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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spin und Systeme identischer Teilchen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Spin und Systeme identischer Teilchen

Spin und Systeme identischer Teilchen

Schrödingsche Wellenmechanik
Formalisierung der Quantenmechanik
Drehimpuls
Spin und Systeme identischer Teilchen
Näherungsmethoden
Streutheorie
Relativistische Quntenmechanik

Spin- Operatoren und Zustände

Stern-Gerlach Experiment: (1922)

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}$

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

$\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}$

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe $2 l + 1$ - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!

$\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}$

Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons!

${{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar$

$\begin{align} & {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ & l\equiv s=\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

$\begin{align} & \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ & \Rightarrow {{\mu }_{3}}=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}=\pm \frac{+e\hbar }{4{{m}_{0}}} \\ \end{align}$

Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

${{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}$

mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Spin-Eigenzustände: $\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}$

Spin-Hilbertraum (zweidimensional!)

Notation:

Spin up: $\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle$
Spin down: $\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle$

Dimensionsloser Spinoperator $\hat \bar \sigma$

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =-\frac{\hbar }{2}\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \downarrow \right\rangle =-\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

${{\hat{S}}_{3}}$ ist hermitesch

Eigenwerte: $\pm 1$

Orthonormierung: $\begin{align} & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ & \left\langle \uparrow | \downarrow \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Vollständigkeit: $\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1$

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

$\begin{align} & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle \\ & \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ & \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ \end{align}$

Aus:

$\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}$

(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)

folgt:

$\begin{align} & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ & \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{l}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \downarrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \downarrow \right\rangle =3\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Spin-Leiteroperatoren:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \uparrow \right\rangle ={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \downarrow \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Somit folgt:

$\begin{align} & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Andererseits gilt:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \uparrow \right\rangle =\beta \left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!

Berechnung der Koeffizienten $α,β$ :

$\begin{align} & \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ & =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]\left| \downarrow \right\rangle \\ & \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}={{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2} \\ & \Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2}-2{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left| \downarrow \right\rangle =4 \\ & \Rightarrow \left| \alpha \right|=2 \\ \end{align}$

Weiter:

$\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha$

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

α = β = 2

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!

So folgt:

$\begin{align} & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\ & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Außerdem:

$\begin{align} & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =-\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow \right\rangle =2\left| \downarrow \right\rangle \\ & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow \right\rangle =-i\left| \uparrow \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle =i\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{align}$

Zusammenfassung
	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}$	$\left\| \downarrow \right\rangle$	$\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}$	$i\left\| \downarrow \right\rangle$	$-i\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

$\begin{align} & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} \left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \uparrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow \right\rangle & \left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow \right\rangle \\ \end{matrix} \right) \\ & \alpha ,\beta =1,2 \\ & i=1,2,3 \\ \end{align}$

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:

$\begin{align} & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

$\begin{align} & \\ & \hat{\bar{S}}=\left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix} 0 & \frac{\hbar }{2} \\ \frac{\hbar }{2} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -i\frac{\hbar }{2} \\ \frac{\hbar }{2} & 0 \\ \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \frac{\hbar }{2} & 0 \\ 0 & -\frac{\hbar }{2} \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Was den bekannten Relationen genügt:

$\begin{align} & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -i & 0 \\ 0 & i \\ \end{matrix} \right)=i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)=-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & \Rightarrow \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1,}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ \end{align}$

erfüllt,.... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} \left\langle \alpha | \uparrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}} \\ \left\langle \alpha | \downarrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}} \\ \end{matrix} \right) \\ & \left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ & \left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{align}$

Dabei kennzeichnen $\left| \uparrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right),\left| \downarrow \right\rangle =\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$ die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)

$\begin{align} & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ \end{align}$ Zeilenvektoren (transponiert)

$\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$

was äquivalent ist zu

${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle$

Dynamik des 2- Zustands- Systems

Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins $\bar{\mu }$ im äußeren Magnetfeld $\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}$ beträgt:

