Das Zweikörperproblem - Versionsgeschichte

83.151.22.12: /* Impuls- und Drehimpulserhaltung */

2011-07-01T22:18:27Z

Impuls- und Drehimpulserhaltung

Änderungen zeigen

87.252.5.128: /* Planetenbewegung und Keplersche Gesetze */

2011-07-01T15:48:18Z

Planetenbewegung und Keplersche Gesetze

Änderungen zeigen

193.104.3.135: /* Energieerhaltung und Bahngleichung */

2011-07-01T11:56:12Z

Energieerhaltung und Bahngleichung

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 13:56 Uhr
Zeile 226:		Zeile 226:


	~~====Energieerhaltung und Bahngleichung====~~		This info is the cats pjamaas!

	~~Bestimmen wir die Lagranggleichung 2. Art für den radius r:~~


	~~:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\~~
	~~& \frac{\partial L}{\partial r}=mr{{{\dot{\phi }}}^{2}}-V\acute{\ }(r) \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Somit gilt:~~


	~~:<math>m\ddot{r}-mr{{\dot{\phi }}^{2}}+V\acute{\ }(r)=0</math>~~


	~~Mit der Zentrifugalkraft~~
	~~:<math>mr{{\dot{\phi }}^{2}}</math>~~


	~~Die Zeitableitung des Winkels können wir eliminieren durch die Bewegungskonstante l:~~


	~~:<math>\dot{\phi }=\frac{l}{m{{r}^{2}}}</math>~~



	~~:<math>m\ddot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}+V\acute{\ }(r)=0</math>~~


	~~# '''Integral: '''Trick: Wir müssen die Gleichung auf zeitliche Änderung bringen. Zu diesem zweck multiplizieren wir alles mit~~
	~~:<math>\dot{r}</math>~~
	:


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& m\ddot{r}\dot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}+\dot{r}V\acute{\ }(r)=0 \\~~
	~~& m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2}{{{\dot{r}}}^{2}} \right) \\~~
	~~& \frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( -\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}} \right) \\~~
	~~& \dot{r}V\acute{\ }(r)=\frac{d}{dt}V(r) \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Somit können wir Integration über die zeit ausführen und es ergibt sich:~~


	~~:<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)=const=E</math>~~
	~~Energieerhaltung mit~~
	~~:<math>T=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{{{m}^{2}}{{r}^{2}}} \right)=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)</math>~~


	~~<u>'''Andere Interpretation'''</u>~~

	~~Die Bewegung der beiden Körper ist ebenfalls als eindimensionale Bewegung in einem '''effektiven'''~~

	~~'''Radialpotenzial'''~~


	~~:<math>\tilde{V}(r):=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>~~


	~~Dabei wird~~
	~~:<math>\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math>~~
	~~als Zentrifugalbarriere bezeichnet.~~

	~~Es ergibt sich:~~
	~~:<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\tilde{V}(r)=const=E</math>~~


	~~Somit:~~


	~~:<math>\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}=\frac{dr}{dt}</math>~~


	~~Integration liefert:~~


	~~:<math>\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{dt\acute{\ }}}</math>~~


	~~Es sind somit t(r) und r(t) berechenbar.~~

	~~Der Winkel folgt dann aus:~~


	~~:<math>\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{mr{{(t)}^{2}}}</math>~~
	~~durch Einsetzen:~~


	~~:<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{{}}\frac{l}{m{{r}^{2}}(t\acute{\ })}dt\acute{\ }</math>~~


	~~Es ergibt sich also:~~
	~~:<math>\phi (t)</math>.~~


	~~Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:~~


	~~:<math>\frac{dr}{d\phi }=\frac{{\dot{r}}}{{\dot{\phi }}}=\frac{m{{r}^{2}}\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}}{l}={{r}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}</math>~~


	~~Es folgt:~~


	:<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}</math>


	~~Daraus erhält man als Bahngleichung~~
	~~:<math>\phi (r)</math>~~
	~~bzw.~~
	~~:<math>r(\phi )</math>.~~


	~~Die Bahngleichung.~~

	====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze====		====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (10)

2010-09-12T22:25:47Z

Interpunktion, replaced: ! → !, ( → ( (10)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:25 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung		f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

	* 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).		* 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen).
	* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung		* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Zeile 25:		Zeile 25:
	Beispiel: Zweikörperproblem		Beispiel: Zweikörperproblem

	2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(\|r1-r2\|) ( Zentralpotenzial).		2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(\|r1-r2\|) (Zentralpotenzial).

	Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung		Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung
Zeile 166:		Zeile 166:
	liegen in der Ebene senkrecht zu		liegen in der Ebene senkrecht zu
	:<math>\bar{l}</math>		:<math>\bar{l}</math>
	( Im Schwerpunktsystem).		(Im Schwerpunktsystem).

	Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:		Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
Zeile 312:		Zeile 312:


	Es sind somit t( r) und r( t) berechenbar.		Es sind somit t(r) und r(t) berechenbar.

	Der Winkel folgt dann aus:		Der Winkel folgt dann aus:
Zeile 325:		Zeile 325:

	Es ergibt sich also:		Es ergibt sich also:
	:<math>\phi (t)</math>		:<math>\phi (t)</math>.
	.

	Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:		Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:
Zeile 343:		Zeile 343:
	:<math>\phi (r)</math>		:<math>\phi (r)</math>
	bzw.		bzw.
	:<math>r(\phi )</math>		:<math>r(\phi )</math>.
	.

	Die Bahngleichung.		Die Bahngleichung.
Zeile 388:		Zeile 388:

	:<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>		:<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
	: Bahnen sind geschlossen ( Ellipse, Spezialfall: Kreis)		: Bahnen sind geschlossen (Ellipse, Spezialfall: Kreis)


	:<math>E>0</math>		:<math>E>0</math>
	Bahnen sind offen. ( Hyperbeln)		Bahnen sind offen. (Hyperbeln)

	Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt.		Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt.
Zeile 406:		Zeile 406:


	bestimmt ( quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen):		bestimmt (quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen):


Zeile 584:		Zeile 584:


	Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden ( Flächensatz), so gilt:		Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden (Flächensatz), so gilt:

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T19:49:20Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:49 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Idee:		Idee:

	f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung		f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

	* 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).		* 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:24:28Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:04:04Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:04 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	{{q}_{2}} \\		{{q}_{2}} \\
	{{q}_{3}} \\		{{q}_{3}} \\
	\end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math>		\end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> Schwerpunktskoordinate <math>\left( \begin{matrix}
	Schwerpunktskoordinate


	<math>\left( \begin{matrix}
	{{q}_{4}} \\		{{q}_{4}} \\
	{{q}_{5}} \\		{{q}_{5}} \\
Zeile 357:		Zeile 353:


	<math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math>		<math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math> mit <math>r=\|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}\|</math>
	mit
	<math>r=\|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}\|</math>


Zeile 383:		Zeile 377:
	& \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\		& \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\
	& \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\		& \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> Wegen <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math>


	Wegen


	<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math>
	ist eine Bewegung nur für		ist eine Bewegung nur für
	<math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math>		<math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math>
Zeile 441:		Zeile 429:


	<math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math>		<math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math> mit <math>\begin{align}


	mit


	<math>\begin{align}
	& -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\		& -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\
	& D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\		& D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\
Zeile 491:		Zeile 473:


	<math>{{\phi }_{o}}</math>		<math>{{\phi }_{o}}</math> oder <math>{{r}_{o}}</math>
	oder
	<math>{{r}_{o}}</math>
	kann frei eingesetzt werden.		kann frei eingesetzt werden.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}} Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet. Idee: f Freiheitsgrade -> f…“

2010-08-28T22:16:02Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}}</noinclude> Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet. Idee: f Freiheitsgrade -> f…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}}</noinclude>
Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

* 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).
* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:

<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math>

So wäre das Problem vollständig gelöst:

<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math>

Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.

Beispiel: Zweikörperproblem

2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) ( Zentralpotenzial).

Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung

Zahl der Freiheitsgrade: f=6

Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren

'''Erhaltungssätze'''

# V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
Somit ist der Impuls:
<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math>
=konstant

Der Schwerpunkt:
<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Dies folgt aus:
<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math>

M:=m1 + m2

Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
<math>\bar{P},\bar{R}</math>

# V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
Damit ist der Drehimpuls
<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math>

Es sind drei weitere Integrationskonstanten
<math>\bar{l}</math>
gefunden.

# Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:

<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math>

Eine Integrationskonstante E

Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.

====Impuls- und Drehimpulserhaltung====

Lagrange- Formulierung:

<math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>

Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:

<math>\left( \begin{matrix}
{{q}_{1}} \\
{{q}_{2}} \\
{{q}_{3}} \\
\end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math>
Schwerpunktskoordinate

<math>\left( \begin{matrix}
{{q}_{4}} \\
{{q}_{5}} \\
{{q}_{6}} \\
\end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
Relativkoordinate

Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:

<math>\begin{align}
& {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
& L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet

<math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
den Abstand und

<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
die relative Masse

<math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>

<math>\bar{R}</math>
ist zyklische Koordinate:
<math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
mit k= x,y,z

<math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>

Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:

o.B.d.A:
<math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>

Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung

<math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>

mit:

<math>\begin{align}
& {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
\end{align}</math>

Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:

<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
(Rotationsinvarianz)

Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):

<math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>

Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
<math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
liegen in der Ebene senkrecht zu
<math>\bar{l}</math>
( Im Schwerpunktsystem).

Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:

<math>\begin{align}
& x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
& y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
\end{align}</math>

Somit:

<math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>

Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
<math>\left( r,\phi \right)</math>

<math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>

<math>\phi </math>
ist zyklische Koordinate:
<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>

Hier: l = lz, da lx = ly =0

Also:
<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>

=====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====

Geometrische Interpretation von
<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
:

Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:

Für die Fläche gilt:

<math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>

Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:

<math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>

====Energieerhaltung und Bahngleichung====

Bestimmen wir die Lagranggleichung 2. Art für den radius r:

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0</math>

<math>\begin{align}
& \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\
& \frac{\partial L}{\partial r}=mr{{{\dot{\phi }}}^{2}}-V\acute{\ }(r) \\
\end{align}</math>

Somit gilt:

<math>m\ddot{r}-mr{{\dot{\phi }}^{2}}+V\acute{\ }(r)=0</math>

Mit der Zentrifugalkraft
<math>mr{{\dot{\phi }}^{2}}</math>

Die Zeitableitung des Winkels können wir eliminieren durch die Bewegungskonstante l:

<math>\dot{\phi }=\frac{l}{m{{r}^{2}}}</math>

<math>m\ddot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}+V\acute{\ }(r)=0</math>

# '''Integral: '''Trick: Wir müssen die Gleichung auf zeitliche Änderung bringen. Zu diesem zweck multiplizieren wir alles mit
<math>\dot{r}</math>
:

<math>\begin{align}
& m\ddot{r}\dot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}+\dot{r}V\acute{\ }(r)=0 \\
& m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2}{{{\dot{r}}}^{2}} \right) \\
& \frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( -\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}} \right) \\
& \dot{r}V\acute{\ }(r)=\frac{d}{dt}V(r) \\
\end{align}</math>

Somit können wir Integration über die zeit ausführen und es ergibt sich:

<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)=const=E</math>
Energieerhaltung mit
<math>T=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{{{m}^{2}}{{r}^{2}}} \right)=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)</math>

'''Andere Interpretation'''

Die Bewegung der beiden Körper ist ebenfalls als eindimensionale Bewegung in einem '''effektiven'''

'''Radialpotenzial'''

<math>\tilde{V}(r):=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>

Dabei wird
<math>\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math>
als Zentrifugalbarriere bezeichnet.

Es ergibt sich:
<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\tilde{V}(r)=const=E</math>

Somit:

<math>\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}=\frac{dr}{dt}</math>

Integration liefert:

<math>\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{dt\acute{\ }}}</math>

Es sind somit t( r) und r( t) berechenbar.

