Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:20:26Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|6\|3}}</noinclude>
	( Erregungsgleichungen)		(Erregungsgleichungen)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 26:		Zeile 26:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:		Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms (Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 33:		Zeile 33:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !		Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors!

	'''Bemerkungen'''		'''Bemerkungen'''
Zeile 80:		Zeile 80:

	sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.		sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
	Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!		Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null!!

	<u>'''Gauß- System:'''</u>		<u>'''Gauß- System:'''</u>

	:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>		:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:55:00Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:55 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	( Erregungsgleichungen)		( Erregungsgleichungen)

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\		& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
	& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\		& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\
Zeile 17:		Zeile 17:
	# Komponente		# Komponente

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\		& {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
	& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\		& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
Zeile 28:		Zeile 28:
	Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:		Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\		& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
	& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\		& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
Zeile 39:		Zeile 39:
	# die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz		# die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

	<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}		:<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
	0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\		0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
	-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\		-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
Zeile 48:		Zeile 48:
	automatisch erfüllt:		automatisch erfüllt:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\		& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
	& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\		& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
Zeile 58:		Zeile 58:
	Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen		Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

	<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>		:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>

	folgt mit Lorentz- Eichung		folgt mit Lorentz- Eichung

	<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>		:<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\		& {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
	& also: \\		& also: \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>		:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
	als inhomogene Wellengleichung		als inhomogene Wellengleichung

	'''Die Maxwellgleichungen'''		'''Die Maxwellgleichungen'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\		& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
	& {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\		& {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
Zeile 84:		Zeile 84:
	<u>'''Gauß- System:'''</u>		<u>'''Gauß- System:'''</u>

	<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>		:<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>

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2010-08-28T23:41:19Z

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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|3}}</noinclude>
( Erregungsgleichungen)

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
& wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\
& auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
\end{align}</math>

#
# <math>\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
#

# Komponente

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
& {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\
& {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
& \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
& wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\
\end{align}</math>

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
& {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
\end{align}</math>

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

'''Bemerkungen'''

# die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

<math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
-\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>

automatisch erfüllt:

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
& da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
\end{align}</math>

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>

folgt mit Lorentz- Eichung

<math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>

<math>\begin{align}
& {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
& also: \\
\end{align}</math>

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
als inhomogene Wellengleichung

'''Die Maxwellgleichungen'''

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
& {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
\end{align}</math>

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

<u>'''Gauß- System:'''</u>

<math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (2), ( → ( (2)

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