Entropie von Gleichgewichtszuständen - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:50:44Z

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← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:50 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	; M : Magnetisierung M		; M : Magnetisierung M
	; Q : Elektrische Ladung Q		; Q : Elektrische Ladung Q
	; U,N,M,Q~V : alle Variablen ~ V ( " extension of system")}}		; U,N,M,Q~V : alle Variablen ~ V (" extension of system")}}

	{{Def\|'''Definition'''		{{Def\|'''Definition'''
Zeile 27:		Zeile 27:
	Intensive Variablen: <math>\lambda ={{\lambda }_{I}}={{\lambda }_{II}}</math>\|intensive thermodynamische Variablen}}		Intensive Variablen: <math>\lambda ={{\lambda }_{I}}={{\lambda }_{II}}</math>\|intensive thermodynamische Variablen}}

	( folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung).		(folgt aus verallgemeinerter kanonischer Verteilung).

	{{Beispiel\|Beispiele:		{{Beispiel\|Beispiele:
	;p:Druck p ( mechanisches Gleichgewicht)		;p:Druck p (mechanisches Gleichgewicht)
	;T:Temperatur T ( thermodynamisches Gleichgewicht)}}		;T:Temperatur T (thermodynamisches Gleichgewicht)}}

	'''Allgemein:'''		'''Allgemein:'''
Zeile 40:		Zeile 40:

	Die aus den intensiven Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gebildeten Dichten		Die aus den intensiven Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gebildeten Dichten
	:<math>\frac{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{V}={{m}^{n}}</math> sind intensiv !		:<math>\frac{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{V}={{m}^{n}}</math> sind intensiv!

	Aber sind dennoch '''keine''' thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen !		Aber sind dennoch '''keine''' thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen!

	'''Satz:'''		'''Satz:'''
Zeile 52:		Zeile 52:

	;{{FB\|Absolutes Gleichgewicht}}: Alle Systeme sind miteinander im Gleichgewicht		;{{FB\|Absolutes Gleichgewicht}}: Alle Systeme sind miteinander im Gleichgewicht
	;{{FB\|Relatives Gleichgewicht}}: Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander !(gehemmtes Gleichgewicht)		;{{FB\|Relatives Gleichgewicht}}: Subsysteme sind in sich im Gleichgewicht, jedoch nicht untereinander!(gehemmtes Gleichgewicht)


Zeile 70:		Zeile 70:
	'''Entropie''' S→ Existenz irreversibler Prozesse		'''Entropie''' S→ Existenz irreversibler Prozesse

	{{FB\|Entropie Postulat}} (Clausius , 1860):		{{FB\|Entropie Postulat}} (Clausius, 1860):
	Zu jedem isolierten thermodynamischen System gibt es eine eindeutige Zustandsfunktion		Zu jedem isolierten thermodynamischen System gibt es eine eindeutige Zustandsfunktion
	<math>S\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math>, die mit wachsender Zeit nicht abnimmt !		<math>S\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \right)</math>, die mit wachsender Zeit nicht abnimmt!

	{{Def\|'''Definition Zustandsfunktion'''		{{Def\|'''Definition Zustandsfunktion'''
Zeile 86:		Zeile 86:
	;k: k= <math>1,32\cdot {{10}^{-23}}\frac{J}{K}</math>= Boltzmann- Kosntante		;k: k= <math>1,32\cdot {{10}^{-23}}\frac{J}{K}</math>= Boltzmann- Kosntante
	;I: fehlende Kenntnis nach Shannon		;I: fehlende Kenntnis nach Shannon
	I = Shannon- Information( kann nach der letzten Messung nicht zunehmen!)		I = Shannon- Information(kann nach der letzten Messung nicht zunehmen!)
	eindeutig abhängig von <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>		eindeutig abhängig von <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
	durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:<math>S=!=\max .</math>		durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:<math>S=!=\max .</math>

	→ statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik !		→ statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik!

	=== Eigenschaften der Entropiegrundfunktion <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>: ===		=== Eigenschaften der Entropiegrundfunktion <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>: ===
Zeile 120:		Zeile 120:
	Somit ist <math>\beta </math> die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U		Somit ist <math>\beta </math> die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U

	* Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich !		* Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich!