Der Winkel folgt dann aus:

<math>\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{mr{{(t)}^{2}}}</math>
durch Einsetzen:

<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{{}}\frac{l}{m{{r}^{2}}(t\acute{\ })}dt\acute{\ }</math>

Es ergibt sich also:
<math>\phi (t)</math>
.

Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:

<math>\frac{dr}{d\phi }=\frac{{\dot{r}}}{{\dot{\phi }}}=\frac{m{{r}^{2}}\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}}{l}={{r}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}</math>

Es folgt:

<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}</math>

Daraus erhält man als Bahngleichung
<math>\phi (r)</math>
bzw.
<math>r(\phi )</math>
.

Die Bahngleichung.

====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze====

Betrachten wir speziell das Gravitationspotenzial als Wechselwirkung:

<math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math>
mit
<math>r=|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}|</math>

Somit ergibt sich ein effektives Radialpotenzial gemäß

<math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad k:=\gamma {{m}_{1}}m>0</math>

ALs Grenzwert folgt:

<math>\begin{align}
& r\to 0:\tilde{V}(r)=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad \to \infty \\
& r\to \infty :\tilde{V}(r)=-\frac{k}{r}\quad \to 0 \\
\end{align}</math>

Differenziation findet ein Minimum:

<math>\begin{align}
& \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\
& \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Wegen

<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math>
ist eine Bewegung nur für
<math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math>
möglich. Also muss
<math>E\ge \tilde{V}(r)</math>

Es gilt:

<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
: Bahnen sind geschlossen ( Ellipse, Spezialfall: Kreis)

<math>E>0</math>
Bahnen sind offen. ( Hyperbeln)

Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt.

Das Potenzial hat die folgende Gestalt:

Für
<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>

Sind die Umkehrpunkte durch
<math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad =E</math>

bestimmt ( quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen):

<math>{{r}_{\min /\max }}=\frac{1}{2|E|}\left( k\mp \sqrt{{{k}^{2}}-\frac{2{{l}^{2}}|E|}{m}} \right)</math>

Für E>0 gibt es nur noch eine Lösung für r, die positiv und damit physikalisch sinnvoll ist.

Aus

gewinnt man den inneren Umkehrpunkt:

Die Bahngleichung kann nun explizit berechnet werden:

<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}</math>

Dieses Integral ist nicht leicht zu berechnen, jedoch lediglich ein mathematisches Problem. Es gelingt mit einer geschickten Substitution:

Zunächst soll der Ausdruck unter der Wurzel quadratisch ergänzt werden:

<math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math>

mit

<math>\begin{align}
& -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\
& D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\
\end{align}</math>

Dabei gilt:

<math>\begin{align}
& \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}=\tilde{V}({{r}_{o}}) \\
& \Rightarrow D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right)\ge 0 \\
\end{align}</math>

Substitution:

<math>\begin{align}
& \cos \vartheta \acute{\ }:=\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)\Rightarrow \frac{d\cos \vartheta }{dr\acute{\ }}=-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
& \frac{d\cos \vartheta }{d\vartheta }=-\sin \vartheta \acute{\ }\Rightarrow -\sin \vartheta d\vartheta =d\cos \vartheta \\
& -\sin \vartheta \acute{\ }d\vartheta =-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
\end{align}</math>

Somit folgt:

<math>\begin{align}
& \phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right]}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]} \\
& \int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]}=\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }\sin \vartheta \acute{\ }\frac{1}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\vartheta }\acute{\ }}=}\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }=\vartheta -{{\vartheta }_{0}}} \\
& \vartheta -{{\vartheta }_{0}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
\end{align}</math>

Also in Summary:

<math>\phi -{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>

Eine der Integrationskonstanten,

<math>{{\phi }_{o}}</math>
oder
<math>{{r}_{o}}</math>
kann frei eingesetzt werden.

