Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild - Versionsgeschichte

Schubotz am 9. August 2011 um 12:19 Uhr

2011-08-09T12:19:42Z

157.238.208.1: /* Wechselwirkungsbild */

2011-07-03T11:36:34Z

Wechselwirkungsbild

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	G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a>		G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a>

	=~~====Wechselwirkungsbild=====~~		dEJ3ST , [url=http://zbjwfnvtiwxh.com/]zbjwfnvtiwxh[/url], [link=http://tiwgdfqlvwfk.com/]tiwgdfqlvwfk[/link], http://qavqulsujcsd.com/
	~~Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}<~~/~~math>~~

	~~mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}<~~/~~math>~~
	~~und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>~~.

	~~Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:~~
	~~:<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}<~~/~~math>~~

	~~Somit gilt wieder die Relation~~
	~~:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left~~[ ~~{{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right~~]~~</math>~~

	~~Also:~~
	~~:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math>~~

	~~Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math>~~
	~~bildunabhängig.~~
	~~Aber:~~
	~~:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}}~~,~~{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left~~[ ~~{{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math>~~
	~~im Allgemeinen~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right\|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right\|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
	~~& {{\left\langle \Psi \right\|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right\|}_{W}} \\~~
	~~& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\~~
	~~& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\~~
	~~& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle~~ =~~{{\left\langle \Psi \right\|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~

	~~Bemerkung~~: ~~Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.~~
	~~:<math>\begin{align}~~
	& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
	& \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
	& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\
	~~& wegen \\~~
	~~& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\~~
	~~& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\~~
	~~\end{align}<~~/~~math>~~

	~~Aber:~~
	~~:<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}<~~/~~math>~~

	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\~~
	~~& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}} \\~~
	~~\end{align}<~~/~~math>~~

	~~:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left~~[ ~~{{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right~~]~~</math>~~

	~~Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:~~
	~~:<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math>~~

	~~Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.~~
	~~Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.~~
	~~Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math>~~
	~~zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>~~

	~~und damit Eigenvektoren <math>\left\| n \right\rangle </math>~~
	~~zeitabhängig~~, ~~ebenso durch den ungestörten Hamiltonian~~
	~~Aber~~: ~~Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}<~~/~~math>~~
	~~zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}<~~/~~math>~~.

14.139.221.122: /* Das Heisenbergbild */

2011-07-02T09:16:01Z

Das Heisenbergbild

@@ Zeile 146: / Zeile 146: @@
 Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
-=====Das Heisenbergbild=====
+G8MHyi  <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a>
 =====Wechselwirkungsbild=====
 Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

91.82.84.228: /* SchrÃ¶dingerbild: */

2011-07-02T04:41:12Z

SchrÃ¶dingerbild:

@@ Zeile 144: / Zeile 144: @@
   also keine explizite Zeitabhängigkeit!
 Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
-=====Schrödingerbild:=====
+Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
 =====Das Heisenbergbild=====

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

2010-09-12T22:39:39Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:02:25Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:02 Uhr
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	-> die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig !		→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig !
	Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich		Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
	:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>		:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:38:40Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz am 9. September 2010 um 14:33 Uhr

2010-09-09T14:33:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:33 Uhr
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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|5}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|5}}</noinclude>

	Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Schubotz am 24. August 2010 um 15:57 Uhr

2010-08-24T15:57:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. August 2010, 17:57 Uhr
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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|4}}		{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|2\|5}}

	Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}} Betrachte die zeitabhängigen Zustände ${{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}$ $i\hbar \frac{\partial }{\par…“$

2010-08-24T15:46:08Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}} Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> <math>i\hbar \frac{\partial }{\par…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}

Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

<math>U(t,0)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t \right)}^{n}}</math>

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein !

Klar: <math>\begin{align}

& {{H}^{+}}=H \\

& \Rightarrow {{U}^{+}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{{\hat{H}}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1 \\

\end{align}</math>

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

<math>{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}</math>

Mit der formalen Lösung:
<math>{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)</math>

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über <math>\bar{A}(t)</math>
ergibt sich für
<math>\hat{F}=\hat{F}\left( \hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}},t \right)</math>
:
<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)\frac{d}{dt}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right) \\
& \left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)=-\frac{1}{i\hbar }{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H} \\
& \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>

'''Also:'''
<math>\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
<math>\left[ \hat{H},\hat{F} \right]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =0</math>

<u>'''Klassisches Analogon: Poisson- Klammern'''</u>
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math>
eine klassische Observable und <math>H(\bar{q},\bar{p})</math>
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)} \\
& \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\left\{ H,F \right\} \\
\end{align}</math>

'''Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:'''
<math>\left\{ H,F \right\}\to \frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>

Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math>
" als Operator:
<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>

'''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>
, da im Allgemeinen:
<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math>

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
<math>\left\langle \hat{F}{}^\circ \right\rangle =\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle </math>

'''Speziell gilt, '''analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
<math>\begin{align}
& \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{r}} \right] \\
& \hat{\bar{p}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{p}} \right] \\
\end{align}</math>

Merke dazu ( Ehrenfest- Theorem):
<math>\begin{align}
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\
\end{align}</math>

-> die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig !
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>

folgt:
<math>\begin{align}
& \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}} \\
& \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}} \\
\end{align}</math>

Also:
<math>\begin{align}
& \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m} \\
& \hat{\bar{p}}{}^\circ =-\nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \\
\end{align}</math>

Denn:
<math>\begin{align}
& \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{x}}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{{\hat{x}}}^{\circ }}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{{\hat{p}}}{m} \\

& \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}}\Rightarrow {{{\hat{p}}}^{\circ }}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\nabla V\left( {\hat{x}} \right) \\
\end{align}</math>

Merke:
<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{r}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{p}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\frac{1}{m}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle \\
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =-\left\langle \nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \right\rangle \\
\end{align}</math>

da ja: <math>\begin{align}
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\
& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\
\end{align}</math>

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
====Bilder====
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
<math>\begin{align}
& \left| \Psi \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi \right\rangle \\
& \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\
\end{align}</math>

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>
, also keine explizite Zeitabhängigkeit !
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild !
=====Schrödingerbild:=====
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math>
zeitunabhängig
Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
zeitabhängig ( Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>
:

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht !
Im <math>{{R}^{2}}</math>
entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math>
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>

=====Das Heisenbergbild=====
<math>\begin{align}
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\
& {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\
\end{align}</math>

In diesem Bild sind die
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{H}}(t)</math>
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>
:
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren ( zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht ( als Zeitentwicklung).
Aus
<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>

folgt:
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>

Also:
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>
( Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>

Insbesondere gilt:
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0</math>

also die bildunabhängige Darstellung
<math>{{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}</math>

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
=====Wechselwirkungsbild=====
Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>
und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>
.
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math>

Somit gilt wieder die Relation
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>

Also:
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math>

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math>
bildunabhängig.
Aber:
<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math>
im Allgemeinen
<math>\begin{align}
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
& {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
& \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
<math>\begin{align}
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
& \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\
& wegen \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\
& {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

Aber:
<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\
\end{align}</math>

<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math>

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math>

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math>
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>

und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math>
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math>
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>
.

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:39 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>		:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>

	Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein !		Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

	Klar: <math>\begin{align}		Klar: <math>\begin{align}
Zeile 73:		Zeile 73:
	:<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>		:<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math>

	'''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>		'''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>,
	, da im Allgemeinen:		da im Allgemeinen:
	:<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math>		:<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math>

Zeile 86:		Zeile 86:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Merke dazu ( Ehrenfest- Theorem):		Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\		& {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\
Zeile 92:		Zeile 92:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig !		→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
	Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich		Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
	:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>		:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math>
Zeile 141:		Zeile 141:

	Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":		Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
	Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>		Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>,
	, also keine explizite Zeitabhängigkeit !		also keine explizite Zeitabhängigkeit!
	Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild !		Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
	=====Schrödingerbild:=====		=====Schrödingerbild:=====
	Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math>		Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math>
Zeile 150:		Zeile 150:
	zeitunabhängig		zeitunabhängig
	Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	zeitabhängig ( Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):		zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
	:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

Zeile 157:		Zeile 157:

	Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!		Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
	Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht !		Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
	Im <math>{{R}^{2}}</math>		Im <math>{{R}^{2}}</math>
	entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math>		entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math>
	einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. ( Übungsaufgabe !)		einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
	Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:		Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
	:<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>		:<math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left\| \Psi \right\rangle }_{0}}</math>
Zeile 179:		Zeile 179:
	Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>		Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math>
	:		:
	Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren ( zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht ( als Zeitentwicklung).		Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
	Aus		Aus
	:<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>		:<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math>
Zeile 188:		Zeile 188:
	Also:		Also:
	:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>		:<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>
	( Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)		(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
	Somit folgt für das Heisenbergbild:		Somit folgt für das Heisenbergbild:
	:<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>		:<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math>
Zeile 203:		Zeile 203:

	mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>		mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math>
	und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>		und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>.
	.
	Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:		Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
	:<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math>		:<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math>
Zeile 258:		Zeile 258:
	zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian		zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
	Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}</math>		Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left\| \Psi \right\rangle }_{W}}</math>
	zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>		zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>.
	.