Polarisation - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:23:18Z

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	# '''gebundene Ladungen ( In Isolatoren)'''		# '''gebundene Ladungen (In Isolatoren)'''

	* '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld'''		* '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld'''
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	# '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie		# '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie
	Wel.=-<u>p</u> <u>E</u>		Wel.=-<u>p</u> <u>E</u>
	vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)		vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)

	# Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind:		# Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind:
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	:<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>		:<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>
	nach Einschalten des Feldes.		nach Einschalten des Feldes.
	Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !		Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!


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	:<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>		:<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>

	Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:		Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:

	:<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>		:<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>
Zeile 88:		Zeile 88:


	Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):		Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

	:<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>		:<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>

	= Polarisationsladung, die V verläßt !		= Polarisationsladung, die V verläßt!

	<u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u>		<u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u>

	:<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>		:<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
	( mikroskopische Ladungsdichte)		(mikroskopische Ladungsdichte)

	:<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>		:<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
	( mikroskopische Dipoldichte) mit:		(mikroskopische Dipoldichte) mit:

	:<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>		:<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>
Zeile 113:		Zeile 113:

	:<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>		:<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
	( makroskopische Ladungsdichte)		(makroskopische Ladungsdichte)

	:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>		:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>

	Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!		Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!

	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''
Zeile 125:		Zeile 125:
	:<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>		:<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right)}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}</math>

	wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !		wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!

	Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß		Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
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	:<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>		:<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right\|}{c} \right)</math>

	Die makroskopische Ladungsdichte ist !		Die makroskopische Ladungsdichte ist!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 180:		Zeile 180:
	:<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>		:<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>

	Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:		Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T19:57:51Z

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Zeile 9:		Zeile 9:
	:<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>		:<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>

	* elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit		* elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
	*		*
	* <math>\sigma </math>		* <math>\sigma </math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:57:13Z

Einrückungen Mathematik

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Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|1}} Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine # '''freie Ladungsträger''' Elektrone…“

2010-08-28T23:33:18Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|1}}</noinclude> Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine # '''freie Ladungsträger''' Elektrone…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|1}}</noinclude>

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
# '''freie Ladungsträger'''

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
* Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>

* elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
*
* <math>\sigma </math>
*

# '''gebundene Ladungen ( In Isolatoren)'''

* '''Polarisierung im ''''''E- ''''''Feld'''

# '''Für ''''''E '''=0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie
Wel.=-p E
vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)

# Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>
nach Einschalten des Feldes.
Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !

'''Makroskopische räumliche Mittelung'''

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
<math>\begin{align}
& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
\end{align}</math>
gemäß
<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math>

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

<math>\begin{align}
& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
\end{align}</math>

Mit der freien Ladungsdichte

<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math>

Also:

<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math>

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math>

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\
& \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\
\end{align}</math>

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:

<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>

Wir bezeichnen mit

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math>

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>

= Polarisationsladung, die V verläßt !

'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''

<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
( mikroskopische Ladungsdichte)

<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
( mikroskopische Dipoldichte) mit:

<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
<math>\Delta V:</math>

<math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math>
Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
( makroskopische Ladungsdichte)

<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!

'''Beweis:'''

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\
& =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
\end{align}</math>

Wobei

<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

Die makroskopische Ladungsdichte ist !

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
& =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
\end{align}</math>

'''Analog:'''

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

<math>{{\bar{p}}_{i}}</math>
:

<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math>

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

<math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math>

Analog:

<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math>

mit der mikroskopischen Dipoldichte

<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
& =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
& =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
\end{align}</math>

'''Umformung:'''

<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>

Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
& {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

<math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math>

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
<math>\bar{P}</math>
mit der durch
<math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math>
bzw.

<math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math>
definierten Polarisation identifizieren.