Mechanik des starren Körpers - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:30:26Z

Interpunktion, replaced: ( → (

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	Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper		Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper

	Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten des Körpers ( starr) im Gegensatz dazu steht die Mechanik der deformierbaren Medien, also Elastomechanik oder Hydrodynamik		Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten des Körpers (starr) im Gegensatz dazu steht die Mechanik der deformierbaren Medien, also Elastomechanik oder Hydrodynamik
	einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!		einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!

	<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|6\|0}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Mechanik\|6\|0}}</noinclude>

Schubotz: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „Bisher betrachtet: System von Massepunkten Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten d…“

2010-08-28T22:46:45Z

Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „Bisher betrachtet: System von Massepunkten Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten d…“

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Schubotz am 21. August 2010 um 09:46 Uhr

2010-08-21T09:46:18Z

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	{{Scripthinweis\|Mechanik\|6}}		{{Scripthinweis\|Mechanik\|6}}

	Bisher betrachtet: System von Massepunkten		Bisher betrachtet: System von Massepunkten

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	<math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math>		<math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math> Schwerpunktsgeschwindigkeit
	Schwerpunktsgeschwindigkeit


	<math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math>		<math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math> Winkelgeschwindigkeit
	Winkelgeschwindigkeit

	Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:		Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:
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	<math>\bar{\omega }</math>		<math>\bar{\omega }</math> hängt von der Wahl von S ab.
	hängt von der Wahl von S ab.

	Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:		Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:

Schubotz: /* Kinetische Energie: */

2010-08-18T14:19:59Z

Kinetische Energie:

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Somit folgt:		Somit folgt:
			<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{v}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math>

	<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{~~{\bar~~{v}}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math>


	mit dem Trägheitstensor		mit dem Trägheitstensor


	<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{~~\bar~~{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>		<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>

Schubotz: /* Kinetische Energie: */

2010-08-18T14:16:39Z

Kinetische Energie:

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	====Kinetische Energie:====		====Kinetische Energie:====

	#		#<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{v}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( V+\omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+V\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}</math>
	<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{~~{{\bar~~{v}}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( ~~\bar{~~V}+~~\bar{~~\omega }\times {~~{{\bar~~{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+~~\bar{~~V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( ~~\bar{~~\omega }\times {~~{{\bar~~{x}}}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( ~~\bar{~~\omega }\times {~~{{\bar~~{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}</math>


	Mit den Beziehungen		Mit den Beziehungen


	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\		& \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\

Schubotz am 17. August 2010 um 20:58 Uhr

2010-08-17T20:58:36Z

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	{{Scripthinweis\|Mechanik\|7}}		{{Scripthinweis\|Mechanik\|6}}
	Bisher betrachtet: System von Massepunkten		Bisher betrachtet: System von Massepunkten

Schubotz am 17. August 2010 um 20:52 Uhr

2010-08-17T20:52:32Z

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Schubotz: hat „Schöll:Mechanik:StarrerKörper“ nach „Mechanik des starren Körpers“ verschoben

2010-08-17T20:07:56Z

hat „Schöll:Mechanik:StarrerKörper“ nach „Mechanik des starren Körpers“ verschoben

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2010-08-17T17:16:33Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Mechanik des starren Körpers== Bisher betrachtet: System von Massepunkten Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den P…“

Neue Seite

==Mechanik des starren Körpers==

Bisher betrachtet: System von Massepunkten

Jetzt: Ausgedehnte, starre Körper

Erhalten bleibt der fixe Abstand zwischen den Punkten des Körpers ( starr) im Gegensatz dazu steht die Mechanik der deformierbaren Medien, also Elastomechanik oder Hydrodynamik

====Definition des starren Körpers:====

# System von n Massepunkten mit festen Abständen ( Zwangsbedingungen)
# Vorgegebene , kontinuierliche Masseverteilung
<math>\rho (\bar{r})</math>

Gesamtmasse:
<math>M=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})</math>

'''Beschreibung'''

# Beschreibung im raumfesten Koordinatensystem (x,y,z) als Inertialsystem.
# Beschreibung im körperfesten (intrinsischen) Koordinatensystem
<math>\bar{K}</math>
. Dieses ist fest mit dem Körper verbunden (x1,x2,x3) und ist im Allgemeinen kein Inertialsystem. Ursprung von
<math>\bar{K}</math>
ist S, beispielsweise der Schwerpunkt.

