Klein Gordon und Relativität - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:41:32Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:41 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\left( \begin{align}		:<math>\left( \begin{align}

	& {{x}'} \\		& {{x}'} \\
Zeile 46:		Zeile 46:
	mit		mit

	<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>		:<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>

	Daraus folgt (mit v → -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>		Daraus folgt (mit v → -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>
Zeile 52:		Zeile 52:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\left( \begin{align}		:<math>\left( \begin{align}

	& x \\		& x \\
Zeile 76:		Zeile 76:
	Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)		Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix}		& \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix}
Zeile 163:		Zeile 163:
	Hierzu		Hierzu

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\		& {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\
Zeile 185:		Zeile 185:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}</math>		:<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}</math>

	: \|(1.14)\|RawN=.}}		: \|(1.14)\|RawN=.}}
Zeile 191:		Zeile 191:
	mit		mit

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\		& -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\

Schubotz am 5. September 2010 um 11:29 Uhr

2010-09-05T11:29:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 13:29 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:


	[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]		{{Beispiel\|1=[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]
	<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math> zurück.		<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math> zurück.
	~~{{clear}}~~
	{{NumBlk\|:\|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>\|(1.9) \|RawN=.\|extra=(in S)}}		{{NumBlk\|:\|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>\|(1.9) \|RawN=.\|extra=(in S)}}
	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

	{{NumBlk\|:\|<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>\|(1.10)\|RawN=.\|extra=(in S‘)}}		{{NumBlk\|:\|<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>\|(1.10)\|RawN=.\|extra=(in S‘)}}
			}}

Schubotz am 5. September 2010 um 11:26 Uhr

2010-09-05T11:26:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 13:26 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:

	[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]		[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]
	<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.		<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math> zurück.
			{{clear}}
	{{NumBlk\|:\|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>\|(1.9) \|RawN=.\|extra=(in S)}}		{{NumBlk\|:\|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>\|(1.9) \|RawN=.\|extra=(in S)}}
	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt
Zeile 180:		Zeile 181:


	Sind ~~ebene Wellen~~{{FB\|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen):		Sind {{FB\|ebene Wellen\|SRT}} (und deren Überlagerungen):

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

Schubotz am 5. September 2010 um 11:24 Uhr

2010-09-05T11:24:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 13:24 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]		[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]
	<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.		<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>\|(1.9) \|RawN=.\|extra=(in S)}}
	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>~~(in S)~~ \|(1.9) \|RawN=.}}
	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>\|(1.10)\|RawN=.\|extra=(in S‘)}}
	<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>~~(in S‘)~~
	\| (1.10)\|RawN=.}}


Zeile 50:		Zeile 47:
	<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>		<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>

	Daraus folgt (mit v  -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>		Daraus folgt (mit v → -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
Zeile 146:		Zeile 143:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	* Unter Lorentz-Transformation bleibt		* Unter Lorentz-Transformation bleibt <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math> invariant.
	* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math>		* Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>.
	* invariant.		* Insbesondere bleiben die {{FB\|Lichtabstände}} <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math> invariant.
	** Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>.
	** Insbesondere bleiben die ~~Lichtabstände~~{{FB\|Lichtabstände}}
	** <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>
	** invariant.

	== Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT) ==		== Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT) ==


	~~Wellengleichung~~{{FB\|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>		{{FB\|Wellengleichung\|skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>~~\text{in S: }~~\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad ~~\text{ in {S}': }~~\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0</math>		in S:<math>\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0</math> in S':<math>\quad \quad \underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0</math>\|(1.13)\|RawN=.}}

	: \|(1.13)\|RawN=.}}

	mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c.		mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c.

	Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.		Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

	~~----~~

	Hierzu		Hierzu

Schubotz am 5. September 2010 um 11:13 Uhr

2010-09-05T11:13:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 13:13 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=2\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=2\|Prof=Prof. Dr. T. Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


Zeile 7:		Zeile 7:
	* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen		* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
	* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe		* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe
	~~{{Beispiel\|<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.~~


			[[Datei:Koordinatensysteme.svg\|miniatur\| Geschwindigkeit v parallel zu x]]
			<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>(in S) \|(1.9) \|RawN=.}}		<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>(in S) \|(1.9) \|RawN=.}}

	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

	{{NumBlk\|:)\|		{{NumBlk\|:\|
			<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>(in S‘)
			\| (1.10)\|RawN=.}}

	~~<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>(in S‘~~

	~~\| (1.10)\|RawN=.}}~~
	~~[[Bild::Koordinatensysteme.svg\|miniatur\|<span style="font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri","sans-serif";~~
	~~mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:~~
	~~minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";~~
	~~mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:DE;mso-fareast-language:EN-US;~~
	~~mso-bidi-language:AR-SA">1<span style="font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri","sans-serif";~~
	~~mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:~~
	~~minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";~~
	~~mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:DE;mso-fareast-language:EN-US;~~
	~~mso-bidi-language:AR-SA"> Geschwindigkeit v parallel zu x]]~~
	~~SEQ Abbildung \* ARABIC~~
	}}

	Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB\|Lorentz-Transformation}}		Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB\|Lorentz-Transformation}}

Schubotz am 5. September 2010 um 11:05 Uhr

2010-09-05T11:05:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 13:05 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen		* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
	* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe		* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe
	<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.		{{Beispiel\|<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.

	{{NumBlk\|:~~(in S)~~\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math> \|(1.9) \|RawN=.}}		<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>(in S) \|(1.9) \|RawN=.}}

	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

	{{NumBlk\|:~~(in S‘~~)\|		{{NumBlk\|:)\|

	<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>		<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>(in S‘

	\| (1.10)\|RawN=.}}		\| (1.10)\|RawN=.}}
			[[Bild::Koordinatensysteme.svg\|miniatur\|<span style="font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri","sans-serif";
			mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:
			minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
			mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:DE;mso-fareast-language:EN-US;
			mso-bidi-language:AR-SA">1<span style="font-size:11.0pt;line-height:115%;font-family:"Calibri","sans-serif";
			mso-ascii-theme-font:minor-latin;mso-fareast-font-family:Calibri;mso-fareast-theme-font:
			minor-latin;mso-hansi-theme-font:minor-latin;mso-bidi-font-family:"Times New Roman";
			mso-bidi-theme-font:minor-bidi;mso-ansi-language:DE;mso-fareast-language:EN-US;
			mso-bidi-language:AR-SA"> Geschwindigkeit v parallel zu x]]
			SEQ Abbildung \* ARABIC
			}}

	Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB\|Lorentz-Transformation}}		Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB\|Lorentz-Transformation}}

Schubotz am 5. September 2010 um 10:09 Uhr

2010-09-05T10:09:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 12:09 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=2\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>		<noinclude>{{ScriptProf\|Kapitel=1\|Abschnitt=2\|Prof=Brandes\|Thema=Quantenmechanik\|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

	~~<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)'''</FONT>~~

	Einstein (SRT):		Einstein (SRT):
Zeile 9:		Zeile 9:
	<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.		<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left\| r \right\|=ct</math>zurück.

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:(in S)\|

	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>~~(in S)~~ \|(1.9) \|RawN=.}}		<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math> \|(1.9) \|RawN=.}}

	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:(in S‘)\|

	<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>		<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>

	~~(in S‘)~~\| (1.10)\|RawN=.}}		\| (1.10)\|RawN=.}}

	Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der ~~Lorentz-Transformation~~{{FB\|Lorentz-Transformation}}		Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB\|Lorentz-Transformation}}

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|
Zeile 209:		Zeile 209:

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

			==Literatur==
			<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)'''</FONT>


			<references />
			__SHOWFACTBOX__

Schubotz am 4. September 2010 um 22:56 Uhr

2010-09-04T22:56:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 00:56 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>		<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>(in S) \|(1.9) \|RawN=.}}

	(in S) \|RawN=.}}

	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt
Zeile 19:		Zeile 17:
	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