Wir wählen den Winkel willkürlich:

Mit der vereinfachenden Wahl von

<math>{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>

ergibt sich:

<math>\begin{align}
& \phi (r)=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
& \Rightarrow \frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right) \\
& mit\quad \varepsilon :=\sqrt{D}\frac{{{l}^{2}}}{mk}=\sqrt{1+\frac{2E{{l}^{2}}}{m{{k}^{2}}}} \\
\end{align}</math>

Wesentlich ist unsere Bahngleichung:

<math>\frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right)</math>

Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:

<math>\begin{align}
& \varepsilon >1\cong E>0\quad Hyperbel(offene\ Bahn) \\
& \varepsilon =1\cong E=0\quad Parabel(offene\ Bahn) \\
& \varepsilon <1\cong -\frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}<E<0\quad Ellipse(geschlossene\ Bahn) \\
\end{align}</math>

Für da zweidimensionale Problem ist die Umrechnung auf kartesische Korodinaten sehr einfach:

Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:

<math>\begin{align}
& \cos \phi =\frac{x}{r} \\
& \sin \phi =\frac{y}{r} \\
& r=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
\end{align}</math>

Für
<math>\varepsilon <1</math>
folgt:

<math>\begin{align}
& {{\left( \frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)x+\varepsilon \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
& \frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}{{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{2}}{{\left( x+\frac{{{l}^{2}}}{mk}\frac{\varepsilon }{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
\end{align}</math>

Dies kann vereinfacht werden zu:

<math>\frac{{{\left( x+e \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1</math>

mit der Exzentrizität

<math>e=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}</math>

Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung.

Die Hauptachsen lauten:

<math>\begin{align}
& a=\frac{{{l}^{2}}}{mk(1-{{\varepsilon }^{2}})}=\frac{k}{2|E|} \\
& b=\frac{{{l}^{2}}}{mk\sqrt{1-{{\varepsilon }^{2}}}}=\frac{l}{\sqrt{2m|E|}} \\
\end{align}</math>

Die relative Exzentrizität:

<math>\varepsilon =\frac{e}{a}=\sqrt{1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}</math>

e, die absolute Exzentrizität ist der absolute Abstand zwischen Mittelpunkt der Ellipse und einem Brennpunkt.

=====Keplersches Gesetz=====

Folgt also aus der Bewegungsgleichung mit Gravitationspotenzial bei negativen Energien:

Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.

=====Keplersches Gesetz=====

T²~a³

'''Beweis:'''

Für die Fläche einer Ellipse gilt:

<math>F=\pi ab</math>

Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden ( Flächensatz), so gilt:

<math>\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>

Es ergibt sich der folgende Zusammenhang mit der Umlaufzeit:

<math>\int\limits_{0}^{T}{dt}\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}T=F=\pi ab</math>

Aus der Herleitung des ersten Keplerschen Gesetzes ist bekannt:

<math>\begin{align}
& \frac{{{b}^{2}}}{a}=\frac{{{l}^{2}}}{mk}\Rightarrow b=\frac{l}{\sqrt{mk}}\sqrt{a} \\
& T=\frac{2m\pi ab}{l}=\frac{2\sqrt{m}\pi {{a}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{k}} \\
& \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}m}{k} \\
\end{align}</math>

Die zweiten Potenzen der Umlaufdauer sind somit nicht exakt proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen, da auch die Masse des Planeten noch eingeht:

<math>\begin{align}
& k=\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}} \\
& m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\
& \frac{m}{k}=\frac{1}{\gamma \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \\
\end{align}</math>

Falls die Planeten jedoch deutlich leichter sind als die Zentralgestirne, so gilt:

<math>\begin{align}
& \frac{m}{k}\approx \frac{1}{\gamma {{m}_{2}}} \\
& \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}\approx \frac{4{{\pi }^{2}}}{\gamma {{m}_{2}}} \\
\end{align}</math>

Leitet man dies aus dem Kraftansatz ab, so steckt der Fehler der Vernachlässigung der Planetenmasse in der Annahme einer kreisförmigen Bewegung um das Zentralgestirn. Das Ergebnis ist ebenso fehlerbelastet.