Der starre Körper hat 6 Freiheitsgrade ( 3 Komponenten Schwerpunktskoordinaten und 3 Winkel zur Orientierung von
<math>\bar{K}</math>
)

===Kinetische Energie und Trägheitstensor===

Betrachten wir eine infinitesimale Verrückung
<math>\begin{align}
& d\bar{r}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{x}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{\phi }\times \bar{x} \\
& d\bar{\phi }:=\bar{n}d\phi \\
\end{align}</math>

In Kapitel 3.3 haben wir bereits mit infinitesimalen Drehungen gearbeitet. Dort handelte es sich um passive Drehungen. Hier haben wir es nun mit aktiven Drehungen zu tun -> anderes Vorzeichen.

<math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math>
Schwerpunktsgeschwindigkeit

<math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math>
Winkelgeschwindigkeit

Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:

<math>\bar{v}=\bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x}</math>

Nebenbemerkungen:

<math>\bar{\omega }</math>
hängt von der Wahl von S ab.

Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:

<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}}=0</math>
nach Def. A) des starren Körpers

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\bar{x}\rho (\bar{x})}=0</math>
Definition B) -> Schwerpunktsvektor im körperfesten System
<math>\bar{K}</math>
:

====Kinetische Energie:====

#
<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{v}}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+\bar{V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}</math>

Mit den Beziehungen

<math>\begin{align}
& \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\
& \bar{V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0,da\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0 \\
& {{\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha ={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}(1-{{\cos }^{2}}\alpha )={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}-{{\left( \bar{\omega }\cdot \bar{x} \right)}^{2}}=\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}{{\omega }^{n}} \\
\end{align}</math>
Somit folgt:

<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{v}}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math>

mit dem Trägheitstensor

<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{\bar{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>

Der Trägheitstensor ist also durch die Massenverteilung bestimmt

Im Sinne der Definition B) dagegen gilt:

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}}} \\
& mit\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}=0} \\
\end{align}</math>

und dem Trägheitstensor

<math>{{J}_{mn}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}</math>

Also gilt die Zerlegung der kinetischen Energie:

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}} \\
& \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& T=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega } \\
& \\
\end{align}</math>

Dabei ist

<math>{{T}_{trans}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}</math>
kinetische Energie der translatorischen Bewegung

<math>{{T}_{rot}}=\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
kinetische Energie der Rotationsbewegung

====Eigenschaften des Trägheitstensors====

<math>\bar{\bar{J}}</math>
ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen
<math>R\in SO(3)</math>
transformiert er sich wie folgt:

R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im
<math>{{R}^{3}}</math>
mit Orthogonalitätseigenschaft:
<math>R{{R}^{T}}=1,\det R=1</math>

Nun , er transformiert sich unter Drehungen wie folgt:

Wenn
<math>{{x}_{m}}\to {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>

Dann:
<math>{{J}_{mn}}\to {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>

Kompakt:

<math>\begin{align}
& \bar{x}\to \bar{x}\acute{\ }=R\bar{x} \\
& \bar{\bar{J}}\to \bar{\bar{J}}\acute{\ }=R\bar{\bar{J}}{{R}^{T}} \\
\end{align}</math>

Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor ( Im Gegensatz zu einer Matrix).

Tensor 1. Stufe:
<math>{{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math>
= Vektor

Tensor 2. Stufe
<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math>

Tensor n-ter STufe:
<math>{{A}_{mn....x}}\acute{\ }=\sum\limits_{l,s,...,t=1}^{3}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}...{{R}_{xt}}{{A}_{ls...t}}}</math>
wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird ( und jeweils von 1-3 summiert !)

====Beweis des Transformationsverhaltens für====

<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math>

Zunächst zum Skalarprodukt:

<math>\begin{align}
& {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}} \\
& \Rightarrow \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}}=\sum\limits_{t}{\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{tl}}{{R}_{ts}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=}\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{\left( \sum\limits_{t}{{}}{{R}_{lt}}^{T}{{R}_{ts}} \right){{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{\delta }_{ls}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{{{x}_{l}}^{2}}}}} \\
\end{align}</math>

das Skalarprodukt ist also invariant

Aber auch das Delta- Element ist invariant:

<math>\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{\delta }_{ls}}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{nl}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{\ln }}^{T}={{\delta }_{mn}}}</math>

Kompakt:

<math>R1{{R}^{T}}=R{{R}^{T}}=1</math>

Also:

<math>\begin{align}
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{ls}}-{{x}_{l}}^{(i)}{{x}_{s}}^{(i)} \right]} \\
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ } \right] \\
\end{align}</math>

Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt:

Dabei gilt:

<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>
ist der invariante Anteil

<math>{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ }</math>
hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab.

