Master Gleichung - Versionsgeschichte

>SchuBot: / Markov Näherung */Kategorie Thermo

2010-09-16T22:04:08Z

Markov Näherung: Kategorie Thermo

← Nächstältere Version		Version vom 17. September 2010, 00:04 Uhr
Zeile 108:		Zeile 108:
	* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab		* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
	:<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>		:<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>
			[[Kategorie:Thermodynamik]]

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:36:44Z

Mathematik einrücken

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 18:36 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	* Vor Rechts ins System <math>{}_{S}^{R}{{H}_{I}}</math>		* Vor Rechts ins System <math>{}_{S}^{R}{{H}_{I}}</math>
	* Vom System nach Links <math>{}_{L}^{S}{{H}_{I}}</math>		* Vom System nach Links <math>{}_{L}^{S}{{H}_{I}}</math>
	* Vom System nach Rechts <math>{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math>		* Vom System nach Rechts <math>{}_{R}^{S}{{H}_{I}}</math> mit <math>{}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}</math> und <math>{}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}</math>
	mit
	<math>{}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}</math>
	und
	<math>{}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum\limits_{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}</math>

	<math>{{e}_{i}}</math> erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.		:<math>{{e}_{i}}</math> erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
	<math>e_{i}^{\dagger }</math> vernichtet ...		:<math>e_{i}^{\dagger }</math> vernichtet ...

	==Transformation ins WW-Bild==		==Transformation ins WW-Bild==
	Operator ins WWBild		Operator ins WWBild

	<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>		:<math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math>
	mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>		mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
	und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>		und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math>

	Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]		Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]]
	<math>		:<math>
	\dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>		\dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math>

	mit der Lösung		mit der Lösung

	<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>		:<math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math>

	mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math>		mit <math>U=\exp \left( -\mathfrak{i}Ht \right)</math>
Zeile 41:		Zeile 37:
	Beweis		Beweis

	<math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math>		:<math>{{\partial }_{t}}U=-\mathfrak{i}HU</math> sowie <math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>

	sowie

	<math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math>

	Dann ist		Dann ist
	<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>		:<math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math>

	beweis ende		beweis ende
Zeile 59:		Zeile 51:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\		& {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\
	& =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\		& =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\
Zeile 69:		Zeile 61:
	===Lösung===		===Lösung===
	Integrieren		Integrieren
	<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>		:<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>
	auf rechter Seite einsetzen		auf rechter Seite einsetzen

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\		& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
	& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\		& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
Zeile 80:		Zeile 72:
	Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad		Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

	<math>{{\rho }_{S}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>		:<math>{{\rho }_{S}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>


	<math>{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}</math>		:<math>{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}</math>


	<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>		:<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>

	damit folgt für		damit folgt für
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'		& {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 96:		Zeile 88:
	* no korrelation beteween System and Bath at t=0		* no korrelation beteween System and Bath at t=0
	-->		-->
	<math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math>		:<math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math>

	* Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.		* Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.
	-->		-->

	<math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math>		:<math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math>

	*Dichtematrix zu t=0 Sperabel		*Dichtematrix zu t=0 Sperabel
Zeile 107:		Zeile 99:
	*Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst		*Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

	<math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math>		:<math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math>
	===Bornsche Näherung===		===Bornsche Näherung===
	* Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2		* Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

	<math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math>		:<math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math>

	===Markov Näherung===		===Markov Näherung===
	* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab		* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
	<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>		:<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>

85.178.223.215: /* System Dichteoperator */

2009-09-11T12:44:56Z

System Dichteoperator

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2009, 14:44 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	& {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'		& {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			==Annahmen==
			* WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
			* no korrelation beteween System and Bath at t=0
			-->
			<math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math>

			* Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.
			-->

			<math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math>

			*Dichtematrix zu t=0 Sperabel
			*Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
			*Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

			<math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math>
			===Bornsche Näherung===
			* Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

			<math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math>

			===Markov Näherung===
			* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
			<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>

130.149.114.236: /* System Dichteoperator */

2009-09-09T09:43:28Z

System Dichteoperator

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2009, 11:43 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:
	Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad		Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

	<math>{{\rho }_{B}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>		<math>{{\rho }_{S}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>


	<math>{{{\tilde{\rho }}}_{B}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{B}}{{U}_{S}}</math>		<math>{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{S}}{{U}_{S}}</math>


Zeile 90:		Zeile 90:
	damit folgt für		damit folgt für
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\tilde{\~~rho_B~~ }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'		& {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

130.149.114.236: /* System Dichteoperator */

2009-09-08T10:37:32Z

System Dichteoperator

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 12:37 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:

	<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>		<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>

			damit folgt für
			<math>\begin{align}
			& {{d}_{t}}\tilde{\rho_B }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
			\end{align}</math>

130.149.215.223: /* System Dichteoperator */

2009-09-08T10:31:49Z

System Dichteoperator

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 12:31 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	==System Dichteoperator==		==System Dichteoperator==
	Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad		Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

			<math>{{\rho }_{B}}={{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ \rho \right]</math>


			<math>{{{\tilde{\rho }}}_{B}}=U_{S}^{\dagger }{{\rho }_{B}}{{U}_{S}}</math>


			<math>{{U}_{S}}=\exp \left( -\mathsf{\mathfrak{i}}{{H}_{S}}t \right)</math>

130.149.114.236: /* Lösung */

2009-09-08T10:30:30Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 12:30 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\		& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
	& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\		& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
	& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'		& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			==System Dichteoperator==
			Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad

130.149.215.223: /* Lösung */

2009-09-08T09:37:15Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 11:37 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	Integrieren		Integrieren
	<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>		<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>
			auf rechter Seite einsetzen

			<math>\begin{align}
			& {{d}_{t}}\tilde{\rho }=-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}}-\mathfrak{i}\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
			& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\int_{0}^{t}{[{{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho }]}\,d{t}' \right] \\
			& =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
			\end{align}</math>

130.149.114.236: /* Lösung */

2009-09-08T09:25:54Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 11:25 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	===Lösung===		===Lösung===
	Integrieren		Integrieren
	<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde[H_I,\tilde{\rho}]\,dt'</math>		<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde{H_I},\tilde{\rho}]\,dt'</math>

130.149.114.236: /* Lösung */

2009-09-08T09:24:53Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2009, 11:24 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	===Lösung===		===Lösung===
	Integrieren		Integrieren
	<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \~~int:0~~^t [\tilde[H_I,\tilde{\rho}], dt'</math>		<math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \int_0^t [\tilde[H_I,\tilde{\rho}]\,dt'</math>

Master Gleichung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: /* Markov Näherung */Kategorie Thermo

*>SchuBot: Mathematik einrücken

85.178.223.215: /* System Dichteoperator */

130.149.114.236: /* System Dichteoperator */

130.149.114.236: /* System Dichteoperator */

130.149.215.223: /* System Dichteoperator */

130.149.114.236: /* Lösung */

130.149.215.223: /* Lösung */

130.149.114.236: /* Lösung */

130.149.114.236: /* Lösung */

>SchuBot: / Markov Näherung */Kategorie Thermo