Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) - Versionsgeschichte

Schubotz: hat „Script:Kontinuitätsgleichung“ nach „Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)“ verschoben

2011-08-21T15:09:08Z

hat „Script:Kontinuitätsgleichung“ nach „Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)“ verschoben

← Nächstältere Version	Version vom 21. August 2011, 17:09 Uhr
(kein Unterschied)

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (2)

2010-09-12T22:42:22Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (2)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|4}}</noinclude>
	Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):		Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 53:		Zeile 53:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Denn:		Denn:
	Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !		Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben!
	Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !		Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit!
	Dabei bezeichnet man		Dabei bezeichnet man
	:<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird		:<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird
Zeile 60:		Zeile 60:
	Mit dem kinetischen Impulsoperator		Mit dem kinetischen Impulsoperator
	:<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>		:<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>
	Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !		Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert!
	<u>'''Bemerkungen'''</u>		<u>'''Bemerkungen'''</u>
	# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.		# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
Zeile 68:		Zeile 68:
	Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:		Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
	:<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>		:<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>
	Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)		Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)
	# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !		# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!
	Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:		Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 79:		Zeile 79:
	Also in diesem Fall:		Also in diesem Fall:
	:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>		:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>
	Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen !		Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen!
	# Im Gaußschen Maßsystem gilt:		# Im Gaußschen Maßsystem gilt:
	:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>		:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:42:11Z

Einrückungen Mathematik

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}} Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): $\begin{align} & i\…“$

2010-09-09T14:32:32Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude> Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): <math>\begin{align} & i\…“

← Nächstältere Version	Version vom 9. September 2010, 16:32 Uhr
(kein Unterschied)

Schubotz am 9. September 2010 um 13:16 Uhr

2010-09-09T13:16:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 15:16 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|4}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|1\|4}}</noinclude>
	Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):		Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):

Schubotz: hat „Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände“ nach „Script:Kontinuitätsgleichung“ verschoben

2010-08-24T14:46:04Z

hat „Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände“ nach „Script:Kontinuitätsgleichung“ verschoben

← Nächstältere Version	Version vom 24. August 2010, 16:46 Uhr
(kein Unterschied)

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}} Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): $\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r…“$

2010-08-24T14:44:05Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}} Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell): <math>\begin{align} & i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}
Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):

<math>\begin{align}

& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\

& V=e\Phi \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\

& =\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi +i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi \right]+V\Psi (\bar{r},t) \\

\end{align}</math>

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

<math>\bar{A}(\bar{r},t)</math>

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

<math>i\hbar \dot{\Psi }*(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi *-i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)</math>

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

<math>\begin{align}

& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi *(\bar{r},t) \right)=\Psi *(\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi *(\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }*(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi *\hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi )* \\
\end{align}</math>
<math>\begin{align}
& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi * \right]+\Psi *V\Psi -\Psi V\Psi * \\
& \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *+\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\
& \Psi *{{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi *=0 \\
& \Psi *V\Psi -\Psi V\Psi *=0 \\
& \Psi *\nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi *=\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi =\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Psi *\Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi *=\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right) \\
& \left( \nabla \Psi *\nabla \Psi -\nabla \Psi \nabla \Psi * \right)=0 \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\nabla \left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\nabla \left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}=\nabla \left[ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)+\frac{i\hbar e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \right] \\
\end{align}</math>
Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
<math>\begin{align}
& \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
& =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi * \right\} \\
\end{align}</math>
Denn:
Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !
Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !
Dabei bezeichnet man
<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird
<math>\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi *{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right)* \right\}</math>
Mit dem kinetischen Impulsoperator
<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>
Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
<u>'''Bemerkungen'''</u>
# Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math>
# Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right)* \right\}</math>
Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>
Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !
Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:
<math>\begin{align}
& \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
\end{align}</math>
Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
<math>\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi </math>
Also in diesem Fall:
<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>
Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen !
# Im Gaußschen Maßsystem gilt:
<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:42 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):		Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\		& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi =\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\
Zeile 10:		Zeile 10:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\		& i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi (\bar{r},t)+V\Psi (\bar{r},t) \\
Zeile 20:		Zeile 20:
	Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von		Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