'''Weitere Eigenschaften'''

#
<math>{{J}_{mn}}</math>
enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil
<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math>

#
<math>{{J}_{mn}}</math>
ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper
#
<math>{{J}_{mn}}</math>
ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix

<math>\bar{\bar{J}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left( \begin{matrix}
{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} & -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & -{{x}_{1}}{{x}_{3}} \\
-{{x}_{1}}{{x}_{2}} & {{x}_{3}}^{2}+{{x}_{1}}^{2} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} \\
-{{x}_{1}}{{x}_{3}} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} & {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \\
\end{matrix} \right)}</math>

Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation
<math>{{R}_{0}}\in SO(3):</math>

<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }={{R}_{0}}\bar{\bar{J}}{{R}_{0}}^{T}=\left( \begin{matrix}
{{J}_{1}} & 0 & 0 \\
0 & {{J}_{2}} & 0 \\
0 & 0 & {{J}_{3}} \\
\end{matrix} \right)</math>

Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3) in Richtung der '''Hauptträgheitsachsen:'''

<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}y\rho (\bar{y})\left( \begin{matrix}
{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2} & 0 & 0 \\
0 & {{y}_{3}}^{2}+{{y}_{1}}^{2} & 0 \\
0 & 0 & {{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2} \\
\end{matrix} \right)}</math>

Also:
<math>{{J}_{i}}\ge 0</math>
i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit.

Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem:

<math>\bar{\bar{J}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}={{J}_{i}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
mit Eigenvektoren
<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem

Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung
<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
so zu suchen, dass
<math>\bar{\bar{J}}</math>
diagonal wird:

<math>\Leftrightarrow \det \left( \bar{\bar{J}}-{{J}_{i}}1 \right)=0</math>

Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji

====Das Trägheitsmoment====

'''Trägheitsmoment bezüglich Achse '''
<math>\bar{n}:J(\bar{n}):=\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}</math>
Diese quadratische Form ist positiv semidefinit.

<math>\bar{\omega }=\bar{n}\omega \Rightarrow T=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}J(\bar{n})</math>

'''Trägheitsellipsoid'''

Die Normierung des Trägheitsmomentes liefert eine Ellipsoidgleichung:
<math>\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}=1</math>
.

Die Lage des Ellipsoids sind ist durch die Eigenvektoren
<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
, die Maße folgen aus den Ji derart, dass die zu
<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>
gehörige Achse die Länge
<math>\frac{1}{\sqrt{{{J}_{i}}}}</math>
trägt:

# Die Ji heißen Hauptträgheitsmomente ( Trägheitsmomente entlang der Eigenvektoren= Hauptachsen)

Es gilt:

<math>{{J}_{1}}\ne {{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
unsymmetrischer Kreisel

<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math>
symmetrischer Kreisel ( axialsymmetrisch)

<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}</math>
kugelsymmetrischer Kreisel ( nicht notwendigerweise Kugelform)

====Satz von Steiner====

Sei''' '''
<math>{{J}_{mn}}</math>
der Trägheitstensor in einem körperfesten System
<math>\bar{K}</math>
, welches im Schwerpunkt S zentriert ist. Sei nun
<math>\bar{K}\acute{\ }</math>
ein zu
<math>\bar{K}</math>
achsparalleles, um den Vektor
<math>\bar{a}</math>
verschobenes System. Dann ist
<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }</math>
in
<math>\bar{K}\acute{\ }</math>
gegeben durch

<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]</math>

Die beiden Koordinatensystem dürfen dabei nur durch die Translation um
<math>\bar{a}</math>
unterschiedlich sein. Wesentlich ist vor allem, dass bei roationsvarianten Systemen keine Verdrehung der Achsen erfolgt !

Beweis:

<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\acute{\ }}\rho \acute{\ }(\bar{x}\acute{\ })\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}\acute{\ }{{x}_{n}}\acute{\ } \right]</math>

Bei uns:
<math>\bar{x}\acute{\ }=\bar{x}+\bar{a}</math>

<math>\begin{align}
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{\left( {{x}_{t}}+{{a}_{t}} \right)}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-\left( {{x}_{m}}+{{a}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}+{{a}_{n}} \right) \right] \\
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left[ {{\left( {{x}_{t}} \right)}^{2}}+2\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)+{{a}_{t}}^{2} \right]} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{x}_{m}}{{a}_{n}}-{{x}_{n}}{{a}_{m}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left( {{x}_{m}}{{a}_{n}}+{{x}_{n}}{{a}_{m}} \right)=0\quad wegen\ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\bar{x}=0 \\
\end{align}</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{x}_{t}}^{2}+{{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
& {{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\
\end{align}</math>

'''Speziell im Hauptachsensystem:'''

keine Außerdiagonalelemente: m=n:=i

<math>{{J}_{i}}\acute{\ }={{J}_{i}}+M({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})\quad i=1,..,3</math>

mit
<math>({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})</math>
als Quadrat des Abstandes der beiden Drehachsen.

