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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Streutheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Streutheorie

Streutheorie

Inhaltsverzeichnis

1 Lippmann- Schwinger- Gleichung
2 Streuamplitude und Streuquerschnitt
- 2.1 Wirkungsquerschnitt
3 Bornsche Näherung
- 3.1 Systematische Störungsentwicklung
4 Drehimpulsdarstellung und Streuphasen
5 Prüfungsfragen

Lippmann- Schwinger- Gleichung

Man betrachte Teilchen, die in Wechselwirkung stehen, jedoch keine gebundenen Zustände miteinander einnehmen:

Der Hamiltonoperator kann geschrieben werden als:

$\hat{H}={{\hat{H}}^{(0)}}+{{\hat{H}}^{(1)}}$

Dabei bezeichne ${{\hat{H}}^{(0)}}$ die kinetische Energie und ${{\hat{H}}^{(1)}}$ die Wechselwirkungsenergie.

stationäre Streuung

Im Falle stationärer Streuung erhalten wir:

$\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle .$

$\left| \Psi \right\rangle$ beschreibt ein am Anfang einlaufendes Teilchen (ohne Wechselwirkung), die anschließende Streuung und schließlich wieder auseinanderlaufende Teilchen:

BILD WW: Streuung

Stationär bedeutet hier: Das Gleichgewicht hat sich bereits eingeregelt. Der Prozess ist zeitlich stationär, weil jede Veränderung an einem Teilchenzustand 1 durch ein nachrückendes Teilchen, dessen Zustand sich in den des ersten (Zustand 1) begibt, aufgefüllt wird.

Die Schrödingergleichung lautet:

$\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle$

Erster Schritt bei derartigen Problemen: Isolation der Störung!

Die formale Lösung kann angegeben werden mittels:

$\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \\ & \frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:={{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}^{-1}} \\ \end{align}$

Die Division zwischen 1 und dem Operator der linken Seite ist dabei als Ausführung der inversen Operation zu verstehen!

$\left| \Phi \right\rangle$

ist eine beliebige Lösung der wechselwirkungsfreien Gleichung

$\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-E \right)\left| \Phi \right\rangle =0$

Beweis

$\begin{align} & \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle =\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi \right\rangle +\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \\ & \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:=1 \\ & \Rightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle \Leftrightarrow \left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Phi \right\rangle =0 \\ \end{align}$

Bemerkung

Die Gleichung $\left| \Psi \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle$

ist dabei eine Integralgleichung, beispielsweise in der Ortsdarstellung:

$\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{\int_{{}}^{{}}{{}}}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{r}\acute{\ }\acute{\ } | \Psi \right\rangle {{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{d}^{3}}r\acute{\ }$

Berechnung des inversen Operators

$\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}$

Hier: Greenscher Operator, sogenannte Resolvente (auch: Residuum!) der Schrödingergleichung.

Methode: Transformation auf Impulsdarstellung (Fourier- Transformation) und komplexe Integration.

Aber: die Lösung ist nicht eindeutig, je nach Wahl des Integrationsweges ergeben sich unterschiedliche Egebnisse (Integrationsweg in der komplexen Ebene). Dementsprechend ergeben sich verschiedene Randbedingungen

Die Festlegung erfolgt durch Addition eines kleinen komplexen Terms $i\varepsilon$ . Am Schluss kann man dann $\varepsilon \to 0$ gehen lassen.

Damit ergibt sich als Lippmann- Schwinger- Gleichung

$\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$

Wesentlicher Vorteil zur Schrödingergleichung: Die Lippmann- Schwinger- Gleichung ist die im Vergleich zur Schrödingergleichung komplexe Erweiterung mit reeller Polstellenfreiheit!

Mit

auslaufender Welle: $\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$
Streuwelle: $\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$ und
einlaufender Welle: $\left| \Phi \right\rangle$ (Lösung des ungestörten Problems)

Die auslaufende Welle $\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$ ist die Summe aus einlaufender Welle und Streuwelle!

Greensche Funktion des freien Teilchens

(= Ortsdartellung des Greenschen Operators)

${{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ }):=\frac{\hbar }{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle$

Dabei werden zwei "Einsen" eingeschoben und wir gewinnen:

${{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{\hbar }{2m}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q\acute{\ }}}\left\langle {\bar{r}} | {\bar{q}} \right\rangle \left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle \left\langle \bar{q}\acute{\ } | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle$

Also: Das Problem wird nach der auslaufenden Welle aufgelöst. Zur Polstellenfreiheit erweitert man komplex.

