Übersicht:Thermodynamik - Versionsgeschichte

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2010-09-16T20:26:45Z

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*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T18:23:34Z

Einrückungen Mathematik

Schubotz: /* Phänomenologische Thermodynamik */

2009-07-20T12:07:14Z

Phänomenologische Thermodynamik

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 14:07 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	*<math>\Rightarrow \hat{\rho }=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)</math>		*<math>\Rightarrow \hat{\rho }=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)</math>
	==Phänomenologische Thermodynamik==		==Phänomenologische Thermodynamik==
			===1. Hauptsatz===
			*Energieerhaltungssatz
			*<math>dU=\delta Q+\delta Q=TdS-pdV</math>
			* vgl Gibsche Fundamentalrelation
			===2. Hauptsatz===
			* Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden
			*<math>\delta S\ge \frac{\delta Q}{T}</math>

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Situation in der QM */

2009-07-20T11:59:20Z

Situation in der QM

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 13:59 Uhr
Zeile 91:		Zeile 91:
	** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|</math>		** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|</math>
	** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|}</math>		** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|}</math>
			*vorurteilsfreie Schätzung <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> durch Maximalmessung
			*<math>\operatorname{Tr}\hat{\rho }=1</math>
			*<math>\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}^{\nu }} \right)=\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
			*<math>\Rightarrow \hat{\rho }=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)</math>
			==Phänomenologische Thermodynamik==

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Kullback-Information */

2009-07-20T11:53:56Z

Kullback-Information

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 13:53 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	** <math>1=\sum{{{P}_{i}}}</math>		** <math>1=\sum{{{P}_{i}}}</math>
	** <math>{{P}_{i}}={{P}_{i}}'\Rightarrow K=0</math> (kein Gewinn)		** <math>{{P}_{i}}={{P}_{i}}'\Rightarrow K=0</math> (kein Gewinn)
	* Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information		* Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
	* Mit Dichtematrix <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \frac{{\hat{\rho }}}{{{{\hat{\rho }}}^{0}}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right) \right)=I\left( {\hat{\rho }} \right)-I\left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)-\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }-{{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)\ln \left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)</math>		* Mit Dichtematrix <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \frac{{\hat{\rho }}}{{{{\hat{\rho }}}^{0}}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right) \right)=I\left( {\hat{\rho }} \right)-I\left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)-\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }-{{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)\ln \left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)</math>
	* Für Druckensemble <math>{{{\hat{\rho }}}^{0}}=\exp \left( {{\psi }^{0}}-{{\beta }^{0}}\left( H+{{p}^{0}}V \right) \right)</math> und <math>\rho</math> nicht im Gleichgewichtszustand folgt <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{S-{{S}^{0}}}{{{T}^{0}}}+\frac{U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)}{k{{T}^{0}}}</math>		* Für Druckensemble <math>{{{\hat{\rho }}}^{0}}=\exp \left( {{\psi }^{0}}-{{\beta }^{0}}\left( H+{{p}^{0}}V \right) \right)</math> und <math>\rho</math> nicht im Gleichgewichtszustand folgt <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{S-{{S}^{0}}}{{{T}^{0}}}+\frac{U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)}{k{{T}^{0}}}</math>
Zeile 84:		Zeile 84:
	* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>		* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
	* --> die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>		* --> die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>
			==Situation in der QM==
			* Microzustände <math>\left\| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math>
			* Microobservablen (durch Maximalmessung (Satz von vertauschbaren Observabelen)) Operator <math>{\hat{\mathcal{M}}}</math>
			* Messert Eigenwert zum Eingenzustand <math>{{{\hat{M}}}_{\alpha }}\left\| \psi \right\rangle ={{m}_{\alpha }}\left\| \psi \right\rangle </math>
			* Erwartungwert
			** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|</math>
			** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left\| {{M}_{\alpha }} \right\|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left\| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right\|}</math>