$V=-\hat{\bar{\mu }}\cdot \bar{B}$ mit $\hat{\bar{\mu }}=+g\frac{e}{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{S}}=+\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}$ mit g~ 2 und e<0

Somit:

$\hat{V}=-\frac{e\hbar }{2{{m}_{0}}}\hat{\bar{\sigma }}\cdot \bar{B}=-\frac{e\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$

Mit der Larmor-Frequenz ${{\omega }_{l}}:=\frac{|e|B}{2{{m}_{0}}}$

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist $\hat{H}=\hat{V}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

${{\hat{\bar{\sigma }}}^{\circ }}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{\sigma }} \right]=i{{\omega }_{l}}\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{l}}$ :

$\frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =\frac{i}{\hbar }\left\langle \left[ H,{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right] \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle$

$\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Dies läßt sich reduzieren:

$\frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle +{{\left( 2{{\omega }_{l}} \right)}^{2}}\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle =0$

Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:

$\begin{align} & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}\cos \left( 2{{\omega }_{l}}t \right)-{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}\sin \left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \\ & {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}} \\ \end{align}$

klassischer Kreisel

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:

${{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{0}}=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}\left[ {{\cos }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right)+{{\sin }^{2}}\left( 2{{\omega }_{l}}t \right) \right]+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right\rangle }_{0}}^{2}$

Mit anderen Worten:

${{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| {{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{{}}} \right\rangle }_{0}} \right|}^{2}}=const$ , der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2ω l$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

$\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle$ (Schrödingergleichung für Spinzustände)

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand $\left| a(t) \right\rangle$ in der Spinbasis entwickelbar sein:

$\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left| \downarrow \right\rangle$

Matrix- Darstellung:

$\hbar {{\omega }_{l}}\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} {{a}_{1}}(t) \\ {{a}_{2}}(t) \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \begin{matrix} -i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{{\dot{a}}}_{1}} \\ i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{{\dot{a}}}_{2}} \\ \end{matrix}$

Die Lösung lautet:

$\begin{align} & {{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}} \\ & {{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}} \\ \end{align}$

$\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}$ , also die Spinpräzession wie oben!

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Sei nun $\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

$\begin{align} & \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\ & \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\ & \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\ \end{align}$

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle$

(äquivalente Sprechweise):

$\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} | {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} | {{n}_{2}} \right\rangle$

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle$

zerlegt werden:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle$

mit

${{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}$

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $α = 1,2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix} \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)$

Mit

$\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)$

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle$

Die Vollständigkeit der Zustände $\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle$

folgt aus:

$\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}$

Weiter:

$\begin{align} & \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ & \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}$

Also die Komponenten von ${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$ am Ort $\bar{r}$ , einmal die Komponente mit Spin $\uparrow$ und einmal die Komponente mit Spin $\downarrow$ . Dabei gilt:

$\begin{align} & {{\left| \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\ & {{\left| \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\ \end{align}$

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei $\bar{r}$ mit Spin $\uparrow$ bzw. Spin $\downarrow$ zu finden.

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum

Hamilton- Operator für Bahn:

${{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)$

Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:

$\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\ \end{align}$

${{\hat{H}}_{S}}$

wirkt dabei nur im Hilbertraum $H S$

Ohne Berücksichtigung von ${{\hat{H}}_{S}}$

$\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\ & \alpha =1,2 \\ \end{align}$

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in $H B$

Es gilt (äquivalente Darstellung):

$\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \alpha =1,2 \\ \end{align}$

Dabei

1

= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

MIT Berücksichtigung von ${{\hat{H}}_{S}}$

$\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$

In Matrix- Darstellung:

$\begin{align} & \left( \begin{matrix} {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\ 0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix} {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{matrix} \right) \\ & \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\ & \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}$

Pauli Gleichung

Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld $\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}$

$\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$

Dabei wird durch ${{\hat{H}}_{B}}\times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

$\begin{align} & \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\ & \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\ & \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\ & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\ \end{align}$

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm $\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 → Eigenzustände mit Spin

$\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle$

Insgesamt $2\left( 2l+1 \right)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung

$B\ne 0$

$\begin{align} & \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\ & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\ & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\ \end{align}$

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2(2 l + 1)$ - fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt!)

