Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall - Versionsgeschichte

Schubotz am 24. September 2010 um 12:25 Uhr

2010-09-24T12:25:23Z

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	Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt		Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt

	Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse <math>m{{c}^{2}}</math> ist		Jetzt: Näherung/Annahme das <u>kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse</u> <math>m{{c}^{2}}</math> ist

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
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	\end{align} \right)</math>		\end{align} \right)</math>
			==siehe auch==
			[[Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:]]
	<noinclude>==Literatur==		<noinclude>==Literatur==
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:37:02Z

Einrückungen Mathematik

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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math>		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math>

	: \|(1.37)\|RawN=.}}		: \|(1.37)\|RawN=.}}
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	\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren		\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren

	<math>\varphi =\left( \begin{align}		:<math>\varphi =\left( \begin{align}

	& {{\varphi }_{1}} \\		& {{\varphi }_{1}} \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align}		:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align}

	& \varphi \\		& \varphi \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& mc{{\chi }^{2}}\gg \left\| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right\|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left\| e\phi \varphi \right\| \\		& mc{{\chi }^{2}}\gg \left\| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right\|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left\| e\phi \varphi \right\| \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\		\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\
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	: \|(1.41)\|RawN=.}}		: \|(1.41)\|RawN=.}}
	mit		mit
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}		\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}
	\text{ vektorwertiger Operator und} \\		\text{ vektorwertiger Operator und} \\
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	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\		& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\

Schubotz am 6. September 2010 um 10:09 Uhr

2010-09-06T10:09:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 12:09 Uhr
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	</math>		</math>
	Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}		Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}
	<font color="#~~FFCC00~~">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		<font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
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	Es gilt weiterhin <font color="#~~FFFF00~~">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>		Es gilt weiterhin <font color="#3399FF">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>

	{{NumBlk\|:\| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> \|(1.43)\|RawN=.}}		{{NumBlk\|:\| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> \|(1.43)\|RawN=.}}
Zeile 146:		Zeile 146:
	\end{align} \right)</math>		\end{align} \right)</math>

	==Literatur==		<noinclude>==Literatur==
	<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT>		<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude>

Schubotz am 5. September 2010 um 22:14 Uhr

2010-09-05T22:14:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2010, 00:14 Uhr
Zeile 99:		Zeile 99:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\		\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\
			\end{align}
	& \~~text~~{~~mit~~} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)~~\text{~~,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und~~} \\~~		</math>
			: \|(1.41)\|RawN=.}}
	& \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\		mit
			<math>\begin{align}
			\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}
			\text{ vektorwertiger Operator und} \\

	\~~end~~{~~align~~}~~</math>~~		\underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)

	~~: \|(1.41)\|RawN=.}}~~

			\text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\
			\end{align}
			</math>
	Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}		Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}
	<font color="#FFCC00">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		<font color="#FFCC00">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

Schubotz am 5. September 2010 um 21:59 Uhr

2010-09-05T21:59:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 23:59 Uhr
Zeile 101:		Zeile 101:
	& \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\		& \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\

	& \text{mit \underline{A}=}\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\		& \text{mit} \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\

	& \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\		& \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\
Zeile 120:		Zeile 120:
	& \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\		& \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>\|(1.42)\|RawN=.}}
	~~<math>\left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}</math>~~
	: \|(1.42)\|RawN=.}}

Schubotz am 5. September 2010 um 21:57 Uhr

2010-09-05T21:57:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 23:57 Uhr
Zeile 121:		Zeile 121:

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			<math>\left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}</math>
	: \|(1.42)\|RawN=.}}		: \|(1.42)\|RawN=.}}


	Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte		Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>

	<math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>

	und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>

	{{NumBlk\|:\| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> \|(1.43)\|RawN=.}}		{{NumBlk\|:\| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> \|(1.43)\|RawN=.}}
Zeile 135:		Zeile 131:
	Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld		Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

	{{NumBlk\|:\|~~Pauli-Gleichung~~{{FB\|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math>		{{NumBlk\|:\|{{FB\|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math>

	\|(1.44)\|RawN=.}}		\|(1.44)\|RawN=.}}

Schubotz am 5. September 2010 um 21:53 Uhr

2010-09-05T21:53:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 23:53 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=5\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=5\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


	~~<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT>~~

	Mit (Vektor) Potential haben wir die ~~Dirac-Gleichung~~{{FB\|Dirac-Gleichung:Elektromagnetismus}} als		Mit (Vektor) Potential haben wir die {{FB\|Dirac-Gleichung\|Elektromagnetismus}} als

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
Zeile 37:		Zeile 37:
	& {{\chi }_{2}} \\		& {{\chi }_{2}} \\

	\end{align} \right)</math>		\end{align} \right).</math>

	.

