Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

2010-09-12T22:44:03Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (6)

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	in Kugelkoordinaten !		in Kugelkoordinaten!

	:<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>		:<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>

	Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>		Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>
			.

	.

	'''Lösung'''		'''Lösung'''
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	die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math>		die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math>

	Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!		Widerspruch zur Eindeutigkeit!!!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Für m=l ( Maximalwert) ist		Für m=l (Maximalwert) ist

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>		:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>

	→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !		→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert!

	Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:		Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
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	:<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>		:<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>

	Die Inversion am Ursprung liefert: ( also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>		Die Inversion am Ursprung liefert: (also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>
			)
	), also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>		, also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>

	:		:
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	haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math>		haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math>

	( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)		(steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben!)


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	'''1'''		'''1'''
	<math>\pm 1</math>		<math>\pm 1</math>
	ungerade ( ebenfalls p-Orb.)		ungerade (ebenfalls p-Orb.)

	:<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>		:<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>
Zeile 238:		Zeile 238:
	n=2, l=1, m=0		n=2, l=1, m=0

	Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>		Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null (wie hier) und einmal nicht (dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

	NULL !)		NULL!)

	:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>		:<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:06:53Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

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	:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>		:<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>

	-> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !		→ was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !

	Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:		Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:
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	:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>		:<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>

	n=1  m=0, l=0		n=1 à m=0, l=0

	<u>'''Eine Knotenlinie'''</u>		<u>'''Eine Knotenlinie'''</u>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:43:58Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz am 7. September 2010 um 22:13 Uhr

2010-09-07T22:13:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:13 Uhr
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	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|2}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|3\|2}}</noinclude>

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}} $\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi …“$

2010-08-24T16:17:37Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}} <math>\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi …“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}}

<math>\begin{align}

& \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\

& \left\langle {\bar{r}} \right|\bar{r}\left| l,m \right\rangle =\bar{r}{{\Psi }_{lm}}(\bar{r}) \\

\end{align}</math>

<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math>

ergibt:

<math>\left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{3}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{1}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(\bar{r})</math>

In Kugelkoordinaten:

<math>\begin{align}

& {{x}_{1}}=r\sin \vartheta \cos \phi \\

& {{x}_{2}}=r\sin \vartheta \sin \phi \\

& {{x}_{3}}=r\cos \vartheta \\

& {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi } \\

\end{align}</math>

Aber:

<math>\begin{align}

& {{x}_{1}}{{\partial }_{2}}-{{x}_{2}}{{\partial }_{1}}=\frac{\partial }{\partial \phi }=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{L}}}_{z}} \\

& \Rightarrow {{{\hat{L}}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi } \\

\end{align}</math>

in Kugelkoordinaten !

<math>\Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar m{{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )</math>

Eigenwertgleichung für <math>{{\hat{L}}_{3}}</math>

.

'''Lösung'''

<math>\begin{align}

& {{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )={{e}^{im\phi }}{{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\

& m=-l,...,l \\

\end{align}</math>

Eindeutigkeit:

<math>\begin{align}

& {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\

& \Rightarrow m\in Z \\

\end{align}</math>

<math>\Rightarrow </math>

Für Bahndrehimpulse sind nur GANZZAHLIGE l-WERTE zulässig.

Prosaisch: Die Wellenfunktion muss eindeutig sein. Durch Drehung um 360 ° muss sie also in sich selbst übergehen. Damit fällt jedoch wegen <math>{{\hat{L}}_{z}}=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial \phi }</math>

die Möglichkeit weg, dass magnetische Drehimpulsquantenzahlen halbzahlig sind, sonst wuerde die Wellenfunktion bei Drehung um 360 ° ihr Vorzeichen wechseln wegen <math>{{e}^{i\frac{1}{2}\phi }}=-{{e}^{i\frac{1}{2}\left( \phi +2\pi \right)}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}\phi }}</math>

Widerspruch zur Eindeutigkeit !!!