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Kullback-Information */

2009-07-20T11:43:42Z

Kullback-Information

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 13:43 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	==Kullback-Information==		==Kullback-Information==
	* Informationsgewinn <math>K\left( P,P' \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}'}} \ge 0</math>		* Informationsgewinn <math>K\left( P,P' \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}'}} \ge 0</math>
			* Minium Variation mit NB:
			** <math>1=\sum{{{P}_{i}}}</math>
			** <math>{{P}_{i}}={{P}_{i}}'\Rightarrow K=0</math> (kein Gewinn)
			* Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
			* Mit Dichtematrix <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \frac{{\hat{\rho }}}{{{{\hat{\rho }}}^{0}}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right) \right)=I\left( {\hat{\rho }} \right)-I\left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)-\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }-{{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)\ln \left( {{{\hat{\rho }}}^{0}} \right)</math>
			* Für Druckensemble <math>{{{\hat{\rho }}}^{0}}=\exp \left( {{\psi }^{0}}-{{\beta }^{0}}\left( H+{{p}^{0}}V \right) \right)</math> und <math>\rho</math> nicht im Gleichgewichtszustand folgt <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{S-{{S}^{0}}}{{{T}^{0}}}+\frac{U-{{U}^{0}}+{{p}^{0}}\left( V-{{V}^{0}} \right)}{k{{T}^{0}}}</math>
			* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>
			* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
			* --> die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Beziehungen */

2009-07-20T11:25:55Z

Beziehungen

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 13:25 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen		** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
	* Gibbssche Fundamentalgleichung <math>dS=k{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =k\left( \beta dU+\frac{\beta }{p}dV-\frac{S}{\mu }dN \right)</math>		* Gibbssche Fundamentalgleichung <math>dS=k{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =k\left( \beta dU+\frac{\beta }{p}dV-\frac{S}{\mu }dN \right)</math>
			==Kullback-Information==
			* Informationsgewinn <math>K\left( P,P' \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln \frac{{{P}_{i}}}{{{P}_{i}}'}} \ge 0</math>

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Fundamentalbeziehung */

2009-07-20T10:55:11Z

Fundamentalbeziehung

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 12:55 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>		*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>
	<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>		<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
	* extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle		* extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle
	={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)		={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)
	={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math>		={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math>
	* intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math>		* intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math>
			<math>\to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
			==Beziehungen==
			*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=Tr\left( \hat{\rho }\ln \hat{\rho } \right)</math>
			* Verknüpfung mit phänomenologischer Statistik
			** Entropie = fehlende Kenntnis
			** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math>
			** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, --> kann Entropie (S) nicht abnehmen
			** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
			** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
			* Gibbssche Fundamentalgleichung <math>dS=k{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =k\left( \beta dU+\frac{\beta }{p}dV-\frac{S}{\mu }dN \right)</math>

	[[Kategorie:Thermodynamik]]		[[Kategorie:Thermodynamik]]

Schubotz: /* Nebenbedingungen */

2009-07-20T10:37:44Z

Nebenbedingungen

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2009, 12:37 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)</math>		=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)</math>
	* die m+1 Lagrange-Multiplikatoren sind also eindeutig bestimmt		* die m+1 Lagrange-Multiplikatoren sind also eindeutig bestimmt
			* <math>\psi =\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)=-\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)}</math>, da <math>\begin{align}
			& 1=\sum{{{P}_{i}}}=\sum{\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)={{e}^{\psi }}{{e}^{{{\lambda }_{\nu }}}}\sum{{{e}^{M_{i}^{\nu }}}}} \\
			& \Rightarrow {{e}^{-\psi }}={{e}^{{{\lambda }_{\nu }}}}\sum{{{e}^{M_{i}^{\nu }}}} \\
			\end{align}</math>