	Damit folgt dann		Damit folgt dann
Zeile 88:		Zeile 87:

	: \|(1.39)\|RawN=.}}		: \|(1.39)\|RawN=.}}
			einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
	~~<math></math>~~einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

	{{NumBlk\|:\| <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math>		{{NumBlk\|:\| <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math>
Zeile 111:		Zeile 109:
	: \|(1.41)\|RawN=.}}		: \|(1.41)\|RawN=.}}

	Beweis von (1.41) mittels (Anti) ~~Kommutator~~{{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}~~-Eigenschaften~~ <font color="#~~FFFF00~~">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>		Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB\|Kommutator-Eigenschaften}}
			<font color="#FFCC00">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
Zeile 125:		Zeile 124:
	: \|(1.42)\|RawN=.}}		: \|(1.42)\|RawN=.}}

	~~----~~

	Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte		Es gilt weiterhin <font color="#FFFF00">(AUFGABE)</FONT>, beachte
Zeile 141:		Zeile 139:
	\|(1.44)\|RawN=.}}		\|(1.44)\|RawN=.}}

	mit dem 2-Komponentigen Spinor		mit dem 2-Komponentigen Spinor <math>\varphi =\left( \begin{align}

	<math>\varphi =\left( \begin{align}

	& {{\varphi }_{1}} \\		& {{\varphi }_{1}} \\
Zeile 150:		Zeile 146:

	\end{align} \right)</math>		\end{align} \right)</math>

			==Literatur==
			<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} '''LITERATUR: GREI…“

2010-09-04T23:05:00Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> '''LITERATUR: GREI…“

Neue Seite

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

'''LITERATUR: GREINER'''

Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung{{FB|Dirac-Gleichung:Elektromagnetismus}} als

{{NumBlk|:|

<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math>

: |(1.37)|RawN=.}}

Jetzt erfolgt die Zerlegung <math>\Psi =\left( \begin{align}

& \varphi \\

& \chi \\

\end{align} \right)\underbrace{{{e}^{-\mathfrak{i} mt}}}_{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}=\left( \begin{align}

& \varphi \\

& \chi \\

\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren

<math>\varphi =\left( \begin{align}

& {{\varphi }_{1}} \\

& {{\varphi }_{2}} \\

\end{align} \right),\quad \chi =\left( \begin{align}

& {{\chi }_{1}} \\

& {{\chi }_{2}} \\

\end{align} \right)</math>

.

Damit folgt dann

{{NumBlk|:|

<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align}

& \varphi \\

& \chi \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\chi \\

& \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\varphi \\

\end{align} \right)+e\phi \left( \begin{align}

& \varphi \\

& \chi \\

\end{align} \right)-2m{{c}^{2}}\left( \begin{align}

& 0 \\

& \chi \\

\end{align} \right)</math>

: |(1.38)|RawN=.}}

Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse <math>m{{c}^{2}}</math> ist

{{NumBlk|:|

<math>\begin{align}

& mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\

& \Rightarrow \chi \approx \frac{1}{2m{{c}^{2}}}\underline{\sigma }\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\varphi \\

\end{align}</math>

: |(1.39)|RawN=.}}

<math></math>einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

{{NumBlk|:| <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math>

|(1.40)|RawN=.}}

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

{{NumBlk|:|

<math>\begin{align}

& \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\

& \text{mit \underline{A}=}\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right)\text{,\underline{B}=}\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}\text{ vektorwertiger Operator und} \\

& \underline{\sigma }\text{=}\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)\text{ Vektor der Pauli-Matrizen} \\

\end{align}</math>

: |(1.41)|RawN=.}}

Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator{{FB|Kommutator-Eigenschaften}}-Eigenschaften '''''(AUFGABE)'''''

{{NumBlk|:|

<math>\begin{align}

& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\

& \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\

\end{align}</math>

: |(1.42)|RawN=.}}

----

Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte

<math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>

und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>

{{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}}

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

{{NumBlk|:|Pauli-Gleichung{{FB|Pauli-Gleichung}} <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math>

|(1.44)|RawN=.}}

mit dem 2-Komponentigen Spinor

<math>\varphi =\left( \begin{align}

& {{\varphi }_{1}} \\

& {{\varphi }_{2}} \\

\end{align} \right)</math>