Dann isoliert man den Greenschen Operator und führt mit diesem eine Fouriertransormation durch!

Der obige Einschub einer Basis ist noch keine Fouriertransformation. Wir befinden uns dann immer noch im Ortstraum!

Dabei bezeichnen $\bar{q},\bar{q}\acute{\ }$ die Wellenvektoren mit der entsprechenden Impulsdarstellung $\hbar \bar{q}$ .

Für ein freies Teilchen, für das der Hamiltonian direkt angegeben werden kann ${{\hat{H}}_{0}}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}$ gilt:

$\left\langle {\bar{q}} \right|{{\hat{H}}_{0}}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{q}}}^{2}}}{2m}\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)$

Somit also

$\left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon }\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)}{E-\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{q}}}^{2}}}{2m}+i\varepsilon }$

Asymptotisch gelte für das einlaufende Teilchen als Anfangsbedingung sozusagen

$\bar{p}=\hbar \bar{k}\Rightarrow E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}$

$\begin{align} & \Rightarrow \left\langle {\bar{q}} \right|\frac{1}{E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon }\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right)}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=:\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}{{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q})\delta \left( \bar{q}-\bar{q}\acute{\ } \right) \\ & \eta =\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\varepsilon \\ & \left\langle {\bar{r}} | {\bar{q}} \right\rangle =\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{i\bar{q}\bar{r}}} \\ \end{align}$

Damit folgt dann als angekündigte Fouriertrafo:

$\begin{align} & {{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}{{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q}){{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}} \\ & {{{\tilde{G}}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\ \end{align}$

()

Also: Wir führen die Fouriertransformation durch und gewinnen als Fouriertransformierte ${{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }$ .

Die Rücktransformation liefert die gesuchte Greensfunktion ${{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })$ , die mittels Residuensatz aus der bekannten ${{\tilde{G}}_{+}}(\bar{q})=\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }$ durch Fouriertrafo gewonnen werden kann!

${{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })$ hängt also nur von $\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)$ ab!

Berechnung von ${{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):={{G}_{+}}(\bar{R})$ in Polarkoordinaten $\bar{q}$ erfolgt mittels Residuensatz

${{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}q}\frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{i\bar{q}\bar{R}}}$

Dabei lege man $\bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }$ entlang der z- Achse, so dass zwischen $\bar{R}$ und $\bar{q}$ gerade der Winkel $\vartheta$ liegt:

$\begin{align} & {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{dq}\int_{-1}^{1}{d\cos \vartheta }\int_{0}^{2\pi }{d\phi }\frac{{{q}^{2}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }{{e}^{iqR\cos \vartheta }} \\ & {{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iqR}\int_{0}^{\infty }{dq}{{q}^{2}}\frac{{{e}^{iqR}}-{{e}^{-iqR}}}{q\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta \right)} \\ \end{align}$

Dies kann man leicht weiter zusammenfassen, indem im zweiten Term einfach q durch -q ersetzt wird:

${{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }$

Die Integration erfolgt mittels Residuensatz in der komplexen q- Ebene:

Dazu ist es nötig, die komplexe Zahl q in Polarkoordinaten umzuschreiben:

$\begin{align} & q=\rho \cdot {{e}^{i\Phi }} \\ & 0\le \Phi \le \pi \\ & dq=\rho \cdot {{e}^{i\Phi }}id\Phi \\ \end{align}$

Skizzenhaft:

Datei:Contour thm residus 2.png

Da die Integration im Unendlichen (Halbkreisbogen) verschwindet kann man das Integral von Minus bis Plus Unendlich auch gleich als Ringintegral schreiben. Wesentlich ist dann: dass es nur Beiträge aus den Polstellen der Funktion gibt. demnach müssen diese gesucht werden:

Die Pole des Integranden:

$\begin{align} & \frac{1}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\ & {{q}_{1/2}}=\pm \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }\approx \left( k+\frac{i\eta }{2k} \right) \\ \end{align}$

Genau genommen muss noch gezeigt werden, dass das Integral über den Kreisbogen für Radius gegen Unendlich verschwindet:

$\begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\oint\limits_{{}}{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }+\begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\int_{0}^{\pi }{d\Phi i{{e}^{2i\Phi }}}\frac{{{\rho }^{2}}{{e}^{i\rho R\cos \Phi }}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{\rho }^{2}}{{e}^{2i\Phi }}+i\eta }$

Aber:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\int_{0}^{\pi }{d\Phi i{{e}^{2i\Phi }}}\frac{{{\rho }^{2}}{{e}^{i\rho R\cos \Phi }}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{\rho }^{2}}{{e}^{2i\Phi }}+i\eta }=0 \\ & da \\ & \begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}{{e}^{-}}^{\rho R\sin \Phi }=0 \\ & \Rightarrow \begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\oint\limits_{{}}{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \\ \end{align}$

Mittels Residuensatz ergibt sich dann

$\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }=2\pi i{{\left. \left( RES\left( \frac{q{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \right) \right) \right|}_{q={{q}_{1}}}}$

Dies ist der Beitrag vom oberen Integrationsweg, weshalb das Residuum an q=q1 ausgewertet werden muss. Ebenso hätte man den unteren Integrationsweg nehmen können. Dann wäre das Residuum eben an q=q2 auszuwerten gewesen. Da wir die Polstellen des Arguments des Residuums gefunden haben können wir umschreiben:

$\begin{align} & RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta } \right|}_{q={{q}_{1}}}}=RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }-q \right)\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }+q \right)} \right|}_{{{q}_{1}}\equiv \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }}} \\ & \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }={{q}_{1}}=-{{q}_{2}} \\ & RES{{\left. \frac{q{{e}^{iqR}}}{\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }-q \right)\left( \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }+q \right)} \right|}_{{{q}_{1}}\equiv \sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }}}=\begin{matrix} \lim \\ q->q1 \\ \end{matrix}\frac{\left( q-{{q}_{1}} \right)q{{e}^{iqR}}}{\left( {{q}_{1}}-q \right)\left( q-{{q}_{2}} \right)}=\frac{{{q}_{1}}{{e}^{i{{q}_{1}}R}}}{\left( {{q}_{1}}-{{q}_{2}} \right)} \\ & =-\frac{{{e}^{i\sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }R}}}{2} \\ & \begin{matrix} \lim \\ \eta \to 0 \\ \end{matrix}-\frac{{{e}^{i\sqrt{{{{\bar{k}}}^{2}}+i\eta }R}}}{2}=-\frac{{{e}^{ikR}}}{2} \\ \end{align}$

Also hat man ein Ergebnis für ${{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}\int_{-\infty }^{\infty }{dq}q\frac{{{e}^{iqR}}}{{{{\bar{k}}}^{2}}-{{{\bar{q}}}^{2}}+i\eta }$ , man erhält

${{G}_{+}}(\bar{R})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}iR}2\pi iRES{{\left. {} \right|}_{{{q}_{1}}}}=\frac{-{{e}^{ikR}}}{4\pi R}$

()

Wesentlich: ${{G}_{+}}(\bar{R})={{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })$ erfüllt die Differenzialgleichung für die Greensche Funktion:

$\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })$

Denn:

$\begin{align} & \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\left\langle {\bar{r}} | \bar{r}\acute{\ } \right\rangle ={{G}_{+}}(\bar{r},\bar{r}\acute{\ })=\left\langle {\bar{r}} \right|\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \\ & \cong \left\langle {\bar{r}} \right|\left( \frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2m}-\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m} \right)\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( {{k}^{2}}+\Delta \right)\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle \\ \end{align}$

Ortsdarstellung der Lippmann- Schwinger- Gleichung

$\begin{align} \left\langle {\bar{r}} | {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle &=\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle +\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left\langle {\bar{r}} \right|\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle }\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ & =\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle +\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}}{4\pi \left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ \end{align}$

Mit der

durchlaufenden freien Welle: $\left\langle {\bar{r}} | \Phi \right\rangle ={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ und der
Streuwelle: $\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }{{G}_{+}}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{-{{e}^{ik\left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}}{4\pi \left| \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right|}}\left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{\hat{H}}^{1}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$

Zusammenfassung

Aus der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung lautet:

$\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle ={{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle$

Mit dem linearen Differentialoperator $\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)\left| \Psi \right\rangle$ und der Inhomogenität ${{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Psi \right\rangle$

kann man formal lösen:

$\begin{align} & \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ & \frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}:={{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right)}^{-1}} \\ \end{align}$

eine Form der Lippmann- Schwinger- Gleichung mit auslaufender Welle $\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle$ Greenschen Operator (auch sogenannte RESOLVENTE) $\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}$ und durchlaufender Welle (freie einlaufende Lösung) $\left| \Phi \right\rangle$

Die Berechnung der Greenschen Funktion des freien Teilchens:

Als Operator: ${{\hat{G}}_{+}}:=\frac{1}{\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}}+i\varepsilon \right)}$ erfüllt $\left( E-{{{\hat{H}}}_{0}} \right){{\hat{G}}_{+}}=1$

Übergang in die Impulsdarstellung:

$\left\langle {\bar{q}} \right|{{\hat{G}}_{+}}\left| \bar{q}\acute{\ } \right\rangle =\frac{2m}{\hbar }{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\delta (\bar{q}-\bar{q}\acute{\ })$

Mit

${{\hat{G}}_{+}}(\bar{q}):=\frac{1}{{{k}^{2}}-{{q}^{2}}+i\eta }$

Mittels Fouriertrafo erfolgt der Übergang in die Ortsdarstellung:

${{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }):=\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{G}}_{+}}(\bar{q})\left| \bar{r}\acute{\ } \right\rangle =-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}$

Dieser erfüllt dann eine Relation des Impulsoperators in Ortsdarstellung (orts- Differeniationsrelation):

$\left( \Delta +{{k}^{2}} \right){{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })$

(dies ist die skalare Helmholtzgleichung!)

Potenzialstreuungen

${{\hat{H}}^{(1)}}$ sei ein Potenzial, das die Wechselwirkung mit einem schweren Teilchen als Streuzentrum(Target) beschreibt. Allgemein: Beschreibung im Schwerpunktsystem

Hier kann man als Schwerpunktsystem näherungsweise den Schwerpunkt des schweren Teilchen annehmen

In Ortsdarstellung schreiben wir:

$\begin{align} & \left\langle \bar{r}\acute{\ } \right|{{{\hat{H}}}^{(1)}}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\ & \Rightarrow {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{{{e}^{i\bar{k}\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ }) \\ \end{align}$

Dies ist die Lippmann Schwingergleichung für eine Potenzialstreuung.

Diese Gleichung ist völlig äquivalent zur Schrödingergeleichung mit Randbedingungen.

Als Randbedingungen sind in der Streutheorie prinzipiell die asymptotischen Wege für r gegen Plus oder Minus UNENDLICH zu verstehen.

Streuamplitude und Streuquerschnitt

Voraussetzung $\begin{matrix} \lim \\ r\acute{\ }\to \infty \\ \end{matrix}V(\bar{r}\acute{\ })=0$ hinreichend rasch!

Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.

das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r→ unendlich der Integrand nur mit $r\acute{\ }<<r$ bei. r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht.!

Wir können also ${{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{{{e}^{ik|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}{4\pi |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}$

für r>> r´ entwickeln:

$\begin{align} & |\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|=\sqrt{{{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{{\bar{r}}}^{2}}-2\bar{r}\bar{r}\acute{\ }+\bar{r}\acute{\ } \right)}=r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}}+{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}\approx r\sqrt{\left( 1-2\frac{\bar{r}\bar{r}\acute{\ }}{{{r}^{2}}} \right)\approx }r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \\ & {{{\bar{e}}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r} \\ \end{align}$

Somit

${{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}}{4\pi r}$

Dabei bezeichnet ${{e}^{ik\left( r-\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}} \right)}}$ die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert!

$\frac{1}{4\pi r}$ ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält!

Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

${{\hat{G}}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\cong -\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}$

Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! (Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen! Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben werden:

$\begin{matrix} \lim \\ r->\infty \\ \end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })$

$\begin{matrix} \lim \\ r->\infty \\ \end{matrix}{{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}+f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$

Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung!

${{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$ als durchlaufende Welle
$\frac{{{e}^{ikr}}}{4\pi r}$ als auslaufende Kugelwelle

Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude

$f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })$

Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung ${{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}$ abhängt: Die Streuung ist elastisch!