	==Fundamentalbeziehung==		==Fundamentalbeziehung==
	*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>		*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:20 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==klassische Mechanik==		==klassische Mechanik==
	* Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik		* Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
	~~-->~~ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten		→ gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
	* Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen		* Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
	* Lösungen Trajektorien im Phasenraum		* Lösungen Trajektorien im Phasenraum
	==Satz von Liouville==		==Satz von Liouville==
	Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung		Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung
	~~-->~~ gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen		→ gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
	~~-->~~ Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>		→ Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>
	==Zustand==		==Zustand==
	:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math>		:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math>
Zeile 16:		Zeile 16:
	*Information: Welches Ereignis tritt ein?		*Information: Welches Ereignis tritt ein?
	*Wie viel weiß ich von meinem System?		*Wie viel weiß ich von meinem System?
	*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> ~~-->~~ schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>		*'''Maximum'''<math>I\left( P \right)=0</math> → schafte Verteilung<math>{{P}_{i}}={{\delta }_{ij}}</math>
	===minimum===		===minimum===
	*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math>		*Maximum des Nichtwissens entspricht '''minimaler''' Shannon-Information -- ><math>I\left( P \right)<0</math> Variation der <math>P_i</math> um<math>\delta {{P}_{i}}</math>
Zeile 67:		Zeile 67:
	** Entropie = fehlende Kenntnis		** Entropie = fehlende Kenntnis
	** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math>		** <math>S\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)=-{{k}_{B}}I\left( \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle \right)</math>
	** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, ~~-->~~ kann Entropie (S) nicht abnehmen		** da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, → kann Entropie (S) nicht abnehmen
	** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>		** <math>S=-kI=-k\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\ln \left( {\hat{\rho }} \right) \right)=-k\left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)=k\left( {{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}-\psi \left( \left\{ {{\lambda }_{\mu }} \right\} \right) \right)</math>
	** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen		** <math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}S</math> pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
Zeile 81:		Zeile 81:
	* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>		* mit Energie <math>\Lambda</math> <math>K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math>
	* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>		* der Informationsgewinn kann nur abnehmen <math>{{d}_{t}}K\left( \rho ,{{\rho }^{0}} \right)=\frac{{{d}_{t}}\Lambda }{k{{T}^{0}}}</math> mit <math>\nu =-\frac{1}{T}{{d}_{t}}\Lambda </math>
	* ~~-->~~ die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>		* → die Entropieproduktion ist ststs <math>\ge 0</math>
	==Situation in der QM==		==Situation in der QM==
	* Microzustände <math>\left\| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math>		* Microzustände <math>\left\| \psi \right\rangle \in \mathcal{H}</math>

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 20:23 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	--> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>		--> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen <math>I(t_1)\ge I(t_2)</math> mit <math>t_1 < t_2</math>
	==Zustand==		==Zustand==
	<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math>		:<math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle =\int{d\xi \rho \left( \xi \right){{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}</math>
	(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen		(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen
	<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)={{z}^{-1}}\exp \left( -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)</math>		:<math>\rho \left( \xi \right)=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)={{z}^{-1}}\exp \left( -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right) \right)</math> mit <math>z={{\operatorname{e}}^{-\psi }}=\int{{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}}d\xi }</math>
	mit
	<math>z={{\operatorname{e}}^{-\psi }}=\int{{{e}^{-{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }}\left( \xi \right)}}d\xi }</math>
	==Shannon-Information==		==Shannon-Information==
	*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math>		*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}} \le 0</math>
Zeile 24:		Zeile 22:
	mit 1 Nebendbedingung <math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters<math>\lambda</math> zu		mit 1 Nebendbedingung <math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math> führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters<math>\lambda</math> zu

	<math>I\left( P \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left( {{P}_{i}}-1 \right)}</math>		:<math>I\left( P \right)=\sum{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}+\lambda \left( {{P}_{i}}-1 \right)}</math>

	die Variation, also <math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math>		die Variation, also <math>\delta I\left( P \right)=\sum{\left( \ln {{P}_{i}}+1 \right)\delta {{P}_{i}}}</math>
Zeile 30:		Zeile 28:
	lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen		lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen

	<math>\left( \ln {{P}_{i}} \right)=- \left( \lambda +1 \right)=\text{const.}</math>		:<math>\left( \ln {{P}_{i}} \right)=- \left( \lambda +1 \right)=\text{const.}</math>

	so erhält man wegen der Normierung (<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math>) die		so erhält man wegen der Normierung (<math>\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}=1</math>) die
Zeile 58:		Zeile 56:
	==Fundamentalbeziehung==		==Fundamentalbeziehung==
	*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>		*durch eine Legenderetransformation <math>I\left( P \right)\to I\left( \lambda \right)</math>
	<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>		:<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln \exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}M_{i}^{\nu } \right)}=\psi \underbrace{\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}}_{1}-{{\lambda }_{\nu }}\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}M_{i}^{\nu }}=\psi -{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
	* extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle		* extensive Parameter <math>\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle
	={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)		={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\psi \left( {{\lambda }_{\nu }} \right)
	={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math>		={{\partial }_{{{\lambda }_{\nu }}}}\left( -\ln \sum{\exp \left( -{{\lambda }_{\mu }}M_{i}^{\mu } \right)} \right)</math>
	* intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math>		* intensive Parameter <math>{{\lambda }_{\nu }}=-{{\partial }_{\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }}I</math>
	<math>\to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>		:<math>\to dI=-{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math>
	==Beziehungen==		==Beziehungen==
	*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=Tr\left( \hat{\rho }\ln \hat{\rho } \right)</math>		*<math>I\left( P \right)=\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}}=Tr\left( \hat{\rho }\ln \hat{\rho } \right)</math>