$E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)$

Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment ${{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)$ .

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von $μ B$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen	s	g	Q
Elektron	1/2	2	-e
Proton	1/2	5,59	e
Neutron	1/2	-3,83	0
Neutrino	1/2	0	0
Photon	1	0	0

Addition von Drehimpulsen

Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:

$\hat{\bar{J}}=\hat{\bar{L}}+\hat{\bar{S}}$

Die Vertauschungsrelationen:

$\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=0$

Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.

$\begin{align} & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]+\left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right] \\ & \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{L}}}_{l}} \\ & \left[ {{{\hat{S}}}_{j}},{{{\hat{S}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{S}}}_{l}} \\ & \Rightarrow \left[ {{{\hat{J}}}_{j}},{{{\hat{J}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{J}}}_{l}} \\ \end{align}$

Drehimpuls Vertauschungsrelationen!

$\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2{{\hat{\bar{S}}}_{j}}\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=2i\hbar \left( {{{\hat{S}}}_{2}}{{{\hat{L}}}_{1}}-{{{\hat{S}}}_{1}}{{{\hat{L}}}_{2}} \right)\ne 0$

Ebenso:

$\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0$

Also:

Die $2(2 l + 1)$ Produktzustände $\left| lm{{m}_{S}} \right\rangle =\left| lm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle$ sind Eigenzustände zu ${{\hat{L}}^{2}},{{\hat{L}}_{3}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}},{{\hat{S}}_{3}}$ aber nicht zu ${{\hat{J}}^{2}}$ , da $\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]\ne 0$ bzw. $\left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{S}}}_{3}} \right]\ne 0$

Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu ${{\hat{J}}^{2}}$ , ${{\hat{J}}_{3}}$ , ${{\hat{L}}^{2}},{{\hat{\bar{S}}}^{2}}$ .

Dies muss möglich sein, da

$\begin{align} & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}^{2}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}^{2}}+{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}+2\hat{\bar{L}}\cdot \hat{\bar{S}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}_{3}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}}+{{{\hat{\bar{S}}}}_{3}},{{{\hat{L}}}^{2}} \right]=0 \\ & \left[ {{{\hat{J}}}_{3}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{3}}+{{{\hat{\bar{S}}}}_{3}},{{{\hat{\bar{S}}}}^{2}} \right]=0 \\ \end{align}$

Die Eigenwertgleichungen lauten:

$\begin{align} & {{{\hat{J}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(j(j+1))\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{J}}}_{3}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\hbar {{m}_{j}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{L}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(l(l+1)\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle ={{\hbar }^{2}}(s(s+1)\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle \\ \end{align}$

Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand $\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

bezüglich des alten Zustandes $\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle$

entwickelt werden:

$\left| j{{m}_{j}}ls \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m \\ {{m}_{S}}={{m}_{j}}-m \end{smallmatrix}}{{}}\left| lms{{m}_{s}} \right\rangle \left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!

Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis

Clebsch-Gordan-Koeffizienten!

