Der Satz von Liouville - Versionsgeschichte

196.200.140.19: /* Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi */

2011-07-01T23:49:44Z

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi

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	~~====Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi====~~		Whoa, things just got a whole lot eiaser.

	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{x}^{i}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}} \\~~
	~~& P=\left( \begin{matrix}~~
	~~\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\~~
	~~-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\~~
	~~\end{matrix} \right) \\~~
	~~& \det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1 \\~~
	~~& d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ( → ( (2)

2010-09-12T22:26:49Z

Interpunktion, replaced: ( → ( (2)

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	Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:		Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

	Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten ( auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.		Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

	====Beweis ( integrale Form):====		====Beweis (integrale Form):====

	Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:		Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:
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	:<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>		:<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
	eine symplektische Matrix, das heißt		eine symplektische Matrix, das heißt
	:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>		:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>.
	.

	Das bedeutet, das Volumenelement		Das bedeutet, das Volumenelement

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:25:16Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:25 Uhr
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	Lösung der Differenzialgleichung		Lösung der Differenzialgleichung
	<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>		:<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>



	<math>\bar{x}\left( t,{{t}_{0}},{{{\bar{x}}}_{0}} \right)=:{{\bar{\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})</math>		:<math>\bar{x}\left( t,{{t}_{0}},{{{\bar{x}}}_{0}} \right)=:{{\bar{\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})</math>
	Definition: Fluß im Phasenraum		Definition: Fluß im Phasenraum

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	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\bar{\Phi }}}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\		& {{{\bar{\Phi }}}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\
	& {{{\bar{x}}}_{0}}({{t}_{0}})\to \bar{x}(t) \\		& {{{\bar{x}}}_{0}}({{t}_{0}})\to \bar{x}(t) \\
Zeile 26:		Zeile 26:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( q,p \right)\in \Gamma \\		& \left( q,p \right)\in \Gamma \\
	& \dot{q}=p \\		& \dot{q}=p \\
Zeile 41:		Zeile 41:


	<math>\bar{x}(t)={{\bar{\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})=\exp \left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]{{\bar{x}}_{0}}</math>		:<math>\bar{x}(t)={{\bar{\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})=\exp \left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]{{\bar{x}}_{0}}</math>


Zeile 49:		Zeile 49:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{x}(t)=\sum\limits_{n}{{}}\frac{{{\left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]}^{n}}}{n!}{{{\bar{x}}}_{0}}=\left[ 1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+\frac{A}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \right]{{{\bar{x}}}_{0}} \\		& \bar{x}(t)=\sum\limits_{n}{{}}\frac{{{\left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]}^{n}}}{n!}{{{\bar{x}}}_{0}}=\left[ 1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+\frac{A}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \right]{{{\bar{x}}}_{0}} \\
	& =\left( \begin{matrix}		& =\left( \begin{matrix}
Zeile 61:		Zeile 61:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{A}^{2}}=\left( \begin{matrix}		& {{A}^{2}}=\left( \begin{matrix}
	0 & 1 \\		0 & 1 \\
Zeile 87:		Zeile 87:


	<math>{{V}_{to}}=\int\limits_{{{U}_{to}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}</math>		:<math>{{V}_{to}}=\int\limits_{{{U}_{to}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}</math>
	Bei t:		Bei t:
	<math>{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)</math>		:<math>{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)</math>


Zeile 95:		Zeile 95:


	<math>{{\left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)}_{ik}}:=\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}=\frac{\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}</math>		:<math>{{\left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)}_{ik}}:=\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}=\frac{\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}</math>


Zeile 101:		Zeile 101:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})={{{\bar{x}}}_{0}}+\bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\		& {{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})={{{\bar{x}}}_{0}}+\bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
	& \bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)=J{{{\bar{H}}}_{,x}}=\left( \begin{matrix}		& \bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)=J{{{\bar{H}}}_{,x}}=\left( \begin{matrix}
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	<math>\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}={{\delta }_{ik}}+\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})</math>		:<math>\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}={{\delta }_{ik}}+\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})</math>


	Mit Hilfe		Mit Hilfe
	<math>\det \left( 1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})</math>		:<math>\det \left( 1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})</math>
	folgt:		folgt:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left\| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right\|=1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\		& \det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left\| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right\|=1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
	& \sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}=div\bar{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0 \\		& \sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}=div\bar{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0 \\
Zeile 130:		Zeile 130:


	<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left\| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right\|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1</math>		:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left\| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right\|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1</math>



	<math>\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}</math>		:<math>\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}</math>


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	Für den Fluß		Für den Fluß
	<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>		:<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
	eine symplektische Matrix, das heißt		eine symplektische Matrix, das heißt
	<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>		:<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>
	.		.

