
)
Θ
(
U
−
H
(
ξ
)
)
=
{
1
f
u
¨
r
H
(
ξ
)
<
U
0
,
s
o
n
s
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\omega =\int _{}^{}{d\xi }\delta \left(U-H\left(\xi \right)\right)={\frac {d\Omega }{dU}}\\&wegen\\&{\frac {d}{dx}}\Theta \left(x\right)=\delta \left(x\right)\\&\Rightarrow \Omega \left(U\right)=\int _{}^{}{d\xi }\Theta \left(U-H\left(\xi \right)\right)\\&\Theta \left(U-H\left(\xi \right)\right)=\left\{{\begin{matrix}1f{\ddot {u}}rH\left(\xi \right)<U\\0,sonst\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}}
Dabei ist also
Ω
(
U
)
=
∫
d
ξ
Θ
(
U
−
H
(
ξ
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega \left(U\right)=\int _{}^{}{d\xi }\Theta \left(U-H\left(\xi \right)\right)\\&\\\end{aligned}}}
das von
Δ
Ω
{\displaystyle \Delta \Omega }
eingeschlossene Phasenraumvolumen!
Entropie:
S
=
−
k
∫
Δ
Ω
d
ξ
ρ
ln
ρ
=
−
k
∫
Δ
Ω
d
ξ
1
Δ
Ω
ln
1
Δ
Ω
∫
Δ
Ω
d
ξ
1
Δ
Ω
=
1
⇒
S
=
k
ln
Δ
Ω
{\displaystyle {\begin{aligned}&S=-k\int _{\Delta \Omega }^{}{d\xi }\rho \ln \rho =-k\int _{\Delta \Omega }^{}{d\xi }{\frac {1}{\Delta \Omega }}\ln {\frac {1}{\Delta \Omega }}\\&\int _{\Delta \Omega }^{}{d\xi }{\frac {1}{\Delta \Omega }}=1\\&\Rightarrow S=k\ln \Delta \Omega \\\end{aligned}}}
In Übereinstimmung mit der allgemeinen Formel:
S
=
k
(
λ
n
⟨
M
n
⟩
−
Ψ
)
ρ
=
e
Ψ
=
!
=
1
Δ
Ω
{\displaystyle {\begin{aligned}&S=k\left({{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}}\right\rangle -\Psi \right)\\&\rho ={{e}^{\Psi }}=!={\frac {1}{\Delta \Omega }}\\\end{aligned}}}
für
ξ
∈
Δ
Ω
⇒
Ψ
=
−
ln
Δ
Ω
{\displaystyle {\begin{aligned}&\xi \in \Delta \Omega \\&\Rightarrow \Psi =-\ln \Delta \Omega \\\end{aligned}}}
Große Systeme:
Dimension des Phasenraums:
6
N
~
10
23
{\displaystyle 6N{\tilde {\ }}{{10}^{23}}}
Phasenraumvolumen
Ω
~
r
6
N
~
U
6
N
{\displaystyle \Omega {\tilde {\ }}{{r}^{6N}}{\tilde {\ }}{{U}^{6N}}}
mit r = Länge im
Γ
−
{\displaystyle \Gamma -}
Raum
U
≅
{\displaystyle U\cong }
entspricht 1 Dimension im
Γ
−
{\displaystyle \Gamma -}
Raum.
Kleine Änderung:
Δ
Ω
≈
∂
Ω
∂
r
Δ
r
≈
∂
Ω
∂
U
Δ
U
∂
Ω
∂
U
~
6
N
⋅
U
6
N
−
1
⇒
Δ
Ω
≈
∂
Ω
∂
r
Δ
r
≈
∂
Ω
∂
U
Δ
U
≈
6
N
Ω
U
Δ
U
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta \Omega \approx {\frac {\partial \Omega }{\partial r}}\Delta r\approx {\frac {\partial \Omega }{\partial U}}\Delta U\\&{\frac {\partial \Omega }{\partial U}}{\tilde {\ }}6N\cdot {{U}^{6N-1}}\\&\Rightarrow \Delta \Omega \approx {\frac {\partial \Omega }{\partial r}}\Delta r\approx {\frac {\partial \Omega }{\partial U}}\Delta U\approx 6N{\frac {\Omega }{U}}\Delta U\\\end{aligned}}}
Also:
Δ
Ω
Ω
≈
6
N
Δ
U
U
Δ
Ω
Ω
>>
Δ
U
U
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\Delta \Omega }{\Omega }}\approx 6N{\frac {\Delta U}{U}}\\&{\frac {\Delta \Omega }{\Omega }}>>{\frac {\Delta U}{U}}\\\end{aligned}}}
Das heißt: große Änderung von
Ω
{\displaystyle \Omega }
,
selbst bei winzigen Änderungen von U!
Also: In hochdimensionalen Räumen ist das Volumen praktisch an der Oberfläche einer Kugel lokalisiert!
∗
S
=
k
ln
Δ
Ω
≈
k
ln
Ω
∗
Ω
=
Ω
(
U
,
V
)
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}*&S=k\ln \Delta \Omega \approx k\ln \Omega \\*&\Omega =\Omega \left(U,V\right)\\*\end{aligned}}}
Definition der Temperatur:
∂
S
∂
U
=
∂
S
∂
Ω
∂
Ω
∂
U
∂
Ω
∂
U
=
ω
⇒
∂
S
∂
U
=
∂
S
∂
Ω
ω
=
k
Ω
ω
=:
1
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial S}{\partial U}}={\frac {\partial S}{\partial \Omega }}{\frac {\partial \Omega }{\partial U}}\\&{\frac {\partial \Omega }{\partial U}}=\omega \\&\Rightarrow {\frac {\partial S}{\partial U}}={\frac {\partial S}{\partial \Omega }}\omega ={\frac {k}{\Omega }}\omega =:{\frac {1}{T}}\\\end{aligned}}}
Die Änderung der Entropie über der inneren Energie ist gerade das Inverse der Temperatur!!