$\left\langle lms{{m}_{s}} | j{{m}_{j}}ls \right\rangle$

Dabei gilt:

$s=\frac{1}{2}$ !! ${{m}_{s}}=\frac{1}{2}$ !! ${{m}_{s}}=-\frac{1}{2}$

$j=l+\frac{1}{2}$	${{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$	${{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$
$j=l-\frac{1}{2}$	$-{{\left( \frac{l-{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$	${{\left( \frac{l+{{m}_{j}}+\frac{1}{2}}{2l+1} \right)}^{\frac{1}{2}}}$

Wobei:

$\begin{align} & j=l\pm \frac{1}{2} \\ & {{m}_{j}}=m+{{m}_{S}} \\ & m=-l,...,+l \\ & {{m}_{S}}=-\frac{1}{2},+\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Identische Teilchen: Spin und Statistik

Betrachte: Systeme identischer Teilchen

Beispiel: N Elektronen im äußeren Potenzial V mit Coulomb- Wechselwirkung $W\left( \left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right| \right)$

Hamiltonoperator: $\hat{H}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \frac{{{{\hat{p}}}_{i}}^{2}}{2m}+V({{{\hat{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}{{}}W\left( \left| {{{\hat{\bar{r}}}}_{i}}-{{{\hat{\bar{r}}}}_{j}} \right| \right)$

Dabei beschreibt $\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}{{}}W\left( \left| {{{\hat{\bar{r}}}}_{i}}-{{{\hat{\bar{r}}}}_{j}} \right| \right)$

die Wechselwirkungsnenergie der Elektronen!

N- Elektronen - Zustand: $\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}$

mit $a i$

= Satz von Quantenzahlen, z.B. $\left| {{j}_{i}}{{m}_{j}}_{i}{{l}_{i}}{{s}_{i}} \right\rangle ,\left| {{n}_{i,}}{{l}_{i,}}{{m}_{i}},{{m}_{s}}_{i} \right\rangle$

oder auch $\left| {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{s}}_{i} \right\rangle$

Die Nummer des Teilchen bestimmt dabei die Stellung in $\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}$

Schrödingergleichung:

$\hat{H}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle$

Ortsdarstellung

$\begin{align} & \hat{H}\left| {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t \right\rangle \\ & {{q}_{i}}\equiv \left( {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{3i}} \right) \\ \end{align}$

In den verallgemeinerten Koordinaten werden also Ort UND Spin der Teilchen zusammengefasst.

Dabei ist ${{q}_{i}}\equiv \left( {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{3i}} \right)$

ein verallgemeinerter Ausdruck für einen vollständigen Satz Quantenzahlen!

Mikroskopische Teilchen mit gleichen Quantenzahlen sind ununterscheidbar.

Oder: Zwei durch jeweils eine einzige Wellenfunktion beschriebene Mehrteilchensysteme, in denen die mikroskopischen Teilchen i und j gegeneinander ausgetauscht sind, sind ununterscheidbar.

Definiere: Permutationsoperator: ${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}$ ,

der i-tes und j-tes Teilchen tauscht:

${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...{{a}_{i}},...,{{a}_{j}},{{a}_{N}} \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},..{{a}_{j}},...,{{a}_{i}}...,{{a}_{N}} \right\rangle$

${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}$

ist unitär und hermitsch.

Dabei werden streng genommen die ZUSTÄNDE der Teilchen Nr. i und j vertauscht.

Man könnte sich vorstellen, dass die beiden Zustände jeweils auf das entsprechende andere Teilchen "teleportiert" werden.

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen ALLE Observablen mit ${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}$

vertauschen:

(Schließlich darf sich eine Wahrscheinlichkeit von Messwerten durch die Vertauschung nicht ändern. Es darf keine Unschärfe geben. Das bedeutet: Die Vertauschung ist nicht festzustellen!

$\left[ \hat{F},{{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]=0$

Insbesondere

$\left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]=0$

${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}$

ist also eine Erhaltungsgröße und es existieren gemeinsame Eigenzustände zu JEDEM Operator und dem Permutationsoperator ${{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}$

Wie beim Paritätsoperator gilt:

$\begin{align} & {{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1 \\ & {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}}\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{ij}}\left| \Psi \right\rangle \\ & {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\ \end{align}$

Die Forderung ${{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1$

folgt aus der Ununterscheidbarkeit der Teilchen, aus ${{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1$

folgt jedoch

$\begin{align} & {{\left| {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}={{\left| \Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}=1={{\left| {{\lambda }_{ij}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}} \\ & \Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\ \end{align}$

Dieser Eigenwert ist ein "ewiges" Charakteristikum des Zustandes!