	;{{FB\|Quasistatischer Prozess}} ( reversibel):Folge von Gleichgewichtszuständen.<br />Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich!		;{{FB\|Quasistatischer Prozess}} (reversibel):Folge von Gleichgewichtszuständen.<br />Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich!
	;{{FB\|Arbeitskoordinaten}} ( äußere Parameter): Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:		;{{FB\|Arbeitskoordinaten}} (äußere Parameter): Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:

	{{Beispiel\|Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden!		{{Beispiel\|Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden!
Zeile 139:		Zeile 139:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	also bei Kompression !		also bei Kompression!

	p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden (quasistatisch).}}		p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden (quasistatisch).}}
Zeile 153:		Zeile 153:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	das Volumen fluktuiert !		das Volumen fluktuiert!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 185:		Zeile 185:
	:<math>dU=\delta Q+\delta W</math>		:<math>dU=\delta Q+\delta W</math>

	Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)		Erster Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz)
	\|name=Erster Hauptsatz der Thermodynamik}}		\|name=Erster Hauptsatz der Thermodynamik}}

Zeile 204:		Zeile 204:
	== Zur Unterscheidung der Differenziale dU und <math>\delta Q, \delta W</math> ==		== Zur Unterscheidung der Differenziale dU und <math>\delta Q, \delta W</math> ==

	dU ist totales ( = exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion <math>U\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},.... \right)</math>		dU ist totales (= exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion <math>U\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},.... \right)</math>

	Dagegen ist <math>\delta Q</math> eine {{FB\|Pfaffsche Differenzialform}}}		Dagegen ist <math>\delta Q</math> eine {{FB\|Pfaffsche Differenzialform}}}
Zeile 221:		Zeile 221:

	'''Es gilt:'''		'''Es gilt:'''
	i) {{Satz\| df ist exakt <→ <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math> ( Integrabilitätsbedingung)\|		i) {{Satz\| df ist exakt ↔ <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math> (Integrabilitätsbedingung)\|
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''

Zeile 252:		Zeile 252:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	}}		}}
	ii) df ist exakt <→ <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>		ii) df ist exakt ↔ <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>

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2010-09-12T20:14:55Z

Pfeile einfügen, replaced: --> → → (2), -> → → (9)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:14 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:

	{{Beispiel\|Beispiel:		{{Beispiel\|Beispiel:
	;V:-> unverschiebbare Wand		;V:→ unverschiebbare Wand
	;T: -> isolierende Wand		;T: → isolierende Wand
	;N:-> nichtpermeable Wand		;N:→ nichtpermeable Wand
	;Q:-> elektrisch isolierende Wand		;Q:→ elektrisch isolierende Wand
	;Explosives Gas: Gehemmtes Gleichgewicht der chemischen Komponenten bis zur Zündung/ Zugabe eines Katalysators}}		;Explosives Gas: Gehemmtes Gleichgewicht der chemischen Komponenten bis zur Zündung/ Zugabe eines Katalysators}}

Zeile 68:		Zeile 68:
	Einführung einer weiteren extensiven thermodynamischen Größe:		Einführung einer weiteren extensiven thermodynamischen Größe:

	'''Entropie''' ~~S->~~ Existenz irreversibler Prozesse		'''Entropie''' S→ Existenz irreversibler Prozesse

	{{FB\|Entropie Postulat}} (Clausius , 1860):		{{FB\|Entropie Postulat}} (Clausius , 1860):
Zeile 90:		Zeile 90:
	durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:<math>S=!=\max .</math>		durch das Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung:<math>S=!=\max .</math>

	~~-->~~ statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik !		→ statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik !

	=== Eigenschaften der Entropiegrundfunktion <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>: ===		=== Eigenschaften der Entropiegrundfunktion <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>: ===

	# <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist additiv für unkorrelierte Subsysteme -> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist extensiv		# <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist additiv für unkorrelierte Subsysteme → <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist extensiv
	# [[Verallgemeinerte kanonische Verteilung#Gibbsche Fundamentalgleichung\|Gibbsche Fundamentalgleichung]]]		# [[Verallgemeinerte kanonische Verteilung#Gibbsche Fundamentalgleichung\|Gibbsche Fundamentalgleichung]]]
	{{Gln\|<math>\begin{align}		{{Gln\|<math>\begin{align}
Zeile 221:		Zeile 221:

	'''Es gilt:'''		'''Es gilt:'''
	i) {{Satz\| df ist exakt <-> <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math> ( Integrabilitätsbedingung)\|		i) {{Satz\| df ist exakt <→ <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math> ( Integrabilitätsbedingung)\|
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''

	'''" -> "'''		'''" → "'''

	:<math>\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{n}}\partial {{z}^{m}}}=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{m}}\partial {{z}^{n}}}</math>		:<math>\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{n}}\partial {{z}^{m}}}=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{m}}\partial {{z}^{n}}}</math>
Zeile 252:		Zeile 252:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	}}		}}
	ii) df ist exakt <-> <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>		ii) df ist exakt <→ <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>


Zeile 264:		Zeile 264:

	;{{FB\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}:<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math>		;{{FB\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}:<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math>
	;{{FB\|Entropie}}:~~-->~~ <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>		;{{FB\|Entropie}}:→ <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>
	;Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>:<math>\begin{align}		;Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>:<math>\begin{align}
	& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\		& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:26:53Z

Mathematik einrücken

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 18:26 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	'''Allgemein:'''		'''Allgemein:'''

	<math>{{\lambda }_{n}}</math> heißt {{FB\|thermodynamisch konjugierte intensive Kontaktvariable}} <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> ([[Lagrange- Multiplikatoren]])		:<math>{{\lambda }_{n}}</math> heißt {{FB\|thermodynamisch konjugierte intensive Kontaktvariable}} <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> ([[Lagrange- Multiplikatoren]])

	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''

	Die aus den intensiven Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gebildeten Dichten		Die aus den intensiven Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gebildeten Dichten
	<math>\frac{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{V}={{m}^{n}}</math> sind intensiv !		:<math>\frac{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{V}={{m}^{n}}</math> sind intensiv !

	Aber sind dennoch '''keine''' thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen !		Aber sind dennoch '''keine''' thermodynamisch konjugierten Kontaktvariablen !
Zeile 106:		Zeile 106:
	'''Anwendung: Kanonische Verteilung'''		'''Anwendung: Kanonische Verteilung'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k\beta dU \\		& dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k\beta dU \\
Zeile 116:		Zeile 116:
	{{Def\|Definition der '''absoluten Temperatur''' T:		{{Def\|Definition der '''absoluten Temperatur''' T:

	<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>\|absolute Temperatur}}		:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>\|absolute Temperatur}}

	Somit ist <math>\beta </math> die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U		Somit ist <math>\beta </math> die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U
Zeile 129:		Zeile 129:
	'''Quasistatisch geleistete Arbeit am System:'''		'''Quasistatisch geleistete Arbeit am System:'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \delta W=-pdV>0 \\		& \delta W=-pdV>0 \\
Zeile 145:		Zeile 145:
	==Druckensemble==		==Druckensemble==

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& U=tr\left( \hat{\rho }H \right),\beta =\frac{1}{kT} \\		& U=tr\left( \hat{\rho }H \right),\beta =\frac{1}{kT} \\
Zeile 155:		Zeile 155:
	das Volumen fluktuiert !		das Volumen fluktuiert !

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -\beta H-{{\lambda }_{2}}V \right) \\		& \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -\beta H-{{\lambda }_{2}}V \right) \\
Zeile 169:		Zeile 169:
	{{Def\| '''Definition Druck'''		{{Def\| '''Definition Druck'''

	<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{U}}=k{{\lambda }_{2}}:=\frac{p}{T}</math>}}		:<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{U}}=k{{\lambda }_{2}}:=\frac{p}{T}</math>}}

	dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:		dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& dS=\frac{dU}{T}+\frac{pdV}{T} \\		& dS=\frac{dU}{T}+\frac{pdV}{T} \\
Zeile 183:		Zeile 183:
	Dabei:		Dabei:
	{{Satz\|		{{Satz\|
	<math>dU=\delta Q+\delta W</math>		:<math>dU=\delta Q+\delta W</math>

	Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)		Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)
	\|name=Erster Hauptsatz der Thermodynamik}}		\|name=Erster Hauptsatz der Thermodynamik}}