Wirkungsquerschnitt

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

$\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}=\frac{\sigma }{Strahlfl\ddot{a}che}$

Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft

σ

: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

σ

$\sigma :=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}$

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}=\frac{Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{{\bar{e}}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}c{{m}^{2}}$

$d\sigma =\frac{{{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left| {{{\bar{j}}}_{e}} \right|}$

$d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi$

Zur einlaufenden Welle:

${{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}$

gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

${{\bar{j}}_{e}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}* \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*=\frac{\hbar \bar{k}}{m}{{\left| \Psi \right|}^{2}}$

Zur Streuwelle in Richtung ${{\bar{e}}_{r}}=\frac{{\bar{r}}}{r}$

also: ${{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f({{\bar{e}}_{r}})\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

$\begin{align} & {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}\left( {{\Psi }_{S}}*\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}\frac{\partial }{\partial r}{{\Psi }_{S}}* \right)=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\frac{\partial }{\partial r}\frac{{{e}^{-ikr}}}{r} \right) \\ & \Rightarrow {{\left( {{{\bar{j}}}_{s}} \right)}_{r}}=\frac{\hbar }{2im}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-ikr}}}{r}\left( \frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{ikr}}-\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\left( -\frac{ik}{r}-\frac{1}{{{r}^{2}}} \right){{e}^{-ikr}} \right)=\frac{\hbar \bar{k}}{m{{r}^{2}}}{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}} \\ \end{align}$

Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts:

$\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}$

Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu

${{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f({{{\bar{e}}}_{r}}) \right|}^{2}}$

Mit der Streuamplitude

$f({{\bar{e}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{e}^{-ik\bar{r}\acute{\ }{{{\bar{e}}}_{r}}}}V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }^{(+)}}(\bar{r}\acute{\ })$

Bornsche Näherung

Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

$\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})$

In diesem Fall kann ${{H}^{(1)}}(\bar{r})$ als kleine Störung betrachtet werden

Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:

$\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle$

Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt!

Man nennt den Schritt

$\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle$

auch Erste Bornsche Näherung

In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:

$\begin{align} & {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{\Psi }_{e}}(\bar{r})+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }_{e}}(\bar{r}\acute{\ }) \\ & {{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\ \end{align}$

Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung

$\begin{align} & f({{{\bar{e}}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}} \\ & \bar{K}:=\bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \\ \end{align}$

Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials $V(\bar{r})$ .

Das Problem kann für kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

Dann kann wieder ${{\bar{e}}_{r}}$ durch $\vartheta ,\phi$ parametrisiert werden!

$K=\left| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$

Die Integration $\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}$ erfolgt in Kugelkoordinaten um die $\bar{K}$ - Achse:

$\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta$

Aus Symmetriegründen hängt $f({{\bar{e}}_{r}})$ nicht von $φ$ ab:

$\begin{align} & f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \acute{\ }} \\ & \int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}=\frac{1}{iKr\acute{\ }}\left( {{e}^{iKr\acute{\ }}}-{{e}^{-iKr\acute{\ }}} \right)=\frac{2\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }} \\ \end{align}$

Somit:

$\begin{align} & f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\frac{\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }}=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \\ & K=2k\sin \frac{\vartheta }{2} \\ \end{align}$

Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:

$\begin{align} & \frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\ & ->\sigma =\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\ & =\int_{-1}^{1}{d\left( \cos \vartheta \right)\int_{0}^{2\pi }{d\phi }}{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\ \end{align}$

Anwendungsbeispiel ist die Rutherford-Streuung. Dies ist die Streuung eines Z₁- fach geladenen Teilchens an einem Z₂- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß

$V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}$

Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten. Einzige Lösung ist das Yukawa-Potenzial

$V(r)=\begin{matrix} \lim \\ \kappa \to 0 \\ \end{matrix}\frac{a}{r}{{e}^{-\kappa r}}$

Als $\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}$ ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik. Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!

Vorlage:Bemerkung

Systematische Störungsentwicklung

Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann-Schwinger-Gleichung:

$\begin{align} & \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ & \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ \end{align}$

Es ergibt sich:

$\begin{align} & \left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle \\ & \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ \end{align}$ (Erste Bornsche Näherung)

$\left| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle$ (Zweite Bornsche Näherung).

.. usw.......

$\left| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left| \Phi \right\rangle$ (Bornsche Reihe)

Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.

Drehimpulsdarstellung und Streuphasen

Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r)

Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung $\left| {\bar{k}} \right\rangle$ in die Drehimpulsdarstellung $\left| lm \right\rangle$ freier Teilchen.

Ziel:

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien

$E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}$ klein

Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:

$\Psi (\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

(Mit den Legendre- Polynomen ${{P}_{l}}(\cos \vartheta )$ )

Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also $φ$ unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials → es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf!