<math>\begin{align}

& {{e}^{im\phi }}={{e}^{im\left( \phi +2\pi \right)}} \\

& \Rightarrow m\in Z \\

\end{align}</math>

'''Leiteroperatoren:'''

<math>\begin{align}

& \left\langle {\bar{r}} \right|{{{\hat{L}}}_{\pm }}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\left( {{{\hat{x}}}_{2}}{{\partial }_{3}}-{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{2}}\pm i{{{\hat{x}}}_{3}}{{\partial }_{1}}\mp i{{{\hat{x}}}_{1}}{{\partial }_{3}} \right){{\Psi }_{lm}}(\bar{r})=\hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi ) \\

& \hbar {{e}^{\pm i\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }+i\cot \vartheta \frac{\partial }{\partial \phi } \right){{\Psi }_{lm}}(r,\vartheta ,\phi )=\hbar {{e}^{i\left( m\pm 1 \right)\phi }}\left( \pm \frac{\partial }{\partial \vartheta }-m\cot \vartheta \right){{f}_{lm}}(r,\vartheta ) \\

\end{align}</math>

Für m=l ( Maximalwert) ist

<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}_{+}}\left| l,l \right\rangle =0 \\

& \Rightarrow \hbar {{e}^{i\left( l+1 \right)\phi }}\left( \frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=0 \\

\end{align}</math>

'''Lösung:'''

<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\frac{d{{f}_{ll}}(r,\vartheta )}{f}=l\int_{{}}^{{}}{{}}\cot \vartheta d\vartheta </math>

<math>{{f}_{ll}}(r,\vartheta )={{\left( -1 \right)}^{l}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{R}_{ll}}(r)</math>

Mit dem Normierungsfaktor

<math>\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)!}{2}}\frac{1}{{{2}^{l}}l!}</math>

Erzeugung der anderen <math>{{f}_{lm}}(r,\vartheta )</math>

:

<math>{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]</math>

'''Normierung:'''

<math>{{\Psi }_{l,m}}(r,\vartheta ,\phi )={{R}_{lm}}(r){{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>

Mit den Kugelflächenfunktionen

<math>\begin{align}

& {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{{{\left( -1 \right)}^{m}}}{{{2}^{l}}l!}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}\frac{1}{{{\left( \sin \vartheta \right)}^{m}}}\frac{{{d}^{l-m}}}{d{{\left( \cos \vartheta \right)}^{l-m}}}{{\left( \sin \vartheta \right)}^{2l}} \\

& {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=\frac{{{e}^{im\phi }}}{\sqrt{2\pi }}\cdot {{\left( -1 \right)}^{m}}\sqrt{\frac{\left( 2l+1 \right)\left( l-m \right)!}{2\left( l+m \right)!}}{{P}^{m}}_{l}(\cos \vartheta ) \\

\end{align}</math>

Wobei

<math>{{P}_{l}}(x):=\frac{1}{{{2}^{l}}l!}\frac{{{d}^{l}}}{{{\left( dx \right)}^{l}}}{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{l}}</math>

Legendre- Polynom l- ten Grades

<math>{{P}_{l}}^{m}(x):={{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{m}{2}}}\frac{{{d}^{m}}}{{{\left( dx \right)}^{m}}}{{P}_{l}}(x)</math>

zugeordnetes Legendre- Polynom

Dabei variiert die Definition in der Literatur je nach Wahl der Phase

Die Kugelflächenfunktionen sind orthonormiert

<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l\acute{\ }}}^{m\acute{\ }}(\vartheta ,\phi )={{\delta }_{ll\acute{\ }}}{{\delta }_{mm\acute{\ }}}</math>

Dies bedeutet:

<math>\int\limits_{0}^{2\pi }{d\phi \int\limits_{0}^{\pi }{d\vartheta \sin \vartheta }}{{\left[ {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right]}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )=1</math>

oder in einer diskreten Basis:

<math>\sum\limits_{l,m}{{}}{{\left( {{Y}_{l}}^{m} \right)}^{*}}{{Y}_{l}}^{m}=1</math>

-> was an bekannte Vollständigkeitsbedingungen erinnert !