	<math>\delta Q</math>		:<math>\delta Q</math>

	: Vom System reversibel aufgenommene Wärmemenge		: Vom System reversibel aufgenommene Wärmemenge

	<math>\delta W</math>		:<math>\delta W</math>

	: Vom System quasistatisch geleistete Arbeit		: Vom System quasistatisch geleistete Arbeit
Zeile 226:		Zeile 226:
	'''" -> "'''		'''" -> "'''

	<math>\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{n}}\partial {{z}^{m}}}=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{m}}\partial {{z}^{n}}}</math>		:<math>\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{n}}\partial {{z}^{m}}}=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{z}^{m}}\partial {{z}^{n}}}</math>

	"<-"		"<-"
Zeile 232:		Zeile 232:
	Aus		Aus

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}=\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}} \\		& \frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}=\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}} \\
Zeile 244:		Zeile 244:
	Also:		Also:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \Psi =f \\		& \Psi =f \\

Schubotz: /* Zusammenfassung */

2010-09-11T17:59:32Z

Zusammenfassung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:59 Uhr
Zeile 263:		Zeile 263:
	==Zusammenfassung==		==Zusammenfassung==

	<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math> {{FB\|~~verallgemeinerte kanonische Verteilung~~}}		;{{FB\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}:<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math>
			;{{FB\|Entropie}}:--> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>
	-> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math> {{~~FB\|Entropie~~}}		;Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>:<math>\begin{align}

	<math>\begin{align}

	& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\		& \frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\

	& \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\		& \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\
			\end{align}</math>
	\end{align}</math> ~~Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle~~ {{~~M}^{n~~}} ~~\right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>~~		;{{FB\|Gibbsche Fundamentalrelation}}:<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
			;phänomenologische Definition der '''intensiven''' Variablen:<math>\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math>
	<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> ~~{{FB\|Gibbsche Fundamentalrelation}}~~

	<math>\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math> ~~phänomenologische Definition der intensiven Variablen~~

	==Siehe auch==		==Siehe auch==

Schubotz: /* Zusammenfassung */

2010-09-11T17:55:11Z

Zusammenfassung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:55 Uhr
Zeile 263:		Zeile 263:
	==Zusammenfassung==		==Zusammenfassung==

	<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math>		<math>\hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}} \right)</math> {{FB\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

	~~verallgemeinerte kanonische Verteilung~~		-> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math> {{FB\|Entropie}}

	->

	<math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-ktr\left( \rho \ln \rho \right)=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi \right)</math>

	: Entropie

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 279:		Zeile 273:
	& \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\		& \Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)=-\ln tr\left( {{e}^{-{{\lambda }_{n}}{{M}^{n}}}} \right) \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math> Verallgemeinerte relation zwischen den '''extensiven''' Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> und dem thermodynamisch konjugierten '''intensiven''' Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>

	Verallgemeinerte relation zwischen den extensiven Variablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

	und dem thermodynamisch konjugierten intensiven Parametern <math>{{\lambda }_{n}}</math>

	~~<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>~~

	~~Gibbsche Fundamentalrelation~~

	<math>\~~frac{\partial S}{\partial~~ \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math>		<math>dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> {{FB\|Gibbsche Fundamentalrelation}}

	* phänomenologische Definition der intensiven Variablen		<math>\frac{\partial S}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}}</math> phänomenologische Definition der intensiven Variablen

	==Siehe auch==		==Siehe auch==

Schubotz: /* Zur Unterscheidung der Differenziale dU und \delta Q, \delta W */

2010-09-11T17:52:31Z

Zur Unterscheidung der Differenziale dU und \delta Q, \delta W

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:52 Uhr
Zeile 203:		Zeile 203:

	== Zur Unterscheidung der Differenziale dU und <math>\delta Q, \delta W</math> ==		== Zur Unterscheidung der Differenziale dU und <math>\delta Q, \delta W</math> ==

	~~und <math>\delta W</math>~~

	:

	dU ist totales ( = exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion <math>U\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},.... \right)</math>		dU ist totales ( = exaktes) Differenzial einer Zustandsfunktion <math>U\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},.... \right)</math>