	<math>\bar{A}(\bar{r},t)</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r},t)</math>

	Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:		Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

	<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi -i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)</math>		:<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\frac{1}{2m}\left[ -{{\hbar }^{2}}\Delta \Psi -i\hbar e\nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)-i\hbar e\bar{A}\left( \nabla \Psi * \right)+{{e}^{2}}{{A}^{2}}\Psi * \right]+V\Psi *(\bar{r},t)</math>

	Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:		Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\		& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi (\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi (\bar{r},t)+\Psi (\bar{r},t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi *(\bar{r},t) \\
	& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi (\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi \hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi ) \\		& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=i\hbar \left( \Psi (\bar{r},t)\dot{\Psi }(\bar{r},t)+\dot{\Psi }(\bar{r},t)\Psi (\bar{r},t) \right)=\Psi \hat{H}\Psi -\Psi (\hat{H}\Psi ) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi \Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi \right]+\Psi V\Psi -\Psi V\Psi \\		& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \Psi \Delta \Psi -\Psi \Delta \Psi \right)+\frac{{{e}^{2}}}{2m}\left[ \Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi -\Psi {{{\bar{A}}}^{2}}\Psi \right]+\Psi V\Psi -\Psi V\Psi \\
	& \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi +\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\		& \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\frac{i\hbar e}{2m}\left( \Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\Psi \nabla \Psi +\Psi \nabla \left( \bar{A}\Psi * \right)+\bar{A}\Psi *\nabla \Psi \right) \\
Zeile 46:		Zeile 46:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld		Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld
	<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>
	Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:		Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\		& \bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right) \\
	& =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi \left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi \right\} \\		& =\frac{1}{2m}\left\{ \Psi \left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi +\Psi \left( -\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A} \right)\Psi \right\} \\
Zeile 56:		Zeile 56:
	Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !		Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !
	Dabei bezeichnet man		Dabei bezeichnet man
	<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird		:<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi \nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird
	<math>\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right) \right\}</math>		:<math>\bar{j}=\frac{1}{2m}\left\{ \Psi {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi +\Psi \left( {{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}\Psi \right) \right\}</math>
	Mit dem kinetischen Impulsoperator		Mit dem kinetischen Impulsoperator
	<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>		:<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>
	Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !		Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
	<u>'''Bemerkungen'''</u>		<u>'''Bemerkungen'''</u>
Zeile 65:		Zeile 65:
	Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math>		Also: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}=m\hat{\bar{v}}</math>und <math>\hat{p}\ne m\hat{\bar{v}}</math>
	# Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung		# Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung
	<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi \hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right) \right\}</math>		:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi (\bar{r},t) \right\|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\frac{1}{2}\left\{ \Psi \hat{\bar{v}}\Psi +\Psi \left( \hat{\bar{v}}\Psi \right) \right\}</math>
	Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:		Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
	<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>		:<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>
	Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)		Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
	# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !		# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !
	Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:		Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\		& \left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =\frac{\hbar }{i}\left[ \nabla \left( \bar{A}\Psi \right)+\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right]=\frac{\hbar }{i}\left[ \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)\Psi +2\bar{A}\left( \nabla \Psi \right) \right] \\
	& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\		& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:		Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:
	<math>\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi </math>		:<math>\left( \hat{\bar{p}}\bar{A}+\bar{A}\hat{\bar{p}} \right)\Psi =2\bar{A}\hat{\bar{p}}\Psi </math>
	Also in diesem Fall:		Also in diesem Fall:
	<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>		:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>
	Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen !		Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen !
	# Im Gaußschen Maßsystem gilt:		# Im Gaußschen Maßsystem gilt:
	<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>		:<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>