Speziell: 2- Teilchensystem

Sei $\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| a \right\rangle }_{2}}$ ein Zweiteilchenzustand $\in H\times H$ .

Dann ist ${{\left| a,b \right\rangle }_{S}}:=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,b \right\rangle$

Eigenzustand von ${{\hat{P}}_{(12)}}$ zum Eigenwert +1 Dieser Zustand ist symmetrisch, denn:

${{\hat{P}}_{(12)}}{{\left| a,b \right\rangle }_{S}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}+{{{\hat{P}}}_{(12)}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{S}}$

Außerdem ist ${{\left| a,b \right\rangle }_{a}}:=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,b \right\rangle$ Eigenzustand von ${{\hat{P}}_{(12)}}$ zum Eigenwert -1 und ist antisymmetrisch, denn:

${{\hat{P}}_{(12)}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}$

N- Teilchensystem:

Alle ${{\hat{P}}_{(ij)}}$ kommutieren mit H, im Allgemeinen jedoch NICHT untereinander!

$\begin{align} & {{{\hat{P}}}_{(12)}}{{{\hat{P}}}_{(23)}}\left| a,b,c \right\rangle ={{{\hat{P}}}_{(12)}}\left| a,c,b \right\rangle =\left| c,a,b \right\rangle \\ & {{{\hat{P}}}_{(23)}}{{{\hat{P}}}_{(12)}}\left| a,b,c \right\rangle ={{{\hat{P}}}_{(23)}}\left| b,a,c \right\rangle =\left| b,c,a \right\rangle \\ \end{align}$

Daher sind komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Nicht nur symmetrisch und/ oder antisymmetrisch!

Dennoch sind in der Natur jedoch nur Zustände realisiert, die bei Vertauschung zweier BELIEBIGER ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch $λ (i j) = + 1$ oder antisymmetrisch $λ (i j) = - 1$ sind.

Dies ist zu verstehen als die REDUKTION des Hilbertraumes $H\times H\times H\times ...H(Nmal)$ auf einen symmetrischen ${{H}_{N}}^{+}$ und einen antisymmetrischen ${{H}_{N}}^{-}$ Teilraum ERLAUBTER Zustände. Symmetrie oder Antisymmetrie ist ein Charakteristikum der Teilchensorte und bleibt zeitlich erhalten wegen $\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{(ij)}} \right]=0$

Bosonen

sind Teilchen mit symmetrischem Zustand, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin (s=0,1,2,...) z.B. $π -$ oder K- Meson, Photon, Phonon, $α$ - Teilchen, Wasserstoffmolekül,... Bose- Einstein- Statistik

Fermionen

sind Teilchen mit antisymmetrischem Zustand. Dies sind alle Teilchen mit HALBZAHLIGEM Spin $s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}$

z.B. Elektron, Proton, Neutron, Neutrino, Myon,...

Fermi- Dirac- Statistik An sich eine Erfahrungstatsache. der Beweis folgte jedoch aus der relativistischen Quantenfeldtheorie: Pauli, 1940

Pauli- Prinzip für Fermionen:

Die Wellenfunktionen sind total antisymmetrisch.

2 identische Fermionen können sich nicht in gleichen Einteilchenzuständen a befinden (Pauli- Verbot):

Denn:

${{\left| a,a \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,a \right\rangle =\frac{1}{2}\left( \left| a,a \right\rangle -\left| a,a \right\rangle \right)=0$

Beispiel:

$\left| a \right\rangle =\left| n,l,m,{{m}_{s}} \right\rangle$

Anwendung auf die Ortsdarstellung

Die Wahrscheinlichkeit, 2 identische Fermionen am gleichen Ort $\left| {\bar{r}} \right\rangle$ mit gleichem Spin $m s$ zu finden, ist identisch NULL. Das Pauli- Prinzip ist Grundlage für den Aufbau des Periodensystems der Elemente. Gilt natürlich NICHT für Bosonen!