	Dagegen ist <math>\delta Q</math>		Dagegen ist <math>\delta Q</math> eine {{FB\|Pfaffsche Differenzialform}}}

	eine ~~'''~~Pfaffsche Differenzialform~~'''~~

	<math>\delta Q=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{g}_{n}}\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},..., \right)d{{z}^{n}}</math>		:<math>\delta Q=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{g}_{n}}\left( {{z}^{1}},{{z}^{2}},..., \right)d{{z}^{n}}</math>

	Exakte Differenziale sind dabei spezielle Differenzialformen:		Exakte Differenziale sind dabei spezielle Differenzialformen:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& df=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{g}_{n}}d{{z}^{n}} \\		& df=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{g}_{n}}d{{z}^{n}} \\
Zeile 227:		Zeile 221:

	'''Es gilt:'''		'''Es gilt:'''
			i) {{Satz\| df ist exakt <-> <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math> ( Integrabilitätsbedingung)\|
	# df ist exakt <-> <math>\frac{\partial {{g}_{m}}}{\partial {{z}^{n}}}=\frac{\partial {{g}_{n}}}{\partial {{z}^{m}}}</math>
	# ( Integrabilitätsbedingung)

	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''

Zeile 260:		Zeile 251:

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			}}
			ii) df ist exakt <-> <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>

	~~ii) df ist exakt > <math>\oint\limits_{{}}{{}}df=0</math>~~

	~~# '''Integrierender Faktor'''~~

	~~Falls <math>\delta a</math>~~

	~~kein exaktes Differenzial, aber <math>\rho \left( z \right)</math>~~

	~~existiert, so dass~~

	~~<math>\rho \left( z \right)\delta a</math>~~

	~~=df exaktes Differenzial, dann heißt~~

	~~<math>\rho \left( z \right~~)~~</math>~~		iii) {{FB\|Integrierender Faktor}}

	integrierender Faktor:		Falls <math>\delta a</math> kein exaktes Differenzial, aber <math>\rho \left( z \right)</math> existiert, so dass <math>\rho \left( z \right)\delta a=df</math> exaktes Differenzial, dann heißt <math>\rho \left( z \right)</math> integrierender Faktor:

	<math>\rho {{g}_{n}}=\frac{\partial f}{\partial {{z}^{n}}}</math>		:<math>\rho {{g}_{n}}=\frac{\partial f}{\partial {{z}^{n}}}</math>

	==Zusammenfassung==		==Zusammenfassung==

Schubotz: /* Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik */

2010-09-11T17:46:31Z

Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:46 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:

	== Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik ==		== Verknüpfung der Statistik mit der phänomenologischen Thermodynamik ==

	~~<u>Fundamentalzusammenhang</u>~~

	Zusammenhang zwischen '''Entropie''' und '''Informationsunkenntnis''' nach Shannon		Zusammenhang zwischen '''Entropie''' und '''Informationsunkenntnis''' nach Shannon

	<math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-kI\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>		{{Gln\| <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=-kI\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> (Fundamentalzusammenhang)\|Fundamentalzusammenhang}}

	;S: Entropie		;S: Entropie
Zeile 98:		Zeile 96:
	# <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist additiv für unkorrelierte Subsysteme -> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist extensiv		# <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist additiv für unkorrelierte Subsysteme -> <math>S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> ist extensiv
	# [[Verallgemeinerte kanonische Verteilung#Gibbsche Fundamentalgleichung\|Gibbsche Fundamentalgleichung]]]		# [[Verallgemeinerte kanonische Verteilung#Gibbsche Fundamentalgleichung\|Gibbsche Fundamentalgleichung]]]
	:<math>\begin{align}		{{Gln\|<math>\begin{align}

	& dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\		& dS\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)=k{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\
Zeile 104:		Zeile 102:
	& \frac{\partial S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}} \\		& \frac{\partial S\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)}{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }=k{{\lambda }_{n}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>\|Gibbsche Fundamentalgleichung}}

	~~===~~ Anwendung: Kanonische Verteilung ~~===~~		'''Anwendung: Kanonische Verteilung'''

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 116:		Zeile 114:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Definition der absoluten Temperatur T:		{{Def\|Definition der '''absoluten Temperatur''' T:

	~~<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>~~

	~~Somit ist~~ <math>\beta </math>		<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>\|absolute Temperatur}}

	die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U		Somit ist <math>\beta </math> die thermodynamisch konjugierte intensive Variable zu U

	* Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich !		* Bei Energieaustausch zwischen 2 Subsystemen ist T im Gleichgewicht gleich !

