Deterministisches Chaos - Versionsgeschichte

Schubotz am 5. Juli 2011 um 10:40 Uhr

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	~~Khjxra <a href~~="http://~~otrjngtowpcw~~.com/~~">otrjngtowpcw<~~/a>		uLfxIq , [url=http://aghjarlmbant.com/]aghjarlmbant[/url], [link=http://whkjmiseplys.com/]whkjmiseplys[/link], http://xkfeyztpoljg.com/

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	Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit		Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
	:<math>n\ge 3</math>		:<math>n\ge 3</math>
	( autonom):		(autonom):

	<u>'''Seltsamer ( chaotischer) Attraktor'''</u>		<u>'''Seltsamer (chaotischer) Attraktor'''</u>

	komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.		komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
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	wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-		wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

	niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)		niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)


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	: Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):		: Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):
	:<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>		:<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>

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	Für DASSELBE t gilt:		Für DASSELBE t gilt:
	:<math>\left\| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right\|\to 0</math>		:<math>\left\| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right\|\to 0</math>
	für t→ unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)		für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

	Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve		Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
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	Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um		Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
	:<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>		:<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>,
	, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen		also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
	:<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>		:<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>

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	Nebenbemerkung: Sei		Nebenbemerkung: Sei
	:<math>\lambda </math>		:<math>\lambda </math>
	der führende ( größte) Ljapunov- Exponent		der führende (größte) Ljapunov- Exponent


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	Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit		Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
	:<math>{{e}^{\lambda t}}</math>		:<math>{{e}^{\lambda t}}</math>.
	.

	Für		Für
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	:<math>\lambda </math>		:<math>\lambda </math>
	>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)		>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)

	Für den chaotischen Attraktor im		Für den chaotischen Attraktor im
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	:<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>		:<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
	: Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).		: Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).

	<u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>		<u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>

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	<u>'''Aymptotisch bahnstabil:'''</u>		<u>'''Aymptotisch bahnstabil:'''</u>

	Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für ~~t->~~ unendlich		Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

	<u>'''Ljapunov- stabil'''</u>		<u>'''Ljapunov- stabil'''</u>
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	Für DASSELBE t gilt:		Für DASSELBE t gilt:
	:<math>\left\| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right\|\to 0</math>		:<math>\left\| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right\|\to 0</math>
	für ~~t->~~ unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)		für t→ unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

	Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve		Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

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Einrückungen Mathematik

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Einrückungen Mathematik

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	<math>{{T}^{d}}</math>		<math>{{T}^{d}}</math>
	d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension		d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
	<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math>		<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}


	Autokorrelationsfunktion
	<math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	T\to \infty \\		T\to \infty \\

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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|4}}</noinclude>

Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
<math>n\ge 3</math>
( autonom):

'''Seltsamer ( chaotischer) Attraktor'''

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

'''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:'''

'''quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen'''

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus
<math>{{T}^{d}}</math>
d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math>

Autokorrelationsfunktion
<math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
\lim \\
T\to \infty \\
\end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math>

periodisch in
<math>\tau </math>

<math>\to 0</math>
für
<math>\tau \to \infty </math>

<math>=0</math>
für
<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math>

: Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):
<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>

diskrete Frequenzen
<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math>
b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

'''Def.:''' Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

'''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
<math>\varepsilon </math>
- Röhre um
<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>

'''Aymptotisch bahnstabil:'''

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich

'''Ljapunov- stabil'''

Für DASSELBE t gilt:
<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math>
für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
:

<math>\begin{align}
& \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\
& \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\
\end{align}</math>

Dabei:

<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math>
Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math>

Formale Lösung:

<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math>

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>

'''Definition: '''Stabilität ist bestimmt durch die '''Ljapunov-Exponenten '''
<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix}
\lim \\
t\to \infty \\
\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math>

Nebenbemerkung: Sei
<math>\lambda </math>
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent

<math>\lambda :=\begin{matrix}
\lim \ \sup \\
t\to \infty \\
\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math>

<math>\Rightarrow </math>

<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math>

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
<math>{{e}^{\lambda t}}</math>
.

Für
<math>\lambda </math>
<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

<math>\lambda </math>
>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im
<math>{{R}^{3}}</math>
gilt:

Auf dem Attraktor:
<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math>
auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math>
: Bifurkationspunkte

<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
: Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).

'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''

Deterministisches Chaos - Versionsgeschichte

Schubotz am 5. Juli 2011 um 10:40 Uhr

112.184.203.66: vhpMBzWScnIJtYHw

142.22.16.50: PQXdjGbwjLkSemGX

202.184.138.2: KFkafBTwBa

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