Antisymmetrisierungs- Operator

Im 2- Teilchen Raum: $\hat{A}:=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)$

Im N- Teilchen- Raum $\hat{A}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}$

Dabei stellt ${{\hat{P}}_{(r)}}$ die r-te Permutation von (1,2,3,4...,N) her. Es gibt insgesamt N! Permutationen (inklusive r=1 → Identität). P, also der Exponent an -1 ist die Zahl der Vertauschung von je 2 Teilchen, also:

${{\left( -1 \right)}^{p}}=\pm 1$

für gerade bzw. ungerade Permutation.

Mit Hilfe von $\hat{A}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}$ lassen sich quantenmechanische Zustände antisymmetrisieren. Dabei gilt:

${{\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}:=\hat{A}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle$

Beispiel für N=3:

${{\left| a,b,c \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{6}\left\{ \left| abc \right\rangle +\left| bca \right\rangle +\left| cab \right\rangle -\left| bac \right\rangle -\left| cba \right\rangle -\left| acb \right\rangle \right\}$

Dieser Zustand ist antisymmetrisch bei der Vertauschung von jeweils 2 Teilchen!

Symmetrisierungsoperator

$\hat{S}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}$

${{\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{S}}:=\hat{P}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle$

Der Operator erzeugt einen Zustand der symmetrisch ist bei der Vertauschung von je 2 Teilchen.

$\hat{A}$

und $\hat{S}$ sind hermitesch und idempotent: $\hat{A}={{\hat{A}}^{2}};{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}$ .

Das bedeutet: Sie sind Projektoren. Sie projizieren einen Zustand auf den SYMMETRISCHEN oder den ANTISYMMETRISCHEN Anteil.

N=2:

$\hat{S}+\hat{A}=1$ .

Dies entspricht einer Vollständigkeitsrelation.

Nun können wir deutlich sehen, was eine solche VOLLSTÄNDIGKEIT eigentlich bedeutet. Hier: der Operator symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Dies ist genau dann vollständig, wenn JEDE 2- Teilchen- Funktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist.

$\hat{S}$

projiziert auf den symmetrischen Unterraum des Hilbertraumes $H\times H$ . $\hat{A}$ dagegen projiziert auf den antisymmetrischen Unterraum des Hilbertraumes $H\times H$ .

Für N>2 (Siehe oben, kompliziertere Symmetrien denkbar) projizieren $\hat{S}+\hat{A}$ auf einen echten Teilraum des Hilbertraumes $H\times H$ .

$\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}$

oder $\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}$ würden insgesamt, als Gesamtzustand gesehen, einen nichtnormierten Zustand erzeugen, der nämlich aus $N!$ normierten Zuständen besteht . Durch den Vorfaktor $\frac{1}{N!}$ wird die Normierung garantiert!

Wechselwirkungsfreie, identische Teilchen

$\begin{align} & \hat{H}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{{\hat{H}}}_{i}} \\ & {{{\hat{H}}}_{i}}=\frac{{{{\hat{p}}}_{i}}^{2}}{2m}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \\ \end{align}$

Schrödingergleichung: $\hat{H}\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle =E\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle$ läßt sich separieren (keine Wechselwirkung, für jedes neue Teilchen wird der Hilbertraum einfach erweitert):

$\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle ={{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}}$

${{\left| {{a}_{j}} \right\rangle }_{k}}$

ist dabei der j. Satz Quantenzahlen, der dem k. Teilchen zugeordnet wird. Natürlich nummeriert man die Quantenzahlensätze nach den Teilchen, auf denen sie Sitzen. Um aber den Effekt vom Tauschen von Quantenzahlen zu analysieren macht man hypothetisch den Schritt, dass ein Satz Quantenzahlen, der dem 3. Teilchen gehört, nun auf dem 4. Teilchen sitzt. Also würde man schreiben ${{\left| {{a}_{3}} \right\rangle }_{4}}$

Dabei bezeichnet der innere Index den Quantenzahlensatz und der äußere Index die Teilchen- Nummer.

