Magnetostatische Feldgleichungen - Versionsgeschichte

Schubotz: /* Elektrostatik */

2010-09-16T10:06:42Z

Elektrostatik

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	differenzielle Form / integrale Form		differenzielle Form / integrale Form

	:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math> ({{FB\|Poissongleichung}})
	({{FB\|Poissongleichung}})

Schubotz am 16. September 2010 um 10:03 Uhr

2010-09-16T10:03:32Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|3}}</noinclude>

	Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche!!		Sie gelten auch in {{FB\|quasistaischer Näherung}}: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche!!

	Mit dem Vektorpotenzial		Mit dem {{FB\|Vektorpotenzial}}

	:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>
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	Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß		Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
	:<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math>		:<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math>
	umgeeicht werden kann.		umgeeicht werden kann.(<math>\Psi (\bar{r})</math> beliebig möglich, da <math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>)
	(
	:<math>\Psi (\bar{r})</math>
	beliebig möglich, da
	:<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>)


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	:<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>		:<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>

	es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion (es existieren keine "magnetischen Ladungen".		es gibt '''keine Quellen der magnetischen Induktion''' (es existieren keine "magnetischen Ladungen".

	Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses!)		Aber: {{FB\|Magnetische Monopole}} wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses!)
	Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen!		Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen!
	Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten		Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten <math>{{10}^{-35}}s</math> erzeugt worden sein sollen.
	:<math>{{10}^{-35}}s</math>
	erzeugt worden sein sollen.

	Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)		Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
	'''Der Zusammenhang zwischen'''		'''Der Zusammenhang zwischen''' <math>\bar{B}(\bar{r})</math> und <math>\bar{j}(\bar{r})</math>:

	~~:<math>\bar{B}(\bar{r})</math> und <math>\bar{j}(\bar{r})</math>~~
	:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt!		Wobei die verwendete {{FB\|Kontinuitätsgleichung}} natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt!

	Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:		Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit dem Gaußschen Satz.		Mit dem {{FB\|Gaußschen Satz}}.
	Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:		Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes		Dies ist die differenzielle Form des {{FB\|Ampereschen Gesetzes}}.

	Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!!		Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!!

	Integration über eine Fläche F mit Rand		Integration über eine Fläche F mit Rand <math>\partial F</math> liefert die Intgralform:
	:<math>\partial F</math>
	liefert die Intgralform:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Mit dem Satz von Stokes		Mit dem {{FB\|Satz von Stokes}}
	Das sogenannte Durchflutungsgesetz!		Das sogenannte {{FB\|Durchflutungsgesetz}}!

	~~<u>'''~~Zusammenfassung~~:'''</u>~~		==Zusammenfassung==

	~~<u>'''~~Magnetostatik~~:'''</u>~~		===Magnetostatik===

	:<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>		:<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math> (quellenfreiheit)
	(quellenfreiheit)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:		Gilt jedoch nur im Falle der {{FB\|Coulomb-Eichung}}:

	:<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>		:<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~<u>'''~~Elektrostatik~~:'''</u>~~		===Elektrostatik===

	:<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>		:<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math> (Wirbelfreiheit)
	(Wirbelfreiheit)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
	(Poissongleichung)		({{FB\|Poissongleichung}})

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

2010-09-12T22:21:50Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|2\|3}}</noinclude>

	Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!		Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche!!

	Mit dem Vektorpotenzial		Mit dem Vektorpotenzial
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	:<math>\Psi (\bar{r})</math>		:<math>\Psi (\bar{r})</math>
	beliebig möglich, da		beliebig möglich, da
	:<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>		:<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>)
	)

	Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:		Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
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	:<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>		:<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>

	es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".		es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion (es existieren keine "magnetischen Ladungen".

	Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)		Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses!)
	Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !		Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen!
	Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten		Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten
	:<math>{{10}^{-35}}s</math>		:<math>{{10}^{-35}}s</math>
	erzeugt worden sein sollen.		erzeugt worden sein sollen.

	Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)		Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
	'''Der Zusammenhang zwischen'''		'''Der Zusammenhang zwischen'''

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !		Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt!

	Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:		Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
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	Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes		Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
	Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!		Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!!

	Integration über eine Fläche F mit Rand		Integration über eine Fläche F mit Rand
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	Mit dem Satz von Stokes		Mit dem Satz von Stokes
	Das sogenannte Durchflutungsgesetz !		Das sogenannte Durchflutungsgesetz!

	<u>'''Zusammenfassung:'''</u>		<u>'''Zusammenfassung:'''</u>
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	:<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>		:<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>
	( quellenfreiheit)		(quellenfreiheit)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>		:<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>
	( Wirbelfreiheit)		(Wirbelfreiheit)

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 159:		Zeile 159:

	:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>		:<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
	( Poissongleichung)		(Poissongleichung)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:55:36Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|3}} Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die r…“

2010-08-28T23:16:00Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|3}}</noinclude> Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die r…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|3}}</noinclude>

Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!

Mit dem Vektorpotenzial

<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>

Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math>
umgeeicht werden kann.
(
<math>\Psi (\bar{r})</math>
beliebig möglich, da
<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>
)

Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:

<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>

Beweis:

<math>\begin{align}
& rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
& \Rightarrow rot\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=\bar{B}(\bar{r}) \\
\end{align}</math>

Folgende Aussagen sind äquivalent:
Es existiert ein Vektorpotenzial mit

<math>\begin{align}
& \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\
& \Leftrightarrow \\
\end{align}</math>

<math>div\bar{B}=0</math>

Beweis:

<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>

es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".

Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten
<math>{{10}^{-35}}s</math>
erzeugt worden sein sollen.

Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
'''Der Zusammenhang zwischen'''

<math>\bar{B}(\bar{r})</math>
und
<math>\bar{j}(\bar{r})</math>
:

<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\
& \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right] \\
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0 \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
\end{align}</math>

Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !

Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t) \\
\end{align}</math>

Mit dem Gaußschen Satz.
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:

<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math>

Also:

<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math>

Also:

<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>

Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach

<math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
\end{align}</math>

wegen

<math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>

Also:

<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>

Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:

<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
& {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\
\end{align}</math>

Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!

Integration über eine Fläche F mit Rand
<math>\partial F</math>
liefert die Intgralform:

<math>\begin{align}
& \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
\end{align}</math>

Mit dem Satz von Stokes
Das sogenannte Durchflutungsgesetz !

'''Zusammenfassung:'''

'''Magnetostatik:'''

<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>
( quellenfreiheit)

<math>\begin{align}
& rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\
& \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
\end{align}</math>

Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:

<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>

Dies geschieht durch die Umeichung

<math>\begin{align}
& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\
& \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\
& \nabla \times \nabla \Psi =0\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A} \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \\
\end{align}</math>

'''Elektrostatik:'''

<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>
( Wirbelfreiheit)

<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
& \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\
\end{align}</math>
differenzielle Form / integrale Form

<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
( Poissongleichung)