Die Kugelflächenfunktionen sind also ein vollständiges Orthonormalsystem, nach dem sich alle Funktionen auf der Einheitskugel entwickeln lassen:

<math>F(\vartheta ,\phi )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{\sum\limits_{m=-l}^{l}{{}}}{{c}_{l}}^{m}{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>

Eine weitere Eigenschaft der Kugelflächenfunktionen:

<math>{{Y}_{l}}{{^{m}}^{*}}(\vartheta ,\phi )={{\left( -1 \right)}^{m}}{{Y}_{l}}{{^{-m}}^{{}}}</math>

Die Inversion am Ursprung liefert: ( also: <math>\bar{r}\to -{{\bar{r}}^{{}}}</math>

), also <math>(\vartheta ,\phi )\to (\pi -\vartheta ,\phi +\pi )</math>

:

Fazit: Die Bahndrehimpuls Eigenzustände <math>{{\left| l,m \right\rangle }^{{}}}</math>

haben die Parität <math>{{\left( -1 \right)}^{l}}</math>

( steckt ebenfalls in den Eigenschaften der Kugelfunktionen, Legendre Polynome, wie auch immer, die sich eben als Eigenvektoren unseres Drehimpulsproblems ergeben haben !)

'''Eigenfunktion'''
'''Knotenlinien von '''<math>\operatorname{Re}\left\{ {{Y}_{l}}^{m} \right\}</math>
'''l'''
'''m'''
'''Bemerkungen/ Parität'''
<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>
'''0'''
'''0'''
'''0'''
'''gerade (s-Orbitale)'''
<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>
'''1'''
'''1'''
'''0'''
'''ungerade (p-Orbitale)'''

<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
'''1'''
'''1'''
<math>\pm 1</math>
ungerade ( ebenfalls p-Orb.)

<math>{{\Psi }_{{{P}_{x}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \cos \phi </math>

<math>{{\Psi }_{{{P}_{y}}}}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\sin \vartheta \sin \phi </math>

<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>
'''2'''
'''2'''
'''0'''
'''gerade (d-Orbitale)'''
<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>
'''2'''
'''2'''
<math>\pm 1</math>
'''gerade (d-Orbitale)'''
<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>
'''2'''
'''2'''
<math>\pm 2</math>
'''gerade (d-Orbitale)'''

'''Keine Knotenlinie'''

<math>{{Y}_{0}}^{0}=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}</math>

n=1  m=0, l=0

'''Eine Knotenlinie'''

<math>{{Y}_{1}}^{0}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta </math>

n=2, l=1, m=0

Merke: Wir haben prinzipiell immer den gleichen Gesamtdrehimpuls in diesen Zuständen ! Nur einmal ist eben die z- Komponente Null ( wie hier) und einmal nicht ( dafür wäre z.B. die x- Komponente des Drehimpuls im folgenden Beispiel <math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

NULL !)

<math>{{Y}_{1}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

: n=2, l=1, m=<math>\pm 1</math>

'''Zwei Knotenlinien'''

<math>{{Y}_{2}}^{0}=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)</math>

n=3, l=2, m=0

<math>{{Y}_{2}}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {{e}^{\pm i\phi }}</math>

n=3, l=2, m=<math>\pm 1</math>

<math>{{Y}_{2}}^{\pm 2}=\sqrt{\frac{15}{32\pi }}{{\sin }^{2}}\vartheta {{e}^{\pm 2i\phi }}</math>

n=3, l=2, m=<math>\pm 2</math>

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses - Versionsgeschichte

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Schubotz am 7. September 2010 um 22:13 Uhr

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}} \begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi …“

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|2}} $\begin{align} & \left\langle {\bar{r}} \right|\hat{\bar{p}}\left| l,m \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\nabla {{\Psi …“$