Jedes Element der Schrödingergleichung wirkt dann separat auf den ihm zugeordneten Zustand:

$\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{i}}{{\left| {{a}_{i}} \right\rangle }_{i}}={{E}_{i}}{{\left| {{a}_{i}} \right\rangle }_{i}} \\ & E=\sum\limits_{i}{{}}{{E}_{i}} \\ \end{align}$

Fermionen : Antisymmetrisierung

${{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}=\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)=\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|$

Der Antisymmetrisierte Zustand ergibt sich als normierte Determinante einer Matrix, der die Teilchen Spaltenweise und ihre Quantenzahlen als separierte Einzelzustände zeilenweise aufgedröselt sind.

Diese Determinante heißt auch Slater- Determinante. Auf der Diagonalen sitzen die Teilchen mit denen ihnen natürlicherweise zugeordneten Quantenzahlensätzen. Außerhalb der Diagonale treten die systematisiert abgeklapperten hypothetischen Vertauschungen von Quantenzahlen auf. Die Determinante verschwindet, wenn 2 Zeilen gleich sind, also 2 Teilchen den gleichen Satz Quantenzahlen haben! Nur dann können zwei Zeilen gleich werden. Oder aber, wenn 2 Spalten gleich sind, was man so verstehen könnte, dass man sich zwei Teilchen, denen man die Nummern 1 und 2 geben sollte, als gleich definiert und ihnen beiden die Nummer 1 zuordnet!, also alle Quantenzahlen für 2 beliebige Teilchen gleich sind. Ein solcher Zustand existiert einfach nicht → Pauli- Prinzip!!

Bosonen: Symmetrisierung

${{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{S}}=\hat{S}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)$

Normierung

für orthonogonale und normierte 1- Teilchen- Zustände:

$\begin{align} & {{f}_{n}}{{^{2}}_{a}}\left\langle {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\hat{A}\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right) \\ & ={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right| \\ & ={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right| \\ & _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}=1 \\ & _{1}\left\langle {{a}_{i}} \right|{{\left| {{a}_{j}} \right\rangle }_{1}}=0\quad i\ne j \\ & \Rightarrow {{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\. .. & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ \end{matrix} \right|={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\equiv 1! \\ & \Rightarrow {{f}_{n}}=\sqrt{N!} \\ \end{align}$

Normierte Antisymmetrische Zustände

${{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}^{-}=\sqrt{N!}\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|$

Ortsdarstellung

$\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}...{{{\hat{r}}}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}^{-}={{\Psi }^{-}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}} \right)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\ {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\ \end{matrix} \right|$

Unterschiede zur klassischen Statistik unterscheidbarer Teilchen (N=2)

${{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle \right|}^{2}}={{\left| _{1}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}{{\left| {{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}$

Klassisch. Dies stimmt jedoch in der Quantenmechanik nicht mehr. Vollständig wird die Relation, wenn man den resultierenden Mehrteilchenzustand und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung

${{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle \right|}^{2}}$

symmetrisiert, bzw. antisymmetrisiert:

${{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| ab \right\rangle }_{s,a}} \right|}^{2}}$

Es folgt:

$\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle s,a \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{\pm }_{1}}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right)\pm {{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}} \\ \end{align}$

Mit dem Austauschterm ${{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right)$ → Grundlagen der quantenmechanischen Korrelation, Entanglement. Spezialfall: ${{\bar{r}}_{1}}={{\bar{r}}_{2}}=\bar{r}$

Damit ergibt sich für Bosonen:

$\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( \bar{r},\bar{r} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle \bar{r}\bar{r} | ab \right\rangle s \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{+}_{1}}\left\langle _{1} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)+{{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}=2{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}{{\left| {{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}} \\ \end{align}$

Dieser Zustand ist der Zustand der Bose- Einstein Kondensation (superfluides Helium beispielsweise).