	<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math>		<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>

	(in S‘) (1.10)\|RawN=.}}		(in S‘)\| (1.10)\|RawN=.}}

	Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB\|Lorentz-Transformation}}		Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB\|Lorentz-Transformation}}
Zeile 53:		Zeile 51:
	<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>		<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>

	Daraus folgt (mit v  -v) <font color="#~~FFFF00~~">'''''(CHECK)'''''</FONT>		Daraus folgt (mit v  -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>

	{{NumBlk\|:\|		{{NumBlk\|:\|

Schubotz am 4. September 2010 um 22:53 Uhr

2010-09-04T22:53:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. September 2010, 00:53 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>		<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>

	(in S) \| \|RawN=.}}		(in S) \|RawN=.}}

	Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt		Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt
Zeile 21:		Zeile 21:
	<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math>		<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math>

	(in S‘) \|(1.10)\|RawN=.}}		(in S‘) (1.10)\|RawN=.}}

	Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB\|Lorentz-Transformation}}		Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB\|Lorentz-Transformation}}
Zeile 156:		Zeile 156:
	** <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>		** <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>
	** invariant.		** invariant.
	~~<font color~~=~~"#FFFF00">'''''~~Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)~~'''''</font>~~
			== Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT) ==


	Wellengleichung{{FB\|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>		Wellengleichung{{FB\|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>
Zeile 188:		Zeile 190:
	* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT		* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT
	* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.		* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.
	~~<font color~~=~~"#FFFF00">'''''~~Lösungen der Klein Gordon Gleichung~~'''''</font>~~
			== Lösungen der Klein Gordon Gleichung ==


	Sind ebene Wellen{{FB\|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen):		Sind ebene Wellen{{FB\|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen):

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}} '''LITERATUR: SKRI…“

2010-09-04T22:48:33Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> '''LITERATUR: SKRI…“

Neue Seite

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

'''LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)'''

Einstein (SRT):

* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe
Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left| r \right|=ct</math>zurück.

{{NumBlk|:|

<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>

(in S) | |RawN=.}}

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

{{NumBlk|:|

<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math>

(in S‘) |(1.10)|RawN=.}}

Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB|Lorentz-Transformation}}

{{NumBlk|:|

<math>\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix}

1 & -\beta \\

-\beta & 1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)</math>

: |(1.11)|RawN=.}}

mit

<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>

Daraus folgt (mit v  -v) '''''(CHECK)'''''

{{NumBlk|:|

<math>\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix}

1 & \beta \\

\beta & 1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)</math>

: |(1.12)|RawN=.}}

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

<math>\begin{align}

& \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix}

{{x}'} & c{t}' \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & 0 \\

0 & -1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix}

x & ct \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & -\beta \\

-\beta & 1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & 0 \\

0 & -1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & -\beta \\

-\beta & 1 \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right) \\

& ={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix}

x & ct \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1-{{\beta }^{2}} & 0 \\

0 & -1+{{\beta }^{2}} \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)=\underline{{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}

\end{align}</math>

* Unter Lorentz-Transformation bleibt
* <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math>
* invariant.
** Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>.
** Insbesondere bleiben die Lichtabstände{{FB|Lichtabstände}}
** <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math>
** invariant.
'''''Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)'''''

Wellengleichung{{FB|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>

{{NumBlk|:|

<math>\text{in S: }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad \text{ in {S}': }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0</math>

: |(1.13)|RawN=.}}

mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

----

Hierzu

<math>\begin{align}

& {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\

& \partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\}\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\} \\

& \partial _{t}^{2}\,\text{analog} \\

\end{align}</math>

AUFGABE

* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT
* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.
'''''Lösungen der Klein Gordon Gleichung'''''

Sind ebene Wellen{{FB|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen):

{{NumBlk|:|

<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}</math>

: |(1.14)|RawN=.}}

mit

<math>\begin{align}

& -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\

& +:\,\text{ postivive Energie -}\sqrt{{}} \\

\end{align}</math>