	~~<u>'''~~Quasistatischer Prozess ( reversibel):~~'''</u>~~		;{{FB\|Quasistatischer Prozess}} ( reversibel):Folge von Gleichgewichtszuständen.<br />Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich!
			;{{FB\|Arbeitskoordinaten}} ( äußere Parameter): Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:
	Folge von Gleichgewichtszuständen.

	Voraussetzung: Zeitskalentrennung zwischen Prozessgeschwindigkeit und Gleichgewichtseinstellung möglich !

	~~<u>'''~~Arbeitskoordinaten ( äußere Parameter)~~'''</u>~~

	* Extensive thermodynamische Variable, durch die ohne Änderung der materiellen Zusammensetzung von außen auf das System eingewirkt wird:

	Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden !		{{Beispiel\|Beispiel: Volumen V: Gas in Volumen V kann durch Kolben komprimiert werden!

	'''Quasistatisch geleistete Arbeit am System:'''		'''Quasistatisch geleistete Arbeit am System:'''
Zeile 152:		Zeile 141:
	also bei Kompression !		also bei Kompression !

	p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden ( quasistatisch).		p: Druck: instantaner, räumlich homogener Wert, falls Gleichgewichtszustände durchlaufen werden (quasistatisch).}}

	~~<u>'''~~Druckensemble~~'''</u>~~		==Druckensemble==

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
Zeile 178:		Zeile 167:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~<u>~~'''Definition'''~~</u>~~		{{Def\| '''Definition Druck'''

	<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{U}}=k{{\lambda }_{2}}:=\frac{p}{T}</math>		<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{U}}=k{{\lambda }_{2}}:=\frac{p}{T}</math>}}

	dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:		dann gilt in Übereinstimmung mit der phänomenologischen Thermodynamik:

Schubotz: /* Anwendung: Kanonische Verteilung */

2010-09-11T17:36:38Z

Anwendung: Kanonische Verteilung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:36 Uhr
Zeile 193:		Zeile 193:

	Dabei:		Dabei:
			{{Satz\|
	<math>dU=\delta Q+\delta W</math>		<math>dU=\delta Q+\delta W</math>

	Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)		Erster Hauptsatz der Thermodynamik ( Energieerhaltungssatz)
			\|name=Erster Hauptsatz der Thermodynamik}}

	<math>\delta Q</math>		<math>\delta Q</math>
Zeile 206:		Zeile 207:
	: Vom System quasistatisch geleistete Arbeit		: Vom System quasistatisch geleistete Arbeit

	'''Nebenbemerkung:'''		{{Bem\|'''Nebenbemerkung:'''

	~~Q und W sind keine Zustandsfunktionen, daher keine exakten Funktionale <math>\delta Q</math>~~

	und <math>\delta W</math>		Q und W sind keine Zustandsfunktionen, daher keine exakten Funktionale <math>\delta Q</math> und <math>\delta W</math>}}

	* Energiezustandsfunktion eines einfachen thermischen Systems U(S,V)		* Energiezustandsfunktion eines einfachen thermischen Systems U(S,V)

Schubotz: /* Siehe auch */

2010-09-01T12:35:08Z

Siehe auch

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2010, 14:35 Uhr
Zeile 329:		Zeile 329:
	Skript ab Seite 42		Skript ab Seite 42

	~~{{Quelle\|St07\|5.4.13\|Kap 5.4.3 S46}}~~

	__SHOWFACTBOX__		__SHOWFACTBOX__
	<references />		<references />

Schubotz: /* Siehe auch */

2010-09-01T12:32:01Z

Siehe auch

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2010, 14:32 Uhr
Zeile 330:		Zeile 330:

	{{Quelle\|St07\|5.4.13\|Kap 5.4.3 S46}}		{{Quelle\|St07\|5.4.13\|Kap 5.4.3 S46}}

			__SHOWFACTBOX__
			<references />