Für Fermionen:

$\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( \bar{r},\bar{r} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle \bar{r}\bar{r} \right|{{\left| ab \right\rangle }_{a}} \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{-}_{1}}\left\langle _{1} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)-{{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}=0 \\ \end{align}$

Für Fermionen beträgt die Wahrscheinlichekitsamplitude für identische Teilchen am gleichen Ort also Null.

Beispiel: ebene Wellen:

$\begin{align} & {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right)={{e}^{ikx}} \\ & {{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)={{e}^{-ikx}} \\ \end{align}$

Klassisch folgt:

${{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}=1$

Also: beide Teilchen befinden sich irgendwo, aber diese Wahrscheinlichkeit ist konstant, ortsunabhängig!

In der Quantenmechanik dagegen ergeben sich je nach räumlichem Abstand der Ereignisse oszillierende Wahrscheinlichkeitsamplituden:

Bose:

${{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| {{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}+{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}} \right|}^{2}}=2{{\cos }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})$

Das bedeutet, Bosonen haben einen räumlichen Abstand derart, dass die Phasen bevorzugt 0 oder 180 ° verschoben sind. An diesen Abständen interferieren sie konstruktiv und erscheinen uns als phänomenologische Teilchen.

Fermi:

${{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| {{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}-{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}} \right|}^{2}}=2{{\sin }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})$

Fermionen interferieren gerade an den Stellen konstruktiv und treten dementsprechend dort in Erscheinung, wo die Wellenfunktionen um Vielfache von 90° phasenverschoben sind und somit den Sinus maximieren!

Fakten zu Spin und Systeme identischer TeilchenRDF-Feed

	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}$	$\left\| \downarrow \right\rangle$	$\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}$	$i\left\| \downarrow \right\rangle$	$-i\left\| \uparrow \right\rangle$
${{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}$	$\left\| \uparrow \right\rangle$	$\left\| \downarrow \right\rangle$

Abschnitt	0 +
Definition	Larmor-Frequenz +
Fachbegriff	Stern-Gerlach Experiment +, Spin +, Lande-Faktor +, Spin-Eigenzustände +, Spin-Hilbertraum +, Drehimpuls-Vertauschungs-Relation +, Spin-Leiteroperatoren +, Paulische Spinmatrizen +, Anomaler Zeemann-Effekt + und Clebsch-Gordan-Koeffizienten +
Gleichung	Schrödinger-Gleichung für Spinzustände +
Index	Stern-Gerlach Experiment +, Spin +, Lande-Faktor +, Spin-Eigenzustände +, Spin-Hilbertraum +, Drehimpuls-Vertauschungs-Relation +, Spin-Leiteroperatoren +, Paulische Spinmatrizen +, Larmor-Frequenz +, Schrödinger-Gleichung für Spinzustände +, Anomaler Zeemann-Effekt + und Clebsch-Gordan-Koeffizienten +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	4 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +

Spin und Systeme identischer Teilchen

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Inhaltsverzeichnis

Spin- Operatoren und Zustände

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Dynamik des 2- Zustands- Systems

Schrödingergleichung für die Spinzustände

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum

Pauli Gleichung

Addition von Drehimpulsen

Identische Teilchen: Spin und Statistik

Pauli- Prinzip für Fermionen:

Anwendung auf die Ortsdarstellung

Antisymmetrisierungs- Operator

Symmetrisierungsoperator

Wechselwirkungsfreie, identische Teilchen

Fermionen : Antisymmetrisierung

Bosonen: Symmetrisierung

Normierung

Normierte Antisymmetrische Zustände

Ortsdarstellung

Unterschiede zur klassischen Statistik unterscheidbarer Teilchen (N=2)

Beispiel: ebene Wellen:

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