Die Quantisierung - Versionsgeschichte

201.140.189.20: /* Maximalmessung: */

2011-07-01T12:13:38Z

Maximalmessung:

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 14:13 Uhr
Zeile 187:		Zeile 187:
	:<math>{{\left\| \left\langle n \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi \| n \right\rangle \left\langle n \| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{n}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>		:<math>{{\left\| \left\langle n \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi \| n \right\rangle \left\langle n \| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{n}}\left\| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>

	~~=====Maximalmessung:=====~~		Wow! Great thinknig! JK
	~~Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.~~
	~~Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet~~!
	~~Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind~~
	~~der Zustand <math>\left\| n,\alpha ,... \right\rangle </math>~~
	~~ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.~~
	~~'''Spezialfall:'''~~
	~~Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind (z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>~~
	~~eine vollständige Observable~~
	~~Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>~~
	~~vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)~~
	~~Der '''Hilbertraum H '''eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.~~
	~~'''Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe'''~~
	~~Seien <math>\hat{F}</math>~~
	~~und <math>\hat{G}</math>~~
	~~hermitesche Operatoren und <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>~~
	~~ein beliebiger Zustand.~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \Delta \hat{F}:=\hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \\~~
	~~& \Delta \hat{G}:=\hat{G}-\left\langle {\hat{G}} \right\rangle \\~~
	~~\end{align}</math>~~
	~~sind ebenfalls hermitesche Operatoren~~
	~~Bilde:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& f(\lambda ):=\left\langle \left( \Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G} \right)\left( \Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G} \right) \right\rangle \\~~
	& =\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle -i\lambda \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \\
	~~& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\~~
	~~& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\~~
	~~& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Dies ist eine quadratische Funktion von <math>\lambda </math>~~
	~~mit<math>f(\lambda )\to \infty </math>~~
	~~für <math>\lambda \to \infty </math>~~

	~~'''Lemma:'''~~
	~~Für hermitesche Operatoren <math>\hat{F}</math>~~
	~~und <math>\hat{G}</math>~~
	~~gilt:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \left\langle \hat{A}\hat{A} \right\rangle \ge 0 \\~~
	~~& {{\left\langle i\hat{A} \right\rangle }^{+}}=-\left\langle i\hat{A} \right\rangle \\~~
	~~& \left\langle \hat{A}\hat{B} \right\rangle *=\left\langle \hat{B}\hat{A} \right\rangle \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Mit <math>\hat{Q}:=\Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G}\Rightarrow {{\hat{Q}}^{+}}:=\Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G}</math>~~
	:

	~~Suche nach dem Minimum:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& f\acute{\ }(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0 \\~~
	~~& \Rightarrow {{\lambda }_{0}}=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma } \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\~~
	~~& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\~~
	~~& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& f({{\lambda }_{0}})=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{2\gamma }-\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }\ge 0 \\~~
	& {{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[ \hat{G},\hat{F} \right] \right\rangle \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle *\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-{{\left\| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right\|}^{2}} \\
	& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \ge \frac{1}{4}{{\left\| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right\|}^{2}} \\
	~~\end{align}</math>~~

	~~Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß~~
	:<math>\sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left\| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right\|</math>
	~~: ('''Unschärferelation''')~~
	~~Speziell:~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}1 \\~~
	& \sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{p} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{x} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left\| \left\langle \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \right\rangle \right\|=\frac{\hbar }{2} \\
	~~\end{align}</math>~~
	~~Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe~~
	~~'''Zusammenfassung'''~~
	~~Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>~~
	~~ausgedrückt~~
	~~Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>.~~

	~~Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle </math>~~

	Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: <math>\left\| \Psi \right\rangle \to \left\| n \right\rangle </math>

	~~Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:~~
	~~:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left\| \Psi \right\rangle =\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle </math>~~

	~~Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

2010-09-12T22:38:15Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:38 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math>		Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math>

	hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !		hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

	Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:		Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:
Zeile 28:		Zeile 28:

	Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math>		Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math>
			.
	. Es gilt: <math>\begin{align}		Es gilt: <math>\begin{align}

	& {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\		& {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\
Zeile 60:		Zeile 60:

	teilweise im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		teilweise im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
			,
	, so gilt:		so gilt:

	:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle =c\left\| \Psi \right\rangle </math>		:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle =c\left\| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 68:		Zeile 68:

	in <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>		in <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>
			,
	, also die Wurzel des Anteils von <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>		also die Wurzel des Anteils von <math>\left\| \Phi \right\rangle </math>

	in <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		in <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 133:		Zeile 133:

	und F´´in <math>\left\| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>		und F´´in <math>\left\| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
			.

	.

	Forderung: F´ = F ´´		Forderung: F´ = F ´´
Zeile 178:		Zeile 178:

	Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:		(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
	:<math>p({{F}_{n}})={{\left\| \left\langle n \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>		:<math>p({{F}_{n}})={{\left\| \left\langle n \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}</math>

Zeile 189:		Zeile 189:
	=====Maximalmessung:=====		=====Maximalmessung:=====
	Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.		Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
	Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet !		Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet!
	Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind		Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind
	der Zustand <math>\left\| n,\alpha ,... \right\rangle </math>		der Zustand <math>\left\| n,\alpha ,... \right\rangle </math>
	ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.		ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
	'''Spezialfall:'''		'''Spezialfall:'''
	Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>		Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind (z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>
	eine vollständige Observable		eine vollständige Observable
	Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>		Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>
Zeile 265:		Zeile 265:
	Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	ausgedrückt		ausgedrückt
	Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>		Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>.
	.
	Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle </math>		Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle </math>

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:01:04Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:01 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|4}}</noinclude>

	Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum		Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

	z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math>		z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math>
Zeile 138:		Zeile 138:
	Forderung: F´ = F ´´		Forderung: F´ = F ´´

	-><math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>		→<math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>

	(Eigenwert)		(Eigenwert)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:36:49Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:17 Uhr

2010-09-11T15:17:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:17 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	Die Wirkung:		Die Wirkung:

	<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Psi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle 1=\left\| \Psi \right\rangle </math>		<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Psi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle 1=\left\| \Psi \right\rangle </math>

	Eigenwert +1		Eigenwert +1

	<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Phi \right\rangle =0</math>		<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle =0</math>

	Eigenwert 0, falls <math>\left\| \Phi \right\rangle \bot \left\| \Psi \right\rangle </math>		Eigenwert 0, falls <math>\left\| \Phi \right\rangle \bot \left\| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 63:		Zeile 63:
	, so gilt:		, so gilt:

	<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Phi \right\rangle =c\left\| \Psi \right\rangle </math>		<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left\| \Phi \right\rangle =\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \| \Phi \right\rangle =c\left\| \Psi \right\rangle </math>

	Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 170:		Zeile 170:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ n \right\rangle \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle } \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{F}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi \| n \right\rangle \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } \| \Psi \right\rangle } \\

	& \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\		& \left\langle n \right\|\hat{F}\left\| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\

Schubotz am 9. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-09T14:33:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:33 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|4}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|4}}</noinclude>

	Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum		Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}} Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum z.B. Ort: $x\to \hat{x}$ Geschwindigkeit:…“

2010-08-24T15:40:04Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}} Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math> Geschwindigkeit:…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}

Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math>

Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math>

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: <math>\hat{P}</math>

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch <math>\begin{align}

& \hat{P}\Psi (\bar{r})=\Psi (-\bar{r}) \\

& \hat{P}\left| {\bar{r}} \right\rangle =\left| -\bar{r} \right\rangle \\

\end{align}</math>

Dies kann jedoch bedeuten: <math>\hat{P}\left| \Psi \right\rangle =\pm \left| \Psi \right\rangle </math>

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math>

. Es gilt: <math>\begin{align}

& {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\

& {{{\hat{P}}}^{-1}}={{{\hat{P}}}^{+}}=\hat{P} \\

\end{align}</math>

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

?