Einlaufende ebene Welle

${{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

Die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom vom Grad l

Es gilt die Orthogonalität: $\int_{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l\acute{\ }}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{{\delta }_{ll\acute{\ }}}$

Dabei taucht der Entartungsgrad $2 l + 1$ als inverser Normierungsfaktor auf. (Der Betrag der Legendre- Polynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad!)

Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit ${{P}_{l\acute{\ }}}(\cos \vartheta )$ und Integration $d ξ$ dass:

$\begin{align} & \frac{2l\acute{\ }+1}{2}\int_{-1}^{1}{d\xi }{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l\acute{\ }}}(\xi )=\frac{1}{r}{{u}_{l\acute{\ }}}(r) \\ & {{e}^{ikr\xi }}:=u\acute{\ } \\ & {{P}_{l\acute{\ }}}(\xi ):=v \\ \end{align}$

im asymptotischen Verhalten $r\to \infty$ gewinnt man (Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration:

$\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\left\{ \frac{1}{ikr}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi ) \right]_{-1}^{+1}-\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{2}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{3}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+... \right\}$

Mit

$\begin{align} & {{P}_{l}}(1)=1 \\ & {{P}_{l}}(-1)={{(-1)}^{l}} \\ \end{align}$

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}\left\{ {{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{l}}{{e}^{-ikr}} \right\}=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}{{i}^{l}}\left\{ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}} \right\} \\ & \Rightarrow \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\left( 2l+1 \right)\frac{{{i}^{l}}}{kr}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2} \right) \\ \end{align}$

Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung

${{\Psi }_{e}}(\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$ ist Lösung der freien Schrödingergleichung.

$\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta -E \right){{\Psi }_{e}}=0$

Mit $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}$ Separation in Kugelkoordinaten erlaubt:

$\begin{align} & {{{\hat{L}}}^{2}}Y_{l}^{m=0}={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y_{l}^{m=0} \\ & Y_{l}^{m=0}\tilde{\ }{{P}_{l}}(\cos \vartheta ) \\ \end{align}$

Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:

$\begin{align} & {{u}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(r)+\left( {{k}^{2}}-\frac{l(l+1)}{{{r}^{2}}} \right){{u}_{l}}(r)=0 \\ & mit \\ & {{u}_{l}}(0)=0 \\ \end{align}$

Vergl. S. 84, §3.3

Voraussetzung ist die REGULARITÄT: $\left\langle V \right\rangle <\infty$

Die Lösung nach Schwabel, Seite 278 lautet:

$\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)$

Also die sphärischen Besselfunktionen!

Die radialen Lösungen für das Streuproblem (Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen

Asymptotische Streuphasen

Wieder entwickeln wir in Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:

$\begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$

Es folgt:

$f(\vartheta )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{{f}_{l}}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt

$\begin{array}{*{35}{l}} {} & {{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\ {} & auerdem \\ {} & \int_{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{{\delta }_{ll\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,}} \\ {} & \Rightarrow {{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}}=2\pi \sum\limits_{l=0}^{\infty }{\frac{2}{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}=:}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\sigma }_{l}} \\ \end{array}$

Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach Partialwellen, l=0,1,2,3...

${{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}$

Die $f l$ müssen dabei noch bestimmt werden:

$\begin{align} & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\Psi (\bar{r})={{e}^{ikr\cos \vartheta }}+f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \\ & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\sum\limits_{l}{{}}\frac{{{u}_{l}}}{r}{{P}_{l}}(\xi )=\sum\limits_{l}{{}}\left\{ \left( 2l+1 \right)\frac{{{i}^{l}}}{kr}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)+{{f}_{l}}\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \right\}{{P}_{l}}(\xi ) \\ \end{align}$

Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form

$\begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\sum\limits_{l}{{}}\frac{{{u}_{l}}}{r}{{P}_{l}}(\xi )={{C}_{l}}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)$

darstellen lassen. Dabei findet sich in $\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)$

die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung $δ l$ der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.