	Das bedeutet, das Volumenelement		Das bedeutet, das Volumenelement
	<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}</math>		:<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}</math>
	im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:		im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:


	<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}</math>		:<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}</math>


	====Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi====		====Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi====

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{x}^{i}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}} \\		& {{x}^{i}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}} \\
	& P=\left( \begin{matrix}		& P=\left( \begin{matrix}

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:04:42Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:04 Uhr
Zeile 142:		Zeile 142:

	Für den Fluß		Für den Fluß
	<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>		<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math> zu <math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> ist <math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
	zu
	<math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
	ist
	<math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
	eine symplektische Matrix, das heißt		eine symplektische Matrix, das heißt
	<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>		<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Mechanik|4|5}} Lösung der Differenzialgleichung $\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}$ $\bar{x}…“$

2010-08-28T22:33:27Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|5}}</noinclude> Lösung der Differenzialgleichung <math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> <math>\bar{x}…“

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|5}}</noinclude>

Lösung der Differenzialgleichung
<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>

<math>\bar{x}\left( t,{{t}_{0}},{{{\bar{x}}}_{0}} \right)=:{{\bar{\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})</math>
Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

<math>\begin{align}
& {{{\bar{\Phi }}}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\
& {{{\bar{x}}}_{0}}({{t}_{0}})\to \bar{x}(t) \\
\end{align}</math>

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

<math>\begin{align}
& \left( q,p \right)\in \Gamma \\
& \dot{q}=p \\
& \dot{p}=-{{\omega }_{0}}^{2}q \\
& \dot{\bar{x}}=A\bar{x} \\
& A=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Die Lösung lautet:

<math>\bar{x}(t)={{\bar{\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar{x}}_{0}})=\exp \left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]{{\bar{x}}_{0}}</math>

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

<math>\begin{align}
& \bar{x}(t)=\sum\limits_{n}{{}}\frac{{{\left[ \left( t-{{t}_{0}} \right)A \right]}^{n}}}{n!}{{{\bar{x}}}_{0}}=\left[ 1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+\frac{A}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \right]{{{\bar{x}}}_{0}} \\
& =\left( \begin{matrix}
\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
\end{matrix} \right){{{\bar{x}}}_{0}} \\
\end{align}</math>

Beweis:

<math>\begin{align}
& {{A}^{2}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-{{\omega }_{0}}^{2} & 0 \\
\end{matrix} \right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1 \\
& {{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1 \\
& {{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}\frac{1}{{{\omega }_{0}}}A \\
\end{align}</math>

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten ( auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

====Beweis ( integrale Form):====

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

<math>{{V}_{to}}=\int\limits_{{{U}_{to}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}</math>
Bei t:
<math>{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)</math>

Mit der Jacobi- Matrix:

<math>{{\left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)}_{ik}}:=\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}=\frac{\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}</math>

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

<math>\begin{align}
& {{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})={{{\bar{x}}}_{0}}+\bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
& \bar{F}({{{\bar{x}}}_{0}},t)=J{{{\bar{H}}}_{,x}}=\left( \begin{matrix}
\frac{\partial H}{\partial p} \\
-\frac{\partial H}{\partial q} \\
\end{matrix} \right) \\
\end{align}</math>

Somit folgt:

<math>\frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}={{\delta }_{ik}}+\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})</math>

Mit Hilfe
<math>\det \left( 1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})</math>
folgt:

<math>\begin{align}
& \det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}}) \\
& \sum\limits_{i=1}^{2f}{{}}\frac{\partial {{{\bar{F}}}^{i}}({{{\bar{x}}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}=div\bar{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0 \\
\end{align}</math>

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=\left| \frac{\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{{\bar{x}}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}} \right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1</math>

<math>\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}</math>

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß
<math>{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
zu
<math>\dot{\bar{x}}:=J{{\bar{H}}_{,x}}</math>
ist
<math>D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}</math>
eine symplektische Matrix, das heißt
<math>\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}} \right)=1</math>
.

Das bedeutet, das Volumenelement
<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}</math>
im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

<math>d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}</math>

====Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi====

<math>\begin{align}
& {{x}^{i}}(t)=\sum\limits_{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}} \\
& P=\left( \begin{matrix}
\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \frac{1}{{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) & \cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}}) \\
\end{matrix} \right) \\
& \det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1 \\
& d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2} \\
\end{align}</math>

Der Satz von Liouville - Versionsgeschichte

196.200.140.19: /* Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi */

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