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2010-09-12T16:07:04Z

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Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „ === 2.1 Definition === Seien $(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )$ affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung $f:X\to Y$ heißt genau dan…“

2010-04-14T21:06:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ === 2.1 Definition === Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dan…“

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=== 2.1 Definition ===
Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K.
Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt
<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math>

=== 2.2 Vereinfachung ===
Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt.
Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig.
<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math>
Beweis: Man geht den Umweg über p0:
In jedem affinen Raum gilt:
<math>\begin{align}
& \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\
& \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\
\end{align}</math>
Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math>
Zum Vergleich: In der Definition heißt es:
<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math>
Aber es geht noch weiter:
Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math>
Beweis:
<math>\begin{align}
& \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\
& \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\
\end{align}</math>

[[Kategorie:Affine Geometrie]]

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	Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K.		Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K.
	Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt		Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt
	<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math>		:<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math>


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	Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt.		Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt.
	Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig.		Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig.
	<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math>		:<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math>
	Beweis: Man geht den Umweg über p0:		Beweis: Man geht den Umweg über p0:
	In jedem affinen Raum gilt:		In jedem affinen Raum gilt:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\		& \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\
	& \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\		& \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\
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	Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math>		Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math>
	Zum Vergleich: In der Definition heißt es:		Zum Vergleich: In der Definition heißt es:
	<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math>		:<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math>
	Aber es geht noch weiter:		Aber es geht noch weiter:
	Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math>		Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math>
	Beweis:		Beweis:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\		& \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\
	& \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\		& \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\

Affinie Abbildung - Versionsgeschichte

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