Der Koeffizient $C l$ muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:

$\frac{{{C}_{l}}}{2i}\left\{ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)}} \right\}=\left\{ \frac{\left( 2l+1 \right)}{2i}\frac{{{i}^{l}}}{k}\left[ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}} \right]+{{f}_{l}}{{e}^{ikr}} \right\}$

Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit ${{e}^{\pm ikr}}$ :

${{e}^{-ikr}}:{{C}_{l}}=\frac{\left( 2l+1 \right)}{k}{{i}^{l}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}$

${{e}^{ikr}}:\frac{1}{2i}{{C}_{l}}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}=\frac{\left( 2l+1 \right)}{2i}\frac{{{i}^{l}}}{k}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}+{{f}_{l}}$

Damit folgt:

$\begin{align} & {{f}_{l}}=\frac{2l+1}{2ik}{{i}^{l}}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}\left( {{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1 \right)=\frac{2l+1}{2ik}\left( {{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1 \right) \\ & \Rightarrow {{f}_{l}}=\frac{2l+1}{k}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}\sin {{\delta }_{l}} \\ \end{align}$

Mit der

Streuamplitude: $f l$ und der
Streuphase: $δ l$ der l-ten Partialwelle.

Es folgt:

$\Rightarrow {{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}$

Spezialfall für $l = 0$ ist die sogenannte s- Welle. Diese ist isotrop wegen $P 0 (ξ) = 1$ und damit nicht mehr von $\vartheta$ abhängig. Ihr Streuquerschnitt lautet ${{\sigma }_{0}}=\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}{{\sin }^{2}}{{\delta }_{0}}$

Im Prinzip wird $δ l$ aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.

Bemerkung

Bei genügend kleinen Energien $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}$ werden nur die niedrigsten Partialwellen (für kleine l) gestreut. Denn: in $\sigma =\sum\limits_{l}{{{\sigma }_{l}}=\sum\limits_{l}{{}}}\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}$

tragen nur die l mit $l\le ka$ bei. Dabei ist a die Reichweite des Potenzials! Grund (aus semiklassischer Betrachtung): Es falle ein Teilchen mit $\bar{p}=\hbar \bar{k}$ ein: Dabei:

$\left| {\bar{L}} \right|=\left| \bar{r}\times \bar{p} \right|=bp=\hbar kb=\hbar \sqrt{l(l+1)}$

Dies impliziert jedoch: Stoßparameter $b=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{k}\le a\Rightarrow l\approx \sqrt{l(l+1)}\le ka$

Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise! Das folgende Bild zeigt die Streuwelle ${{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ für die Streuung einer ebenen Welle $e i k z$ an einem abstoßenden Potenzial.

Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte $σ l$ der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen:

Prüfungsfragen

Schöll: Lippmann-Schwinger-Gleichung

   * aufschreiben
   * Gleichung nicht exakt lösbar→ welche Näherung ist möglich?
   * Herleitung aus Schrödinger Gleichung

Greenscher Operator

   * Herleitung mit Residuensatz

Fakten zu StreutheorieRDF-Feed

Abschnitt	0 +
Definition	Erste Bornsche Näherung +
Fachbegriff	Hamiltonoperator +, Kinetische Energie +, Wechselwirkungsenergie +, Stationärer Streuung +, Schrödingergleichung +, Inversen Operation +, Greenscher Operator +, Resolvente +, Lippmann- Schwinger- Gleichung +, Fouriertransormation +, Residuensatz +, Streuzentrum +, Fernfeldlösungen +, Streuphase +, Streuamplitude +, Strahlfläche +, Differenziellen Wirkungsquerschnitts +, Totale Wirkungsquerschnitt +, Rutherford-Streuung +, Yukawa-Potenzial +, Bornsche Reihe +, Lippmann-Schwinger-Gleichung +, Wirkungsquerschnitt + und Partialwellen +
Index	Hamiltonoperator +, Kinetische Energie +, Wechselwirkungsenergie +, Stationärer Streuung +, Schrödingergleichung +, Inversen Operation +, Greenscher Operator +, Resolvente +, Lippmann- Schwinger- Gleichung +, Fouriertransormation +, Residuensatz +, Streuzentrum +, Fernfeldlösungen +, Streuphase +, Streuamplitude +, Strahlfläche +, Differenziellen Wirkungsquerschnitts +, Totale Wirkungsquerschnitt +, Erste Bornsche Näherung +, Rutherford-Streuung +, Yukawa-Potenzial +, Bornsche Reihe +, Lippmann-Schwinger-Gleichung +, Wirkungsquerschnitt + und Partialwellen +
Inhaltstyp	Script +
Kapitel	6 +
Urheber	Prof. Dr. E. Schöll, PhD +