Dabei wird bei einer Verschiebung um
<math>\bar{a}</math>
nur der Abstand der Drehachsen berücksichtigt. das heißt, die Komponente der Verschiebung in Richtung der Drehachse wird wieder quadratisch subtrahiert:

'''Beispiele'''

1. Kugelsymmetrische Massendichte:

<math>\begin{align}
& \rho (\bar{x})=\rho (r) \\
& {{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}=:J \\
& 3J={{J}_{1}}+{{J}_{2}}+{{J}_{3}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)\left[ \left( {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right) \right]=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)2{{r}^{2}} \\
& 3J=2\cdot 4\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)} \\
\end{align}</math>

Bei homogener Massenverteilung:

<math>M=\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}</math>
bezüglich Schwerpunkt S

folgt:

<math>\begin{align}
& J=\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)}=\frac{2M}{{{R}^{3}}}\int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}} \\
& J=\frac{2}{5}M{{R}^{2}} \\
\end{align}</math>

2. Abrollende Kugel: Momentaner Auflagepunkt ist A

Das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse durch den Auflagepunkt A:

<math>{{J}_{A}}=J+M{{R}^{2}}=\frac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>

===Drehimpuls und Bewegungsgleichungen===

====Drehimpuls====
# diskret:

<math>\begin{align}
& \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
& \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
& \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\
& \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
\end{align}</math>

Mit

<math>M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)</math>
als Schwerpunktsdrehimpuls

<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)</math>
als Relativdrehimpuls

# kontinuierliche Situation

<math>\begin{align}
& \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\
& \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>

Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:

<math>{{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}</math>

Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist
<math>\bar{L}</math>
nicht parallel zu
<math>\bar{\omega }</math>
, nur falls
<math>\bar{\omega }</math>
in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !

====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls====

<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>
. Dabei sind
<math>{{\bar{F}}_{i}}</math>
äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft
<math>\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}</math>
soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:

<math>\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}</math>

Somit:

<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>

Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:

<math>M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})</math>
(Newton)

<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>

<math>\begin{align}
& M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\
& {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\
\end{align}</math>

<math>\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>

Gleichzeitig gilt:
<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>

Somit:

<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0</math>
Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System
<math>\bar{K}</math>
erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung
<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>
, die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:

<math>\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times </math>

Somit gilt für das körperfeste System
<math>\bar{K}</math>
:

<math>\begin{align}
& \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
& {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
\end{align}</math>

'''Mit '''
<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
'''folgt '''im körperfesten System,wo gilt:
<math>\dot{\bar{\bar{J}}}</math>
=0

<math>\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0</math>

Dies ist eine nichtlineare DGL in
<math>\bar{\omega }</math>
:

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls
<math>\bar{\bar{J}}</math>
diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):

<math>\begin{align}
& {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
& {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
& {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
\end{align}</math>

'''Beispiel: Symmetrischer Kreisel: '''
<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}</math>

<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>
, also
<math>{{\omega }_{3}}=const</math>
im mitrotierenden System

<math>\begin{align}
& J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
& {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\
\end{align}</math>

Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten

<math>{{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}</math>
und der Zusammenfassung
<math>{{\omega }_{0}}:=\frac{\left( J-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}}</math>

folgt:

<math>{{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>

Dies kann in

<math>J{{\dot{\omega }}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}</math>
eingesetzt werden und es ergibt sich:

<math>{{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>

Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:

<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const</math>

<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const</math>

Das heißt

<math>\bar{\omega }</math>
und damit auch
<math>\bar{L}</math>
mit
<math>{{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}</math>
rotieren um die Figurenachse
<math>\bar{f}||{{x}_{3}}</math>

Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit '''raumfesten '''Achsen, so gilt mit
<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0\Rightarrow \bar{L}\ fest</math>

<math>\bar{\omega }</math>
und
<math>\bar{f}</math>
präzedieren um die raumfeste Achse
<math>\bar{L}</math>
. Dabei müssen
<math>\bar{\omega }</math>
,
<math>\bar{f}</math>
und
<math>\bar{L}</math>
stets in einer Ebene liegen.

'''Anwendung:'''

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:

<math>\begin{align}
& \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}\approx \frac{1}{300} \\
& \frac{2\pi }{{{\omega }_{3}}}=1Tag \\
\end{align}</math>

Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:

<math>T=\frac{2\pi }{{{\omega }_{0}}}=\frac{2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}=\frac{J}{(J-{{J}_{3}})}\cdot 1Tag=300Tage</math>

Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!