Der Projektionsoperator lautet:

<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math>

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math>

Die Wirkung:

<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle 1=\left| \Psi \right\rangle </math>

Eigenwert +1

<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Phi \right\rangle =0</math>

Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle </math>

Befindet sich ein Zustand <math>\left| \Phi \right\rangle </math>

teilweise im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

, so gilt:

<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Phi \right\rangle =c\left| \Psi \right\rangle </math>

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

in <math>\left| \Phi \right\rangle </math>

, also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi \right\rangle </math>

in <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

====Vertauschungsrelationen====
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>

<math>\hat{F}</math>

und <math>\hat{G}</math>

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math>

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

'''Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen'''

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

<math>\begin{align}

& \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\

& \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{x}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=0 \\

\end{align}</math>

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

'''Übungsweise kann man zeigen:'''

<math>\begin{align}

& \left[ \hat{p},T \right]=? \\

& \left[ F,{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{p}_{k}}} \\

& \left[ F,{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{x}_{k}}} \\

\end{align}</math>

Berechnung in der Ortsdarstellung:

<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math>

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

====Der Meßprozeß:====

<math>\left| \Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in <math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

.

Forderung: F´ = F ´´

-><math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>

(Eigenwert)

<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| n \right\rangle </math>

Eigenzustand zu <math>\hat{F}</math>

Also: <math>\left| \Phi \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: '''Stern- Gerlach - Apparatur''':

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts <math>\left| -1 \right\rangle </math>

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

:

<math>\begin{align}

& \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi \right|\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } \right|\left| \Psi \right\rangle } \\

& \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\

& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math>

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math>

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
<math>{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>

=====Maximalmessung:=====
Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet !
Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind
der Zustand <math>\left| n,\alpha ,... \right\rangle </math>
ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
'''Spezialfall:'''
Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>
eine vollständige Observable
Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>
vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)
Der '''Hilbertraum H '''eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.
'''Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe'''
Seien <math>\hat{F}</math>
und <math>\hat{G}</math>
hermitesche Operatoren und <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
ein beliebiger Zustand.
<math>\begin{align}
& \Delta \hat{F}:=\hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \\
& \Delta \hat{G}:=\hat{G}-\left\langle {\hat{G}} \right\rangle \\
\end{align}</math>
sind ebenfalls hermitesche Operatoren
Bilde:
<math>\begin{align}
& f(\lambda ):=\left\langle \left( \Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G} \right)\left( \Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G} \right) \right\rangle \\
& =\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle -i\lambda \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine quadratische Funktion von <math>\lambda </math>
mit<math>f(\lambda )\to \infty </math>
für <math>\lambda \to \infty </math>

'''Lemma:'''
Für hermitesche Operatoren <math>\hat{F}</math>
und <math>\hat{G}</math>
gilt:
<math>\begin{align}
& \left\langle \hat{A}\hat{A} \right\rangle \ge 0 \\
& {{\left\langle i\hat{A} \right\rangle }^{+}}=-\left\langle i\hat{A} \right\rangle \\
& \left\langle \hat{A}\hat{B} \right\rangle *=\left\langle \hat{B}\hat{A} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Mit <math>\hat{Q}:=\Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G}\Rightarrow {{\hat{Q}}^{+}}:=\Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G}</math>
:

Suche nach dem Minimum:
<math>\begin{align}
& f\acute{\ }(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{0}}=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma } \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& f({{\lambda }_{0}})=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{2\gamma }-\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }\ge 0 \\
& {{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[ \hat{G},\hat{F} \right] \right\rangle \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle *\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|}^{2}} \\
& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \ge \frac{1}{4}{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>

Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß
<math>\sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|</math>
: ('''Unschärferelation''')
Speziell:
<math>\begin{align}
& \left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}1 \\
& \sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{p} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{x} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \right\rangle \right|=\frac{\hbar }{2} \\
\end{align}</math>
Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe
'''Zusammenfassung'''
Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
ausgedrückt
Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>
.
Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle </math>

Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: <math>\left| \Psi \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>

Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \right\rangle </math>

Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.