Spin- Operatoren und Zustände

Aus PhysikWiki

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Spin und Systeme identischer Teilchen

Inhaltsverzeichnis

1 Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Stern-Gerlach Experiment: (1922)

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}$

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

$\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}$

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe $2 l + 1$ - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!

$\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}$

Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons!

${{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar$

$\begin{align} & {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ & l\equiv s=\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

$\begin{align} & \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ & \Rightarrow {{\mu }_{3}}=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}=\pm \frac{+e\hbar }{4{{m}_{0}}} \\ \end{align}$

Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

${{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}$

mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Spin-Eigenzustände: $\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}$

Spin-Hilbertraum (zweidimensional!)

Notation:

Spin up: $\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle$
Spin down: $\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle$

Dimensionsloser Spinoperator $\hat \bar \sigma$

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =-\frac{\hbar }{2}\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \downarrow \right\rangle =-\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

${{\hat{S}}_{3}}$ ist hermitesch

Eigenwerte: $\pm 1$

Orthonormierung: $\begin{align} & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ & \left\langle \uparrow | \downarrow \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Vollständigkeit: $\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1$

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

$\begin{align} & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle \\ & \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ & \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ \end{align}$

Aus:

$\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}$

(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)

folgt:

$\begin{align} & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ & \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{l}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle =3\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Spin-Leiteroperatoren:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \uparrow \right\rangle ={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \downarrow \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Somit folgt:

$\begin{align} & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Andererseits gilt:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \uparrow \right\rangle =\beta \left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!

Berechnung der Koeffizienten $α,β$ :

$\begin{align} & \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ & =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]\left| \downarrow \right\rangle \\ & \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}={{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2} \\ & \Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2}-2{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left| \downarrow \right\rangle =4 \\ & \Rightarrow \left| \alpha \right|=2 \\ \end{align}$

Weiter:

$\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha$

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

α = β = 2

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!

So folgt:

$\begin{align} & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\ & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Außerdem:

$\begin{align} & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =-\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\ & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle =-i\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle =i\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Zusammenfassung
	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}$	$\left\| \downarrow \right\rangle$	$\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}$	$i\left\| \downarrow \right\rangle$	$-i\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

$\begin{align} & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} \left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{matrix} \right) \\ & \alpha ,\beta =1,2 \\ & i=1,2,3 \\ \end{align}$

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:

$\begin{align} & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

$\begin{align} & \\ & \hat{\bar{S}}=\left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 0 & \frac{\hbar }{2} \\ \frac{\hbar }{2} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -i\frac{\hbar }{2} \\ \frac{\hbar }{2} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \frac{\hbar }{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar }{2} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Was den bekannten Relationen genügt:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -i & 0 \\ 0 & i \\ \end{matrix} \right)=i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)=-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & \Rightarrow \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1,}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ \end{align}$

erfüllt,.... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} \left\langle \alpha | \uparrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}} \\ \left\langle \alpha | \downarrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}} \\ \end{matrix} \right) \\ & \left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Dabei kennzeichnen $\left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right),\left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$ die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)

$\begin{align} & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ \end{align}$ Zeilenvektoren (transponiert)

$\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$

was äquivalent ist zu

${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle$

	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}$	$\left\| \downarrow \right\rangle$	$\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}$	$i\left\| \downarrow \right\rangle$	$-i\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$

Abschnitt	1 +
Fachbegriff	Stern-Gerlach Experiment +, Spin +, Lande-Faktor +, Spin-Eigenzustände +, Spin-Hilbertraum +, Drehimpuls-Vertauschungs-Relation +, Spin-Leiteroperatoren + und Paulische Spinmatrizen +
Index	Stern-Gerlach Experiment +, Spin +, Lande-Faktor +, Spin-Eigenzustände +, Spin-Hilbertraum +, Drehimpuls-Vertauschungs-Relation +, Spin-Leiteroperatoren + und Paulische Spinmatrizen +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	4 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Spin- Operatoren und Zustände

Aus PhysikWiki

Inhaltsverzeichnis

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Ansichten

Persönliche Werkzeuge

Navigation

Suche

Werkzeuge